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选2-31.2.1排列 (一)_图文

创设情境,引出排列问题 ? 探究 在1.1节的例9中我们看到,用分步乘 法计数原理解决这个问题时,因做了 一些重复性工作而显得繁琐,能否对 这一类计数问题给出一种简捷的方 法呢? 探究: 问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法? 问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 上面两个问题有什么共同特征?可以用 怎样的数学模型来刻画? 探究: 问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法? 分析:把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名, 按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的 顺序排列,求一共有多少种不同的排法? 第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名,有3种选法. 第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法 根据分步计数原理:3×2=6 上午 甲 乙 即共6种方法。 相应的排法 甲乙 甲丙 下午 乙 丙 甲 丙 甲 乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 丙 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为: 从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 1 2 3 2 4 3 3 1 3 4 3 1 2 2 4 1 4 2 3 3 42 42 3 41 41 41 4 1 2 2 3 1 3 1 2 有此可写出所有的三位数: 123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243, 312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个,然后按照一定的顺 序排成一列,共有多少种不同的排列方法? abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 基本概念 1、排列: 一般地,从n个不同中取出m (m ? n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。 说明: 1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用 “树形图”。 2、排列数: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。 n个不同元素中,任取 “一个排列”是指:从 按照一定的顺序排成一列,不是数; “排列”和“排列数”有什么区别和联 系? m 个元素 个不同元素中,任取 m 个元素的 “排列数”是指从 n m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示 排列数,而不表示具体的排列。 问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数,记为 A3 ,已经算得 A3 ? 3? 2 ? 6 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 3 排列数,记为 A4 ,已经算出 A4 ? 4 ? 3? 2 ? 24 探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少? An 呢? An 呢? 2 An ? n(n ?1) A ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) m n 3 An ? n(n ?1)(n ? 2) 第 1位 第 2位 第 3位 第 m位 …… n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种 (1)排列数公式(1): A ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)(m, n ? N *, m ? n) m n n 当m=n时,An ? n(n ? 1)( n ? 2)?3 ? 2 ?1 正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用 n!表示。 n! (2)排列数公式(2): A ? (n ? m)! m n n n个不同元素的全排列公式: An ? n! 说明: 为了使当m=n时上面的公式也成立,规定: 0!? 1 1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。 2、对于 m ? n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条 件。 例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共 进行多少场比赛? 解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛, 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列,因此, 2 比赛的总场次是 A14 ? 14 ?13 ? 182 例2:(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每 人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有5种不同的书,买3本送给3名同学,每人各 1本,共有多少种不同的送法? 例3:某信号兵用红,黄,蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表 示多少种不同的信号? 例4:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复 数字的三位数? 解法一:对排列方法分步思考。 从位置出发 1 1 1 百位 十位 个位 A9 ? A9 ? A8 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648 A

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