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拉格朗日中值定理妙用


拉格朗日中值定理妙用
拉格朗日中值定理:若 f ( x) 满足在 ?a, b? 上连续,在 ?a, b ? 内可导,则在 ?a, b ? 内至少存在 一点 ξ 使得 f
'

?ξ? ?

f ?b ? ? f ? a ? b?a

几何意义:割线斜率必等于中间某点的切线斜率 推论 1: 若在区间 ?a, b ? 内导函数 f ' ( x) ? 0 ,则在区间 ?a, b ? 内 f ( x) 为一常数 推论 2: 若在区间 ?a, b ? 内函数 f ( x) , g ( x) 满足 f ' ( x) ? g ' ( x) ,则在区间 ?a, b ? 内有

f ( x) ? g ( x) ? c , c 为常数
典例剖析 例题 1 证明: sin x ? sin y ? x ? y

例题 2

试证明:当 x ? ?1,??? 时, ln?1 ?

? ?

1? ? ? ln 2 x?

x

例题 3

已知 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x , (a ? 0) ,对于任意两个不等的正数 x1 , x2 都有 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围 x2 ? x1

例题 4 已知二次函数 f ( x) 满足:①在 x ? 1 时有极值,②图像过点(0,-3)且在该点处 的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行 (1)求 f ( x) 的解析式 (2)若 y ? f (e x ) 上任意两点的连线斜率恒大于 a ?

1 ,求 a 的取值范围。 a

例题 5 已知 f ( x ) ? x ?
2

2 ? a ln x , x ? 0 , f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ,对于任意两个不等 x

' ' 正数 x1 , x2 ,当 a ? 4 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2

例题 6 设 f ( x) 在 ?0,1? 可导,且 0 ? f ( x) ? 1 ,又对于 ?0,1? 内所有的点 x 满足

f ' ( x) ? ?1,证明:方程 f ( x) ? x ? 1 ? 0 在 ?0,1? 内有唯一实数根。

强化训练 1.已知 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 x ? bx , (b ? 1) ,对于区间 ?1,2? 内任意两个不等正数 x1 , x2 都 2

有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 b 的取值范围

2.已知 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 (1)讨论 f ( x) 的单调性 (2)设 a ? ?1 ,如果对于任意 x1 , x2 ? ?0, ? ?? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 ,求 a 的 取值范围。

3.已知 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, (a ? 1) 2

(1)讨论 f ( x) 的单调性 (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x2 ? 0, x1 ? x2 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? -1 x1 ? x2

4.设函数 f ( x) ? e x ? e? x ,
' (1)证明: f ( x) 的导数 f ( x) ? 2 .

(2)若对所有 x ? 0 ,都有 f ( x) ? ax ,求 a 的取值范围。


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