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人教版高二数学《直线与方程》师用教案1

§3.1.1 倾斜角与斜率

知识考点 1.直线的倾斜角
当直线 l 与 x 轴相交时, 我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0° . 则直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 0 ? ? ? ? .

2.直线的斜率
倾斜角 ? 不是 90 的直线,它的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率,
?

定义 记为 k ,即 k ? tan ? ( ? ? 90 ).
0
0 当 ? ? 0 时, k ? tan 0 =0 ;

?

? ? 当 0 ? ? ? 90 时, k = tan ? ? 0 ,随着 α 的增大,斜率 k 也增大;

取值范围
? ? 当 90 ? ? ? 180 时, k = tan ? ? 0 ,随着 α 的增大,斜率 k 也增大;

当 ? ? 90 时,斜率 k = tan ? 不存在.
?

直线经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ,其斜率为 k = 过两点的直线 的斜率公式

y2 - y1 y -y 或k = 1 2 , x2 - x1 x1 - x2

特别地是,当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 x 轴垂直,斜率 k 不存在;当 x1 ? x2 ,
y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k=0.

3.理解直线的倾斜角,应注意以下两点:
? 倾斜角具有唯一性和确定性,即直线与倾斜角形成了一种一一对应关系,平面内的任意直线都 有唯一确定的倾斜角. ? 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者 缺一不可.

4.运用两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 求直线斜率 k ?
?

y 2 ? y1 时应注意: x2 ? x1

斜率公式与两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关.
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?

运用斜率公式的前提是“ x1 ? x 2 ”,也就是直线不与 x 轴垂直.

典型例题
【例 1】如图所示菱形 ABCD 中∠BAD=60° ,求菱形 ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和 斜率. 解: ? AD ? ? BC ? 60? , ? AB ? ? DC ? 0? , ? AC ? 30? , ? BD ? 120? .

k AD ? kBC ? 3 , k AB ? kCD ? 0 , k AC ?

3 , kBD ? ? 3 . 3

【例 2】已知过两点 A(m2 ? 2, m2 ? 3) , B(3 ? m2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45° ,求实数 m 的值. 解: ∵
m 2 ? 3 ? 2m ? tan 450 ? 1 ,∴ m2 ? 3m ? 2 ? 0 , 2 m ? 2 ? (3 ? m ? m)
2

解得 m ? ?1 或 ?2 .但当 m ? ?1 时,A、B 重合,舍去.∴ m ? ?2 . 【例 3】已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 解: k AB ?
7 ? (?9a) 7 ? 9a 7?2 5 ? , k BC ? .∵ A、B、C 三点在一条直线上, ? 3 ? (?2) 5 3? a 3? a

∴ k AB ? kBC ,即

5 7 ? 9a 2 ,解得 a ? 2 或 a ? . ? 3? a 5 9

点评:三点共线时,可以利用斜率相等,由此证明三点共线的一种方法是利用斜率相等.此外, 还可利用两点间距离公式、直线方程等证明三点共线. 【例 4】已知两点 A (-2,-3) ,B (3,0) ,过点 P (-1,2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点,求 直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解:如图所示,直线 PA 的斜率是 k1 ? 直线 PB 的斜率是 k2 ?
0?2 1 ?? . 3 ? (?1) 2 2 ? ( ?3) ?5, ?1 ? (?2)

当直线 l 由 PA 变化到 y 轴平行位置 PC,它的倾斜角由锐角 ? (tan ? ? 5) 增至 90° ,斜率的变化范围是[5, ?? ) ;当直线 l 由 PC 变化到 PB 位置, 它的倾斜角由 90° 增至 ? (tan? ? ?

1 1 ),斜率的变化范围是 (??, ? ] .所以斜率的变化范围是 2 2

1 (??, ? ] ? [5, ??) . 2
点评:分别计算过线段两个端点的直线的斜率,体现了研究问题的一种极限思想.由图象的运 动变化规律,观察得到斜率的变化范围,注意结合倾斜角的比较和 tan x 的单调性.
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强化练习
1.若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 ? 等于( A.0 B.45° C.90° ) D.不存在 )

2.过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 )

3.已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为( A.60° B.30° C.60° 或 120°

D.30° 或 150° )

4.若三点 P(2,3),Q(3, a ),R(4, b )共线,那么下列成立的是( A. a ? 4, b ? 5 B. b ? a ? 1 C. 2 a ? b ? 3 )

D. a ? 2b ? 3

5.右图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( A .k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

6.已知两点 A( x ,-2),B(3,0),并且直线 AB 的斜率为 2,则 x = 7.若 A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则 y 的值是 1~5 CACCD; 6.2; 7.1 .



8.已知 A(2, ?3), B(?3, ?2) 两点,直线 l 过定点 P (1,1) 且与线段 AB 相交,求直线 l 的斜率 k 的取值范 围. 解:如图,由直线斜率公式,可以得到: 直线 PA 的斜率 kPA ?
?3 ? 1 ?2 ? 1 3 ? ?4 ,直线 PB 的斜率 kPA ? ? . 2 ?1 ?3 ? 1 4

由直线 l 过定点 P (1,1) 且与线段 AB 相交,结合图象分析,可以得到其斜率 k 的变化范围为 k ? kPB 或 k ? kPA ,即 k ?
3 或 k ? ?4 . 4

9.光线从点 A(2,1) 出发射入 y 轴上点 Q,再经 y 轴反射后过点 B(4,3) ,试求点 Q 的坐标,以及入射 光线、反射光线所在直线的斜率. 解:由物理中光的几何性质,可作 A(2,1) 关于 y 轴的对称点 A?(?2,1) ,并设入射点 Q(0, b) ,则
5 ?1 1 1 b ?1 3?b 5 ? ? , k BQ ? . ? ? kBQ . ∴ ,解得 b ? .∴ k AQ ? 3 0 ? 2 3 3 0 ? ? ?2 ? 4 ? 0 3

A?, Q, B 三点共线,∴ k A?Q

5 1 1 所以,点 Q(0, ) ,入射光线、反射光线的斜率分别为 ? , . 3 3 3

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10.魔术大师把一块长和宽都是 13 dm 的地毯按图 1 裁好,再按图 2 拼成矩形.计算两个图形的面 积,分别得到 169 dm 2 与 168 dm 2 .魔术师得意洋洋的说,他证明了 169=168.你能揭穿魔术师的奥 秘吗? 解:如图,以 B 为坐标原点建立直角坐标系,使得 BE 在 y 轴 正半轴上,AB 在 x 轴负半轴上. 边 AC 所在直线的斜率为 k AC ? 边 EC 所在直线的斜率为 kEC ?
8 8 ? , 8?5 3 13 8 ? ,即 k AC ? kEC ,所以 A、C、D、E 5 3

四点不可能在同一条直线上.即图 2 不是矩形.所以魔术师的计算有误.

§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

知识考点
1.对于两条不重合的直线 l1 、 l2 ,其斜率分别为 k1 、 k 2 ,有: ? ?
l1 // l2 ? k1 ? k2 l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1

2.特例:两条直线中一条斜率不存在,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于 x 轴.

典型例题
【例 1】四边形 ABCD 的顶点为 A(2, 2 ? 2 2) 、 B(?2, 2) 、 C (0, 2 ? 2 2) 、 D(4, 2) ,试判断四边形 ABCD 的形状. 解 : AB 边 所 在 直 线 的 斜 率 k AB ?
kCD ? 2 ? (2 ? 2 2) 2 ? , 4?2 2 2 ? (2 ? 2 2) 2 ? , CD 边 所 在 直 线 的 斜 率 ?2 ? 2 2

BC
k DA ?

边 所 在 直 线 的 斜 率 k BC ?

(2 ? 2 2) ? 2 ? ? 2 , DA 0?2

边 所 在 直 线 的 斜 率

(2 ? 2 2) ? 2 ?? 2, 2?4

∵ k AB ? kCD , kBC ? kDA , 又 ∵ k AB ?k BC ?

∴ AB//CD,BC//DA,即四边形 ABCD 为平行四边形.

2 ? (? 2) ? ?1 ,∴ AB⊥BC,即四边形 ABCD 为矩形. 2
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【例 2】已知 ?ABC 的顶点 B(2,1), C (?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标. 解:设顶点 A 的坐标为 ( x, y ) .∵ AC ? BH , AB ? CH ,
1 ?y ?3 ? x ? 6 ? (? 5 ) ? ?1 ?k AC ? k BH ? ?1 ? y ? 5 x ? 33 ? x ? ?19 ? ∴ ? ,即 ? ,化简为 ? ,解之得: ? . ? y ? 3x ? 5 ? y ? ?62 ?k AB ? kCH ? ?1 ? y ? 1 ? (? 1 ) ? ?1 ? 3 ?x ? 2

∴ A 的坐标为 (?19, ?62) . 【例 3】(1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0)、N(-15,-6), l2 经过点 R(-2,

3 )、S(0, 2

5 ),试判断 l1 与 l2 是否平行? 2
(2) l1 的倾斜角为 45° , l2 经过点 P(-2,-1)、Q(3,-6),问 l1 与 l2 是否垂直?
5 3 ? 0 ? (?6) 1 1 ? , k RS ? 2 2 ? . ∴ l1 // l2 . 解: (1) ∵ k MN = ?3 ? (?15) 2 0 ? (?2) 2

(2) ∵ k1 ? tan 45? ? 1 , k2 ?

?6 ? (?1) ? ?1 , k1k2 ? ?1 ,∴ l1 ⊥ l2 . 3 ? (?2)

点评:当 l1 与 l2 的斜率存在时, k1 ? k2 ? l1 // l2 , k1 ?k2 ? ?1 ? l1 ? l2 .斜率不存在时,进行具 体的分析.由此先计算出斜率,根据斜率的相等或互为负倒数,从而判别平行或垂直. 【例 4】已知 A(1,1),B(2,2),C(3,-3),求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD. 解:设 D( x , y ),则 kCD ? k AB , kBC ? k AD .
? y ? ( ?3 ) ? ? ? x?3 ? ? 3) ?2 ? ( ? ? ? 2? 3 2? 1 ? ? 1 ? y ? ?x 2? 1 ,即 ? ,解得 y? 1 ?5 x ? y ? 6 x? 1 3 ? x? ? ? 2 . ? ?y ? ? 3 ? ? 2



3 3 ∴ D( , ? ) . 2 2
点评:通过设点 D 的坐标,把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起, 联系的纽带是斜率公式.解题的数学思想是方程求解,方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.

强化练习
1.下列说法中正确的是( ) B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 ) D. ?1 ? ? 2 ? 180?

A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 C.垂直的两直线的斜率之积为-1

2.若直线 l1、l2 的倾斜角分别为 ?1、? 2 , 且 l1 ? l2 ,则有( A. ?1 ? ?2 ? 90? B. ?2 ? ?1 ? 90?

C. ?2 ? ?1 ? 90?

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3.经过点 P(?2, m) 和 Q ( m, 4) 的直线平行于斜率等于 1 的直线,则 m 的值是( A.4 B.1
D



C.1 或 3

D.1 或 4

4. 若 A(? 4 ,2 ) , ( 6 ,B 4 ) , 1 (2 ,6 ? ) , ( 2 C 1 ,2 )

, 则下面四个结论: ① AB // CD ; ② AB ? CD ; ③ AC // BD ; ) C.②③ D.②④ ) D.无法判断 . .

④ AC ? BD .其中正确的序号依次为( A.①③ B.①④

5.已知 ?ABC 的三个顶点坐标为 A(5, ?1), B(1,1), C(2,3) ,则其形状为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

6.直线 l1 , l2 的斜率是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 l1与l2 的位置关系是 7.若过点 A(2, ?2), B(5,0) 的直线与过点 P(2m,1), Q(?1, ?m) 的直线平行,则 m= 1~5 BCBBA; 6.垂直; 7.1.

8.已知矩形 ABCD 的三个顶点的分别为 A(0,1), B(1,0), C (3, 2) ,求第四个顶点 D 的坐标. 解:设 D 的坐标为 ( x, y ) ,∵ AD ? CD, AD // BC , ∴ k AD ? kCD ? ?1, 且k AD ? K BC .

? y ?1 y ? 2 ? ? ?1 ? ?x ? 0 ?x ? 2 ? (舍去), ? ∴?x ?0 x ?3 ,解得 ? , ∴ D 的坐标为 (2,3) . y ? 1 y?3 y ? 1 2 ? 0 ? ? ? ? ? x ? 0 3 ?1 ?

9. ?ABC 的顶点 A(5, ?1), B(1,1), C (2, m) ,若 ?ABC 为直角三角形,求 m 的值. 解:若∠A 为直角,则 AC⊥AB,∴ k AC ?k AB ? ?1 ,即 若∠B 为直角,则 AB⊥BC,∴ k AB ?kBC ? ?1 ,即 若∠C 为直角,则 AC⊥BC,∴ k AC ?kBC ? ?1 ,即 所以, m ? ?7 或 m ? 3 或 m ? ?2 . 10.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行 线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 解: (1) 证明: 设 A、 B 的横坐标分别为 x1、 x2, 由题设知 x1>1, x2>1, 点 A(x1, log8x1), B(x2, log8x2). 因为 A、 B 在过点 O 的直线上, 所以
log 8 x1 log 8 x2 ? , 又点 C、 D 的坐标分别为(x1, log2x1)、 (x2, log2x2). x1 x2 log 2 x1 3log 8 x1 log 2 x2 3log 8 x2 ? , kOD ? ? . x1 x1 x2 x2

m ?1 1?1 ? ? ?1 ,解得 m ? ?7 . 2 ? 5 1? 5

1 ? 1 m ?1 ? ? ?1 ,解得 m ? 3 . 1 ? 5 2 ?1 m ? 1 m ?1 ? ? ?1 ,解得 m ? ?2 . 2 ? 5 2 ?1

由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则 kOC ?

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上. (2)解:由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 ∴x2=x13,将其代入
log 8 x1 log 8 x2 ? ,得 x13log8x1=3x1log8x1, x1 x2
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由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 ).

§3.2.1 直线的点斜式方程

知识考点
1.点斜式:直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,其方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) . 2.斜截式:直线 l 的斜率为 k,在 y 轴上截距为 b,其方程为 y ? kx ? b . 3.点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线.若直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) 且与 x 轴垂直,此时它的倾 斜角为 90° ,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为 x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0 . 4.注意:
y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点 P0 ( x0 , y0 ) , x ? x0

后者才是整条直线.

典型例题
【例 1】写出下列点斜式直线方程: (1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4; 解:(1) y ? 5 ? 4( x ? 3) 所以直线的点斜式方程为: y ? 1 ? 【例 2】已知直线 y ? kx ? 3k ? 1 . (1)求直线恒经过的定点; (2)当 ?3 ? x ? 3 时,直线上的点都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围. 解: (1)由 y ? k ( x ? 3) ? 1 ,易知 x ? ?3 时, y ? 1 ,所以直线恒经过的定点 ( ?3,1) .
?k ?(?3) ? 3k ? 1 ? 0 1 (2)由题意得 ? ,解得 k ? ? . k ? 3 ? 3 k ? 1 ? 0 6 ?

(2)经过点 B (3, ?1) ,倾斜角是 30? . (2) k ? tan ? ? tan 30? ?
3 ( x ? 3) . 3 3 , 3

【例 3】光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点 B(-2,6) , 求射入 y 轴后的反射线的方程. 解:∵A(-3,4)关于 x 轴的对称点 A1(-3,-4)在经 x 轴反射的光线上, 同样 A1(-3,-4)关于 y 轴的对称点 A2(3,-4)在经过射入 y 轴的反射线上, ∴k A2 B =

6?4 =-2. 故所求直线方程为 y-6=-2(x+2) ,即 2x+y-2=0. ?2 ? 3

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点评:由物理中光学知识知,入射线和反射线关于法线对称.光线的反射问题,也常常需要研 究对称点的问题.注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例 4】已知直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程. 解:由已知得 l 与两坐标轴不垂直. ∵直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,∴ 可设直线 l 的方程为 y ? (?4) ? k[ x ? (?5)] ,即 y ? 4 ? k ( x ? 5) . 则直线 l 在 x 轴上的截距为

4 ? 5 ,在 y 轴上的截距为 5 k ? 4 . k

1 4 根据题意得 ? | ? 5 |? | 5k ? 4 |? 5 ,即 (5k ? 4)2 ? 10 | k | . 2 k 2 8 当 k ? 0 时,原方程可化为 (5k ? 4)2 ? 10k ,解得 k1 ? , k2 ? ; 5 5
当 k ? 0 时,原方程可化为 (5k ? 4)2 ? ?10k ,此方程无实数解.

2 8 故直线 l 的方程为 y ? 4 ? ( x ? 5) ,或 y ? 4 ? ( x ? 5) . 5 5
即 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 . 点评:已知直线过一点时,常设其点斜式方程,但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示, 从而使用点斜式或斜截式方程时,要考虑斜率不存在的情况,以免丢解.而直线在坐标轴上的截距, 可正、可负,也可以为零,不能与距离混为一谈,注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.

强化练习
1.下面四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是( A. x =3 B. y =-5 ) B.通过点 (2, 0) 的所有直线 D.通过点 (2, 0) 且除去 x 轴的直线 ) C.2 y = x ) D. x =4 y -1

2.方程 y ? k ( x ? 2) 表示(

A.通过点 (?2,0) 的所有直线 C.通过点 (2, 0) 且不垂直于 x 轴的直线 3.直线 y ? ax ? b ( a ? b =0)的图象可以是(

4.已知直线 l 过点 P(3,4) ,它的倾斜角是直线 y ? x ? 1 的两倍,则直线 l 的方程为( A. y ? 4 ? 2( x ? 3) B. y ? 4 ? x ? 3 C. y ? 4 ? 0 ) D. x ? 3 ? 0



5.过点 P(1,2)且与原点 O 距离最大的直线 l 的方程( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0

C. x ? 3 y ? 7 ? 0

D. 3x ? y ? 5 ? 0

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6.倾斜角是 135? ,在 y 轴上的截距是 3 的直线方程是

. .

7.将直线 y ? x ? 3 ? 1绕它上面一点(1, 3 )沿逆时针方向旋转 15° ,得到的直线方程是 1~5 BCDDA; 6. y ? ? x ? 3 ; 7. y ? 3 x .

8.已知直线 l 在 y 轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的方程. 解:由已知得 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 .当 y ? 0 时, x ?
3 . k

3 3 1 3 由题可知, ? | | ?(?3) ? 6 ,解得 k ? ? ,所以直线 l 的方程为 y =± x-3. 4 4 2 k

9.已知△ ABC 在第一象限,若 A(1,1), B(5,1), ?A ? 60? , ?B ? 45? ,求: (1)边 AB 所在直线的方程;(2)边 AC 和 BC 所在直线的方程. 解:(1)边 AB 所在直线的方程为 y ? 1 . (2)∵ AB 平行于 x 轴,且△ ABC 在第一象限, k AC ? tan 60? ? 3 ,
kBC ? tan(180? ? 45? ) ? ? tan 45? ? ?1 .

∴ 直线 AC 的方程为 y ? 1 ? 3( x ? 1) ,即 y ? 3x ? 3 ? 1 ; 直线 BC 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 5) ,即 x ? y ? 6 ? 0 . 10.国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵,方阵前排距观礼台 120 米, 方阵纵列 95 人,每列长度 192 米,问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果? 解: 所谓满意,可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的. 设观礼者居高 a 米,从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为 b 米. 依题意,每列从第一个人到最后一个人(第 95 人)有 94 个间空, 列长 192 米,则每列相邻二人平均间距约 2 米. 为简单起见,不妨设位于 192 米长的队列中点前后的两人间隔是 2 米,则 设第一、二排间距为 x 米,则
a 120 ? (95 ? 2) ? b 2

a 120 ? x 2 ?120 ,于是, x ? ? ? 1.1 (米). b x 120 ? 95

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