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阶段复习11.20


复旦基础教育中心

编写人:代老师

2011.11.20

阶段复习与训练
知识要点: 知识要点:
1. 比例线段 . (1)性质: )性质:

a c a+b c+d 合比性质 = ? = b d b d a c a+c a c = =k ? = = = k 等比性质 b d b+d b d ,其中 AP 是 AB 和 PB 的 (2)黄金分割:点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB ( AP > PB ) )黄金分割:

比例中项。称点 P 为线段 AB 的黄金分割点, AP 与 AB 比值

5 ?1 为黄金分割数。 2

(3)三角形一边的平行线:平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线截得的对应线 )三角形一边的平行线: 段成比例。 性质定理 (性质定理 性质定理) * 比例尺=图上距离/实际距离(须注意单位的统一 单位的统一) 单位的统一 * 三角形的重心 重心到一个顶点的距离等于它到这个顶点对边中点距离的两倍 两倍。 重心 两倍 如果一条直线截三角形的两边的延长线 (这两边的延长线在第三边同侧) 所得的对应线 段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 判定定理) (判定定理) 性质定理和判定定理互为逆命题。 2.相似三角形 2.相似三角形 (1)判定定理:两角对应相等;两边对应成比例且夹角相等;三边对应成比例。 )判定定理: (2)直角三角形相似判定定理:斜边和直角边对应成比例。 )直角三角形相似判定定理: 中线的比和对应角平分线 角平分线的比都等于相似比;周长 周长的比 (3)性质定理:对应高的比、对应中线 )性质定理: 高 中线 角平分线 周长 等于相似比;面积 面积的比等于相似比的平方 平方。 面积 平方 (4)性质定理的应用:相似三角形的知识在实际生活中应用非常广泛,主要是运用相似三 )性质定理的应用: 角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或者宽度。 ①解决同一时刻物高与影长的问题; ②利用相似测量无法直接测量的物体(如高度、宽度) ; ③利用相似进行图形方案设计等。 3.平面 平面向量 3.平面向量 (1)实数与向量相乘 ) ①设 k 是一个实数, a 是向量,那么 k 与 a 相乘所得的积是一个向量,记作 k a . 如果 k≠0,且 a ≠ 0 ,那么 k a 的长度 | k a |=| k || a | ; ② k a 的方向 方向:当 k>0 时, k a 与 a 同方向;当 k<0 时, k a 与 a 反方向. 方向 如果 k=0 或者 a = 0 ,那么 k a = 0 (注意:等于零向量而非等于 0),且 k a // a . 注意: 注意 ③对于实数加法的分配律: 分配律: n 那么 (m + n)a = ma + na 分配律 如果 m、 是非零实数,a 是非零向量, ④对于向量加法的分配律:对任意实数 k≠0 和非零向量 a、 ,总有 k ( a + b) = k a + k b . 分配律: b 分配律 ⑤平行向量定理:如果向量 b 与非零向量 a 平行,那么存在唯一的实数 m,使 b = m a . 平行向量定理: 平行向量定理

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⑥长度为 1 的向量叫做单位向量.设 e 为单位向量,则| e |=1. (2)向量的线性运算: ) 量的线性运算: ①向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. ②如果 a、 是两个不平行的向量,x、y 是实数,那么 x a + yb 叫做 a、 的线性组合. b b (3)向量的分解:平行四边形法则 )向量的分解: 在进行向量的加减时,先根据两个向量做平行四边形,向量之和为平行四边形的对角线, 向量之差指向被减数。特别需要注意的是向量的方向 方向。 方向 D C 4.解直角三角形 4.解直角三角形
aa = aa cc cc

A

B

(1)锐角三角比: )锐角三角比:

sinA=a/c cosA=b/c tanA=a/b cotA=b/a sinA=a/c cosA=b/c tanA=a/b cotA=b/a

熟记 30?、45?、60?的正弦余弦正切余切值,并记忆 15?角的正弦正切值。 计算中注意数值的代入,细心至关重要! 正弦、 (2)锐角三角比随角度的变化规律:当角度在 0°~ 90°间变化时,正弦、正切 )锐角三角比随角度的变化规律: 正弦 正切值随角度 的增大而增大 余弦、余切值 增大,余弦 减小。 增大 余弦、余切值随角度的增大而减小。 减小
2 2 (3)同角三角比的关系: sin α + cos α = 1, tan α cot α = 1, tan α = )同角三角比的关系:

sin α cos α

(4)锐角三角比的取值范围: 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, tan α > 0, cot α > 0 )锐角三角比的取值范围: 一边一角:先由互余关系求出另一角;知斜边,再 (5)直角三角形可解的条件和解法:①一边一角 )直角三角形可解的条件和解法: 一边一角 用正弦(或余弦)求另两边;知直角边用正切求另一直角边,再用正弦或勾股定理求斜边; ②知两边 知两边:先用勾股定理求另一边,再用边角关系求锐角。 知两边 注意:斜三角形问题可添加适当的辅助线转化为直角三角形问题。 注意 (6)在△ABC 中,AB=c,AC=b,则 S?ABC = )

1 bc sin ∠BAC 2 m (7)如图,若∠CAB=90°,CD=m, 则 AB= ) cot C ? cot ∠ADB
B

C

D

A

注:把(6) (7)作为结论可直接去解题。

(8)解直角三角形的应用问题经常接触到的名称:①坡度 ②仰角和俯角 ③方位角 ) 5.二次函数知识点汇总 二次函数知识点汇总 (1)二次函数 y = a ( x ? h ) + k 的性质:开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性、最值。
2

(2)二次函数图像的平移规律: “左加右减,上加下减” 。 左加右减,上加下减”

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(3) 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用待定系数法. 用 待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点, 选择适当的形式, 才能使解题简便. 一 般来说,有如下几种情况: 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. (4)二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数: ① * * * *

0 0 当 ? = b 2 ? 4ac > 0 时,其图象与 x 轴交于两点 A ( x1 , ) ,B ( x2 , ) ( x1 ≠ x2 ) ,其中
x1 ,x2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两根。这两点间的距离

AB = x2 ? x1 =

b 2 ? 4ac . a

② 当 ? = 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? < 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a > 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y > 0 ; 2 ' 当 a < 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y < 0 . (5)二次函数考查重点与常见题型 ①考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中。
2 2 例:已知以 x 为自变量的二次函数 y = ( m ? 2) x + m ? m ? 2 的图像经过原点,

则 m 的值是 ? ②综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐 标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题。
2 例: 如图, 如果函数 y = kx + b 的图像在第一、 三象限内, 二、 那么函数 y = kx + bx ? 1

的图像大致是( y 1

) y

y 1

y

0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D ③考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档 解答题和选拔性的综合题。 例:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为
x= 5 3 ,求这条抛物线的解析式。

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综合训练 综合训练
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