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广东省龙山中学2010-2011学年高二3月月考(数学理)

龙山中学 201 届 3 月月考试题

高二数学(理)
命题人: 吴伟阳 核对人:林文榜 第一部分 选择题(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的.
1.设集合 A ? {x | y ? 2x ? x2 }, B ? {y | y ? 2x} ,则 A? B ? ( )

A.(0,2) B.[0 ,2]

C. (1 , 2] D.(0 ,2]

2.已知? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ?, 那么“ m ? ? ”是“? ? ? ”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )

A. 4 5

B. 3 5

C. 2 5

D. 1 5

4.若等差数列{ an }的前三项和 S3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于( )

A.3

B.4

C.5

D.6

5.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm ),可得这个几何体

的体积是 ( )

A. 8 cm3 B. 4 cm3 C. 2 cm3

3

3

3

D. 1 cm3 3

6. 在△ ABC 中, B ? 135 , C ? 15 , a ? 5 ,则此三角形的最大边长为(



A. 5 3

B. 4 3

C. 5 2

D. 4 2

7.已知函数 f (x) ? ln(x ? x2 ?1), 若实数 a , b 满足 f (a) ? f (b ? 2) ? 0 ,则 a ? b ? ( )

A. ?2

B. ?1

C. 0

D. 2

8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f (x) 的图象恰

好通过 n(n ? N ? ) 个整点,则称函数 f (x) 为 n 阶整点函数.有下列函数:

① f (x) ? sin 2x ; ② g(x) ? x3 ③ h(x) ? (1)x; 3
其中是一阶整点函数的是( )

④?(x) ? ln x ,

A.①②③④

B.①③④

C.①④

D.④

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡相应位置。

?y ? x

9、已知不等式组

? ?

y

?

?x

,表示的平面区域的面积为

4,点

P(x

,

y)



??x ? a

所给平面区域内,则 z ? 2x ? y 的最大值为

.

10.已知双曲线

C



x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

? 0,b ? 0? 的

离心率 e ? 2 ,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,

则双曲线 C 的方程为



11. 右面框图表示的程序所输出的结果是_______ .

12. 函 数 f (x) ? (x ? 3)ex 的 单 调 递 增 区 间 是

_____________
13.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项
an ? _____________;若它的第 k 满足 5 ? ak ? 8 ,则

k ? _____________

14.设函数

f

?x? ?

?x

?

1??x
x

?

a?

为奇函数,则实数

a

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 12 分) 函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ?) 2
的部分图象如图所示

(1)求 f (x) 的最小正周期及解析式;

(2)设 g(x) ? f (x) ? cos 2x, 求函数 g(x) 在 区间 [0 , ? ] 上的最大值和最小值. 2

16. (本小题满分 12 分)某项选拔共有四轮 考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题 者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某

选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4 、 3 、 2 、 1 ,且各轮问题 5555

能否正确回答互不影响.

(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

(注:本题结果可用分数表示)

_P

17.(本小题满分 14 分)右图为一简单组合体,

其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,

_E

且 PD ? 2EC ,

_N

(1)求证: BE //平面 PDA;

(2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ; _D

_C

_A

_B

18.(本小题满分 14 分)已知圆 C 的圆心为 C(m, 0), m ? 3 ,半径为 5 ,圆 C 与椭圆 E :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 有一个公共点 A (3,1), F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点.

(1)求圆 C 的标准方程;

(2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求

出椭圆 E 和直线 PF1 的方程;若不能,请说明理由.

19、(本小题满分 14 分)已知等差数列?an?的公差为 ?1, 且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 ,

(1)求数列?an? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ;

(2)将数列?an?的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列?bn?

的前 3 项,记 ?bn?的前 n 项和为 Tn , 若存在 m ? N * , 使对任意 n ? N ? 总有

Sn ? Tm ? ? 恒成立, 求实数 ? 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? ln x ?1 x ?1
(Ⅰ)求函数的定义域,并证明 f (x) ? ln x ?1 在定义域上是奇函数; x ?1

(Ⅱ)若 x ?[2, 6] f (x) ? ln x ?1 ? ln

m

恒成立,求实数 m 的取值范围;

x ?1 (x ?1)(7 ? x)

(Ⅲ)当 n ? N * 时,试比较 f (2) ? f (4) ? f (6) ?... ? f (2n) 与 2n ? 2n2 的大小关系.

3 月月考试卷高二数学(理)

参考答案

1.D 2.A 3.B 4. A 5.B 6.C 7.D 8. C

9. 6

10. x2 ? y2 ? 1 3

11. 1320

12. (2, ??)

13. 2n-10 ;: 8

14.-1

∵ 0 ? x ? ? , ∴ ? ? ? 2x ? ? ? 5?

2

6

66

当 2x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, g(x) 有最大值,最大值为1,

62

3

当 2x ? ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g(x) 有最小值,最小值为 ? 1 …………………12 分

66

2

17.解:(1)证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA, EC ? 平面 PDA

∴EC//平面 PDA, 同理可得 BC//平面 PDA∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC BC ? C

∴平面 BEC //平面 PDA

又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA---------------7 分

(2)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF,

∵F 为 BD 的中点,

∴ NF // PD 且 NF ? 1 PD , 2

又 EC // PD 且 EC ? 1 PD 2

∴ NF // EC 且 NF ? EC

∴四边形 NFCE 为平行四边形

∴ NE // FC

∵ DB ? AC , PD ? 平面 ABCD ,

AC ? 面 ABCD ∴ AC ? PD ,

又 PD BD ? D

∴ AC ?面 PBD

∴ NE ? 面 PDB ----------------------14 分

18. 解:(1)由已知可设圆 C 的方程为 (x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3)

将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5

即 (3 ? m)2 ? 4 ,解得 m ? 1,或m ? 5 ∵m?3 ∴m ?1 ∴圆 C 的方程为 (x ? 1)2 ? y 2 ? 5 ……………………….6 分

(2)直线 PF1 能与圆 C 相切

依题意设直线 PF1 的方程为 y ? k(x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0

k ? 0 ? 4k ? 4

若直线 PF1 与圆 C 相切,则

?5 k2 ?1

∴ 4k 2 ? 24k ?11 ? 0 ,解得 k ? 11,或k ? 1

2

2



k

?

11 2

时,直线

PF1



x

轴的交点横坐标为

36 11

,不合题意,舍去

当k

?

1 2

时,直线

PF1



x

轴的交点横坐标为 ?

4



∴ c ? 4,F1(?4,0),F2 (4,0)

∴由椭圆的定义得:

2a ? AF1 ? AF2 ? (3 ? 4)2 ?12 ? (3 ? 4)2 ?12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2

∴ a ? 3 2 ,即 a2 ? 18, ∴ b2 ? a2 ? c2 ? 2

直线 PF1 能与圆 C 相切,直线PF1 的方程为x ? 2y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为

x 2 ? y 2 ? 1 ……….14 分 18 2

19、 解:(1) 由 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 得 a7 ? ?2 ,所以 a1 ? 4

? an ? 5 ? n ,

从而

Sn

?

n(9 ? 2

n)

----------------------------6



(2)由题意知 b1 ? 4, b2 ? 2, b3 ? 1

设等比数列?bn?的公比为 q ,则 q

?

b2 b1

?

1 2



?

Tm

?

4

???1

?

(

1 2

)m

1? 1

? ??

?

8 ???1?

(1)m 2

? ??

2

( 1 )m 随 m 递减, 2

? ?Tm? 为递增数列,得 4 ? Tm ? 8



Sn

?

n(9 ? 2

n)

?

?

1 2

(n2

? 9n)

?

?

1 2

???(n

?

9)2 2

?

81? 4 ??



故 (Sn )max ? S4 ? S5 ? 10 ,

若存在 m ? N * , 使对任意 n ? N ? 总有 Sn ? Tm ? ?
则10 ? 8 ? ? ,得 ? ? 2 ------------------------14 分 20.解:(Ⅰ)由 x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1或 x ?1 ,
x ?1

∴ 函数的定义域为 (??, ?1) (1, ??)

当 x ?(??, ?1) (1, ??) 时,

f (?x) ? ln ?x ?1 ? ln x ?1 ? ln( x ?1)?1 ? ? ln x ?1 ? ? f (x)

?x ?1 x ?1 x ?1

x ?1

∴ f (x) ? ln x ?1 在定义域上是奇函数。 x ?1

………4 分

(Ⅱ)由 x ?[2, 6]时, f (x) ? ln x ?1 ? ln

m

恒成立,

x ?1 (x ?1)(7 ? x)

∴ x ?1 ?

m

? 0, x ?[2, 6]

x ?1 (x ?1)(7 ? x)

∴ 0 ? m ? (x ?1)(7 ? x) 在 x ?[2, 6]成立

令 g(x) ? (x ?1)(7 ? x) ? ?(x ? 3)2 ?16 , x ?[2, 6],由二次函数的性质可知

x ?[2,3] 时函数单调递增, x ?[3, 6] 时函数单调递减,

x ?[2, 6]时, g(x)min ? g(6) ? 7

∴0?m?7

………8 分

(Ⅲ) f (2) ? f (4) ? f (6) ? ??? ? f (2n) = ln 3 ? 5 ? 7 ????? 2n ?1 ? ln(2n ?1)

135

2n ?1

证法一:设函数 h(x) ? ln x ? (x ?1)(x ? 1) , x ?[1, ??)

则 x ?(1, ??) 时, h?(x) ? 1? x ? 0 ,即 h(x) 在 (1 , ??) 上递减, x
所以 h(x) ? h(1) ? 0 ,故 ln x ? x ?1 ln x ? x ?1在 x ?[1, ??) 成立,

则当 x ? 2n ?1(n ? N ? ) 时, ln(2n ?1) ? 2n ? 2n2 ? 2n 成立. ………14 分

证法二:构造函数 h(x) ? ln(1? x) ? (x ? x2 )(x ? 0) , h?(x) ? 1 ? x ?1 ? ?x2 ? 2x

2

x ?1

x ?1

当 x ? 0 时, h?(x) ? 0 ,∴ h(x) ? ln(1? x) ? (x ? x2 ) 在 (0, ??) 单调递减, 2

?h(x) ? h(0) ? 0

………12 分

当 x ? 2n ( n ? N ? )时, ln(1? 2n) ? (2n ? 2n2 ) ? 0 ?ln(1? 2n) ? 2n ? 2n2 …14 分