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江苏省南通中学2010—2011学年度第一学期期末考试高二数学

江苏省南通中学 2010—2011 学年度第一学期期末考试 高二数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷 .. 相应位置上. .....
1.命题“ ?x ∈ R, x 2 ≥ 0 ”的否定是
2



. ▲ . ▲

2.抛物线 y = 8 x 的焦点到准线的距离是

直线 a 与平面 α 内无数条直线垂直,q : 直线 a 与平面 α 垂直. p 是 q 的 则 3. 已知 p : 条件. (用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空) 、 、 、 4.如果方程 x 2 + ky 2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 5.已知曲线 y = ▲ .



1 x2 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2
2 2 2



6.若曲线 C : x + y + 2ax ? 4ay + 5a ? 4 = 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取

值范围为





x2 y2 7.已知离心率为 e 的曲线 2- =1,其右焦点与抛物线 y2=16x 的焦点重合,则 e 的值为 a 7 ▲ .

8.已知椭圆 c :

x2 x2 2 + y 2 = 1 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P ( x0 , y0 ) 满 足 0 < 0 + y0 < 1 , 则 2 2

PF1 + PF2 的取值范围为 ▲ .
9.设实数 x, y 满足 x + ( y ? 1) = 1 ,若对满足条件 x, y ,不等式 x + y + c ≥ 0 恒成立,
2 2

则 c 的取值范围是





sin x 的值域为 ▲ . cos x ? 2 11.已知函数 y = xf ′(x) 的图像如右图所示(其中 f ′(x) 是函数

10.已知 x ∈ [0, π] ,则函数 y =

y y=xf'(x)
1 -1
o

f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y = f (x) 的图象大致是▲
y
2 1 -2 -1 -2
o

1

x

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2 1

-1

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x








1

12.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积是 ▲ . 13.椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a2 b2
▲ .

点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是
3 2

14.设函数 f ( x ) = x + 3bx + 3cx 存在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ∈ [ ?1, x2 ∈ [1, 2]. 0], 则 b 2 + c 2 的范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷指定区域内作答,解答时 ...... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分)已知圆 C: x 2 + y 2 + Dx + Ey + 3 = 0 ,圆 C 关于直线 x + y ? 1 = 0 对称,圆心在第二象限,半径为 2 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与 圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程.

PD ⊥ 平面 ABCD , 16. (本小题满分 14 分) 右图为一简单组合体, 其底面 ABCD 为正方形, EC // PD ,且 PD = 2 EC , (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ⊥ 平面 PDB ; P
E

D

C

A

B

2

17. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) = x3 ? ax 2 ? 3 x (I)若 x = 3 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 x ∈ [1, a ] 上的最小值和最大值; (Ⅱ)若 f ( x)在x ∈ [1, +∞) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分)已知点 P 是⊙ O : x 2 + y 2 = 9 上的任 意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q 满足 DQ =

uuur

r 2 uuu DP . 3

(1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是 否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使

uuu 1 uuuu uuur r r OE = (OM + ON ) ( O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不 存在, 2
请说明理由.

3

19. 本小题满分 16 分) ( 已知抛物线 C : y = 2 px ( p>0) 的准线为 l , M (1, 0) 且斜率为 3 过
2

uuuu uuuu r r 的直线与 l 相交于点 P,与 C 的一个交点为 Q, PM = MQ .

(1)求抛物线的方程; (2)过点 K ( ?1, 0) 的直线 m 与 C 相交于 A、B 两点, ①若 BM = 2 AM ,求直线 AB 的方程; ②若点 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证:点 M 在直线 BD 上.

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = x ( x ? a )( x ? b) ,点 A s, f ( s ) , B t , f ( t ) .

(

) (

)

(Ⅰ)若 a = 0,b = 3 ,函数 f ( x ) 在 (t , t + 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 a = 0 时,

f ( x) ?1 ? + ln x + 1 ≥ 0 对任意的 x ∈ ? , +∞ ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ)若 0 < a < b ,函数 f ( x ) 在 x = s 和 x = t 处取得极值,且 a + b < 2 3 , O 是坐标 原点,证明:直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.

4

江苏省南通中学 2010—2011 学年度第一学期期末考试 高二数学答题卡
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.
1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 4. 8. 12.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.
15.

16.

P

E

D

C

A

B

5

17.

18.

6

19.

7

20.

8

江苏省南通中学 2010—2011 学年度第一学期期末考试 高二数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷 .. 相应位置上. .....
1.命题“ ?x ∈ R, x 2 ≥ 0 ”的否定是
2



. 答案 ▲ .4

“ ?x ∈ R, x 2 < 0 ”

2.抛物线 y = 8 x 的焦点到准线的距离是 条件.必要不充分

直线 a 与平面 α 内无数条直线垂直,q : 直线 a 与平面 α 垂直. p 是 q 的 则 3. 已知 p : 4.如果方程 x 2 + ky 2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 (0,1) 5.已知曲线 y =







1 x2 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 4 2
2 2 2



.3

6.若曲线 C : x + y + 2ax ? 4ay + 5a ? 4 = 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取

值范围为



. (2 , + ∞)

x2 y2 7.已知离心率为 e 的曲线 2- =1,其右焦点与抛物线 y2=16x 的焦点重合,则 e 的值为 a 7 ▲
4 . 3

8.已知椭圆 c :

x2 x2 2 + y 2 = 1 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P ( x0 , y0 ) 满 足 0 < 0 + y0 < 1 , 则 2 2

PF1 + PF2 的取值范围为__▲_____. [ 2, 2 2 ) , 0
9.设实数 x, y 满足 x + ( y ? 1) = 1 ,若对满足条件 x, y ,不等式 x + y + c ≥ 0 恒成立,
2 2

则 c 的取值范围是



.答案 [ 2 ? 1, +∞ )
3 sin x 的值域为 [? , 0] cos x ? 2 3 ▲

10.已知 x ∈ [0, π] ,则函数 y =



y y=xf'(x)
1 -1
o

11.已知函数 y = xf ′(x) 的图像如右图所示(其中 f ′(x) 是函数

f ( x)的导函数) ,下面四个图象中 y = f ( x) 的图象大致是▲ ①

1

x

-1

9

y
2 1 -2 -1 -2
o

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2 1

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

x

-2

o

2

x

① ② ① ① 12.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD=a,则三棱锥 D-ABC 的体积是▲ .
2 3 a 12

13.椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a2 b2
▲ . ? ,1?
?1 ? ?2 ?

点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是

解析:由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ,即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等,而|FA|=

a2 b2 ?c = c c

|PF|∈[a-c,a+c]于是

b2 ∈[a-c,a+c]即 ac c

?c ?a ≤1 ?ac ? c ≤ a ? c ? ? ?1 ? 2 2 2 -c ≤b ≤ac+c ∴ ? 2 ?? ,又 e∈(0,1)故 e∈ ? ,1? 2 2 ?2 ? c c 1 ?a ? c ≤ ac + c ? ? ≤ ?1或 ≥ ?a a 2 ?
2 2 2

14.设函数 f ( x ) = x + 3bx + 3cx 存在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ∈ [ ?1, x2 ∈ [1, 2]. 0],
3 2

则 b 2 + c 2 的范围为
2



1 17 .[ , ] 5 4

c

解 f ′ ( x ) = 3 x + 6bx + 3c 由 题 意 知 方 程 f ′ ( x ) = 0 有两个根 x1、x2

且x1 ∈ [?1, 0],

x2 ∈ [1, 2].





b

f ′ ( ?1) ≥ 0, f ′ ( 0 ) ≤ 0, f ′ (1) ≤ 0,f ′ ( 2 ) ≥ 0
故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点 ( b, c ) 的区域.

10

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷指定区域内作答,解答时 ...... 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知圆 C: x + y + Dx + Ey + 3 = 0 ,圆 C 关于直线 x + y ? 1 = 0 对称,圆心在第二
2 2

象限,半径为 2 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程. 解: (Ⅰ)由 x 2 + y 2 + Dx + Ey + 3 = 0 知圆心 C 的坐标为 ( ? ∵圆 C 关于直线 x + y ? 1 = 0 对称∴点 ( ?

D E ,? ) 2 2

D E , ? ) 在直线 x + y ? 1 = 0 上 2 2

即 D+E=-2,------①且 又∵圆心 C 在第二象限

D 2 + E 2 ? 12 = 2 ------------② 4
由①②解得 D=2,E=-4

∴ D > 0, E < 0

∴所求圆 C 的方程为: x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y + 3 = 0 (Ⅱ)Q 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设 l : x + y = α

Q 圆 C: (x + 1) 2 + (y ? 2) 2 = 2 ∴ 圆心 c( ?1, 2) 到切线的距离等于半径 2 ,即

?1 + 2 ? α 2

= 2

∴α = ?1或α = 3 .

所求切线方程 x + y = 1或x + y ? 3 = 0
P

16.右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ⊥ 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD = 2 EC , (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ⊥ 平面 PDB ; 解: (1)证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA A ∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC I BC = C ∴平面 BEC //平面 PDA 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA (2)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF,

E

D

C

B

P

E N D F A B C

1 ∵F 为 BD 的中点,∴ NF // PD 且 NF = PD , 2 1 又 EC // PD 且 EC = PD ∴ NF // EC 且 NF = EC 2 ∴四边形 NFCE 为平行四边形--------7 分∴ NE // FC ∵ DB ⊥ AC , PD ⊥ 平面 ABCD ,

11

AC ? 面 ABCD ∴ AC ⊥ PD , 又 PD I BD = D ∴ AC ⊥ 面 PBD ∴ NE ⊥ 面 PDB 。 3 17.已知函数 f ( x ) = x ? ax 2 ? 3 x
(I)若 x = 3 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 x ∈ [1, a ] 上的最小值和最大值; (Ⅱ)若 f ( x)在x ∈ [1, +∞) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解: (I) f '(3) = 0, 即27 ? 6a ? 3 = 0, ∴ a = 4

1 ∴ f ( x) = x3 ? 4 x 2 ? 3 x 有极大值点 x = ? ,极小值点 x = 3 . 3
此时 f ( x ) 在 x ∈ [ ? , 3] 上是减函数,在 x ∈ [3, +∞) 上是增函数.

1 3

Q f (1) ? 6, f (3) = ?18, f (a ) = f (4) = ?12

∴ f ( x) 在 x ∈ [1, a ] 上的最小值是-18,最大值是-6
2 (Ⅱ) f ′( x ) = 3 x ? 2 x ? 3 ≥ 0

当 x ≥ 1 时恒成立,

∴a ≤ 0
18.已知点 P 是⊙ O : x 2 + y 2 = 9 上的任 意一点,过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D ,动点 Q 满 足 DQ =

uuur

r 2 uuu DP . 3

(1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是 否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使

uuu 1 uuuu uuur r r OE = (OM + ON ) ( O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不 存在, 2
请说明理由. 解: (1)设 P ( x0 , y0 ), Q ( x, y ) ,依题意,则点 D 的坐标为 D ( x0 , 0) ∴ DQ = ( x ? x0 , y ), DP = (0, y0 )

uuur

uuu r

12

19.已知抛物线 C : y 2 = 2 px ( p>0) 的准线为 l ,过 M (1, 0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于
uuuu uuuu r r 点 P,与 C 的一个交点为 Q. PM = MQ .

(1)求抛物线的方程, (2)过点 K ( ?1, 0) 的直线 m 与 C 相交于 A、B 两点, ①若 BM = 2 AM ,求直线 AB 的方程, ②若点 A 关于 x 轴的对称点为 D,求证:点 M 在直线 BD 上. 解(1) y 2 = 4 x , (2)① y = ±
2 2 ( x + 1) 3

13

20.已知函数 f ( x ) = x ( x ? a )( x ? b) ,点 A s, f ( s ) , B t , f ( t ) . (Ⅰ)若 a = 0,b = 3 ,函数 f ( x ) 在 (t , t + 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,求 t 的取值范围; (Ⅱ)当 a = 0 时,

(

) (

)

f ( x) ?1 ? + ln x + 1 ≥ 0 对任意的 x ∈ ? , +∞ ? 恒成立,求 b 的取值范围; x ?2 ?

(Ⅲ)若 0 < a < b ,函数 f ( x ) 在 x = s 和 x = t 处取得极值,且 a + b < 2 3 , O 是坐标 原点,证明:直线 OA 与直线 OB 不可能垂直. 解: (Ⅰ)当 a = 0, b = 3 时 f (x) = x 3 - 3x 2 ,∴ f ′(x) = 3x 2 - 6x

∴ f (x) 在 (2, +∞)和(?∞, 0) 上递增,在 (0, 2) 上递减
所以 f ( x ) 在 0 和 2 处分别达到极大和极小,由已知有 t < 0 且 t + 3 > 2 , 因而 t 的取值范围是 (?1, 0) . (Ⅱ)当 a = 0 时,

f ( x) + ln x + 1 ≥ 0 即 x 2 ? bx + ln x + 1 ≥ 0 x ln x 1 ln x 1 1 可化为 x + + ≥ b ,记 g ( x) = x + + ( x ≥ ), x x x x 2
则 g ′( x) = 1 +

1 ? ln x 1 x 2 ? ln x ? 2 = , x2 x x2 1 1 2 2 , m( x ) 在 ( , ) 上递减, ( ∴ 在 ,+ ∞) 上递增. x 2 2 2

记 m( x ) = x 2 ? ln x,则 m ′( x ) = 2 x ?

∴ m( x ) ≥ m(

2 1 2 1 ) = ? ln > 0 从而 g ′( x) > 0,∴ g ( x)在[ ,+∞) 上递增 2 2 2 2 1 2 5 5 ? 2 ln 2 ≥ b,故 b ≤ ? 2 ln 2. 2 2
14

因此 g ( x ) min = g ( ) =

(Ⅲ)假设 OA ⊥ OB ,即 OA ? OB = ( s , f ( s )) ? (t , f (t )) = st + f ( s ) f (t ) = 0 故 ( s ? a )( s ? b)(t ? a )(t ? b) = ?1 ,

[ st ? ( s + t )a + a 2 ][st ? ( s + t )b + b 2 ] = ?1
由 s , t 为 f ′ (x)=0 的两根可得, s + t = 从而有 ab( a ? b) = 9
2

2 ab (a + b), st = , (0 < a < b) 3 3

( a + b) 2 = ( a ? b) 2 + 4ab =

9 + 4ab ≥ 2 36 = 12 ab

即 a + b ≥2 3 ,这与 a + b <2 3 矛盾. 故直线 OA 与直线 OB 不可能垂直.

15


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