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2018年秋高中数学第三章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算


第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 学习目标: 1.理解空间向量的概念. (难点)2.掌握空间向量的线性运算. (重 点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.(重点、难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 1.空间向量 (1)定义:在空间,具有 大小和 方向的量叫做空间向量. (2)长度或模:向量的 大小. (3)表示方法: ①几何表示法:空间向量用 有向线段表示; ②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起点是A,终点是 → →| AB | AB | a | B,也可记作: ,其模记为 或 . 2.几类常见的空间向量 名称 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 方向 任意 模 0 1 记法 0 任意 相反 a的相反向量:-a 相等 相等 → → BA AB的相反向量: a=b 相同 3.向量的加法、减法 加法 空间向量的运算 减法 → +OC → → = OA OB =a+b → -OC → → = OA CA =a-b 加法运算律 (1)交换律:a+b= b+a (2)结合律:(a+b)+c= a+(b+c) 4.空间向量的数乘运算 (1)定义:实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一个 向量 ,称为向量的数 乘运算.当λ>0时,λa与向量a方向 相同 ;当λ<0时,λa与向量a方向 相反 ; 当λ=0时,λa= 0 ;λa的长度是a的长度的 |λ| (2)运算律:①λ(a+b)= λa+λb 倍. . ;②λ(μa)= (λμ)a 5.共线向量和共面向量 (1)共线向量 ①定义:表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合 ,则这些 向量叫做共线向量 或平行向量. ②共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件 是存在实数λ使 a=λb . → +tAB → → = OA ③点P在直线AB上的充要条件:存在实数t,使OP . (2)共面向量 ①定义:平行于 同一个平面 的向量叫做共面向量. ②共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的 充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=x a+y b . → ③空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在有序实数对(x,y), 使 AP → +yAC → → +xAB → +yAC → → = OA xAB = 或对空间任意一点O,有OP . 思考:(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗? 1→ 1→ → (2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,满足OP=3OA+3OB+ 1→ 3OC,则点 P 与点 A,B,C 是否共面? [提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一 个平面的两个向量,因此一定是共面向量. 1→ 1→ 1→ → → 1 → → 1 → → → (2)由OP=3OA+3OB+3OC得OP-OA=3(OB-OA)+3(OC-OA) 1→ 1 → → 即AP=3AB+3AC,因此点 P 与点 A,B,C 共面. [基础自测] 1.思考辨析 (1)共线向量一定是共面向量,但共面向量不一定是共线向量.( ) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线,则这两个向量不是 共面向量.( ) ) ) → =OA → +tAB → ,则 P,A,B 共线.( (3)如果OP (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.(

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