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陕西师范大学附属中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(文)试题


陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高二年级数学(文科)试题
命题人:张锦川 审题人:李涛
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.用反证法证明命题:如果整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理数根, 那么 a 、 b 、 c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( A.假设 a 、 b 、 c 都是偶数 C.假设 a 、 b 、 c 至多有一个偶数 )

B.假设 a 、 b 、 c 都不是偶数 D.假设 a 、 b 、 c 至多有两个偶数

1 a?b ) , B ? f ( ab ) , 2.已知函数 f ( x) ? ( ) x , a 、 b 是正实数, A ? f ( 2 2 C? f( 2ab ) ,则 A 、 B 、 C 的大小关系为( a?b

) D. C ? B ? A

A. A ? B ? C

B. A ? C ? B

C. B ? C ? A

3.观察下列各式:a ? b ? 1 ,a 2 ? b 2 ? 3 ,a3 ? b3 ? 4 ,a 4 ? b4 ? 7 ,a5 ? b5 ? 11 ,…, 则 a10 ? b10 ? ( A.28 ) B.76 C.123 D.199 )

4.抛物线 y ? x2 的切线中与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 ) D.5 ) D. (2,??)

D. 2 x ? y ? 3 ? 0

5.函数 y ? ( x ? 1)2 ? ( x ?1) 在点 x ? 1 处的导数等于( A.2 B.3 C.4

6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是( A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4)

7.已知函数 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,当 x ? 1 时有极大值 4,当 x ? 3 时有极小值 0, 且函数的图象过原点,则函数解析式为( A. y ? x3 ? 6x2 ? 9x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x )

B. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x3 ? 6x2 ? 9x

8.若曲线 y ? x 2 在点 (a, a 2 ) 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18, 则 a ?( A.64 ) B.32
x

?

1

?

1

C.16

D.8

9.已知点 P 在曲线 y ? 值范围是( A.[0, )

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取 e ?1

? ) 4

? ? B. [ , ) 4 2

? 3? C. ( , ] 2 4

D. [

3? ,? ) 4

10.设 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 (0, ? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是
q 的(

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

11.若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在 ... 区间 [a, b] 上的图象可能是(
y y


y y

o

a A

b x

o

a

B

b x

o

a

C

b x

o

a

b x D

12.已知 k ? 0 ,函数 f ( x) ? kx2 ? ln x 在其定义域上有两个零点,则实数 k 的取 值范围是( A. k ? e 2 ) B. 0 ? k ? e C. 0 ? k ? 1 2e D. k ?
2e 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.过原点作曲线 y ? ex 的切线方程为_______. 14.设 P 是边长为 a 的正 ?ABC 内的一点, P 点到三边的距离分别为 h1、h2、h3 , 则 h1 +h2 +h3 ?
3 a ;类比到空间,设 P 是棱长为 a 的正四面体 ABCD 内的一 2

点, P 点到四个面的距离分别为 h1、h2、h3、h4 ,则 h1 +h2 +h3 +h4 =_______. 15.考察下列一组等式:

2 2 3 9 3 9 4 16 4 16 ? 2 ? 4, ?2 ? 4 ; ?3 ? , ?3 ? ; ? 4 ? , ?4 ? ;…,根据 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

这些等式反映的结果,可以得出一个关于正整数 n 的等式,这个等 式可以表示为_______. 16.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 处取得极值 10,则 f (2) ? _______. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17.(本小题共 8 分)用分析法证明: 8 ? 7 ? 5 ? 10 .

18.(本小题共 10 分)实数 a , b , c , d 满足 a ? b ? c ? d ? 1 , ac ? bd ? 1 . 求证: a , b , c , d 中至少有一个为负数.
1 19.(本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ( x ? 1) 2 . 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [1, 3] 上的最大值和最小值.

20.(本小题共 12 分)用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如 果所制作容器的底面的一边比另一边长 0 .5 m ,那么高为多少时容器的容积 最大?并求出它的最大容积. 21.(本小题共 14 分)设函数 f ( x) ? ax ?
(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 3 .
1 (a, b ? Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 x?b

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)证明:函数 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围 三角形的面积为定值,并求出此定值.

陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高二年级数学(文科)答题纸
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题号 答案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. ______________________; 15. ______________________; 14. ______________________; 16. ______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17.(8 分)

18.(10 分)

19.(12 分)

20.(12 分)

21.(14 分)

陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高二年级数学(文科)参考答案
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题 号 答 案 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. ex ? y ? 0 ; 15.
n ?1 n ?1 ? (n ? 1) ? ? (n ? 1) (n ? N* ) ; n n

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1 1 B

1 2 A

1

B

A

C

A

C

D

B

A

D

C

14.

6 a; 3

16.18.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17.证明:要证 8 ? 7 ? 5 ? 10 ,即证 ( 8 ? 7)2 ? ( 5 ? 10)2 , 即证 15 ? 4 14 ? 15 ? 10 2 ,即证 2 14 ? 5 2 ,即证 56 ? 50 , 上式显然成立,所以 8 ? 7 ? 5 ? 10 . 18.证明:假设 a , b , c , d 都是非负数,则由 a ? b ? c ? d ? 1 , 有 1 ? (a ? b)(c ? d ) ? ac ? bd ? ad ? bc ? ac ? bd , 即 ac ? bd ? 1 ,这与 ac ? bd ? 1 矛盾,故假设不成立. 从而 a , b , c , d 中至少有一个为负数. 19.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 x ?1 2 ? x2 ? x ( x ? 1)( x ? 2) , ? ? ?? x 2 2x 2( x ? 1)

∵ f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 . ∴ f ( x) 的增区间为 (0, 2) ,减区间为 (2, ? ?) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 x 在 [1, 3] 变化时, f ?( x ) 及 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

1

(1, 2)
+

2 0

(2, 3)
-

3

0



ln 2 ?

1 4



ln 3 ? 1

1 ∵ ln 3 ? 1 ? 0 ,∴ 在区间 [1, 3] 上的最大值为 ln 2 ? ,最小值为 0. 4

20.解: 设容器的底面边长为 xm , ( x ? 0.5)m ,则高为
h? 14.8 ? 4 x ? 4( x ? 0.5) ? 3.2 ? 2 x , 4

∵ 3.2 ? 2 x ? 0 , 且 x ? 0 ,∴ 设容器的容积为 y ,则有

0< x < 1.6 ,

y ? x ? ( x ? 0.5) ? (3.2 ? 2x) ? ?2x3 ? 2.2x2 ? 1.6x , (0< x < 1.6 )
(或 x ? ? y? ? ?6x2 ? 4.4x ? 1.6 ,令 y? ? 0 ,解得, x ? 1 , 且 当
4 15

,舍去)

0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ; 当 1 ? x ? 1.6 时, y? ? 0 ,

∴ 在 x ? 1 处, y 有最大值,此时高为 1.2 m ,最大容积为 1.8m3 .

1 ? 9 ? 2a ? ? 1, a? , ? ? a ? 1 , ? 1 2?b ? ? 4 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? ,于是 ? 解得 ? 或? 2 1 ( x ? b) ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ?a ? ? 0, 2 ? ? (2 ? b) 3 ? ?
因 a, b ? Z ,故 f ( x ) ? x ?
1 . x ?1 1 1 都是奇函数.所以函数 g ( x ) ? x ? 也 x x

(Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ?

是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. 而 f ( x) ? x ? 1 ?
1 ? 1 ,函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (1,1) 平移,即得到 x ?1

函数 f ( x) 的图像,故 f ( x) 的图像是以点 (1,1) 为中心的中心对称图形. (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ( x0 ,x0 ?
1 1 ) ,由 f ?( x0 ) ? 1 ? 知, x0 ? 1 ( x0 ? 1)2

过此点的切线方程为 y ?

2 x0 ? x0 ? 1 1 ? [1 ? ]( x ? x0 ) . x0 ? 1 ( x0 ? 1)2

令 x ?1得 y ?

x0 ? 1 x ?1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 (1, 0 ) ; x0 ? 1 x0 ? 1

令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1, 2 x0 ?1) ; 直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (1,1) . 从而所围三角形的面积为
1 x0 ? 1 1 2 | ? 1|| 2 x0 ? 1 ? 1|? | || 2 x0 ? 2 |? 2 ,为定值. 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

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