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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛(A)题目_图文

2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
(请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范” )

A题

嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射,12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥三号 在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t,其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力,其比冲(即单位质量的推进剂产生的推力)为 2940m/s,可以满足调 整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机,在给定主减速发动机的推力方向后,能 够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W,44.12N,海拔为-2641m(见附件 1)。 嫦娥三号在高速飞行的情况下, 要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆, 关键问题 是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求:着陆准备轨道为近月点 15km, 远月点 100km 的椭圆形轨道; 着陆轨道为从近月点至着陆点, 其软着陆过程共分为 6 个阶段 (见附件 2) ,要求满足每个阶段在关键点所处的状态;尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 根据上述的基本要求,请你们建立数学模型解决下面的问题: (1) 确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置, 以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 (2)确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 (3)对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

附件 1: 问题的背景与参考资料; 附件 2: 嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求; 附件 3:距月面 2400m 处的数字高程图; 附件 4:距月面 100m 处的数字高程图。

附件 1:问题 A 的背景与参考资料
1.中新网 12 月 12 日电(记者 姚培硕)
根据计划, 嫦娥三号将在北京时间 12 月 14 号在月球表面实施软着陆。 嫦娥三号如何实 现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。目前,全球仅有美国、前苏联成功实施了 13 次 无人月球表面软着陆。

北京时间 12 月 10 日晚, 嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道, 这是嫦 娥三号“落月”前最后一次轨道调整。在实施软着陆之前,嫦娥三号还将在这条近月点高度 约 15 公里、远月点高度约 100 公里的椭圆轨道上继续飞行。期间,将稳定飞行姿态,对着 陆敏感器、着陆数据等再次确认,并对软着陆的起始高度、速度、时间点做最后准备。 “发射、近月制动、变轨和月面降落比较起来,后者更为关键。这对我们来说是一个全 新的,也是一个最重要的考验。”中国探月工程总设计师吴伟仁表示。 嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性,最终“落月” 地点的选择仍存在一定难度。据悉,嫦娥三号将在近月点 15 公里处以抛物线下降,相对速 度从每秒 1.7 公里逐渐降为零。 整个过程大概需要十几分钟的时间。 探测器系统副总指挥谭 梅将其称为“黑色 750 秒”。 由于月球上没有大气,嫦娥三号无法依靠降落伞着陆,只能靠变推力发动机,才能完成 中途修正、近月制动、动力下降、悬停段等软着陆任务。据了解,嫦娥三号主发动机是目前 中国航天器上最大推力的发动机, 能够产生从 1500 牛到 7500 牛的可调节推力, 进而对嫦娥 三号实现精准控制。 在整个“落月”过程中,“动力下降”被业内形容为最惊心动魄的环节。在这个阶段, 嫦娥三号要完全依靠自主导航控制,完成降低高度、确定着陆点、实施软着陆等一系列关键 动作,人工干预的可能性几乎为零。 “在这个时间段内测控都跟不上了,判断然后上去执行 根本来不及,只能事先把程序都设定好。”谭梅表示。 在距月面 100 米处时,嫦娥三号要进行短暂的悬停,扫描月面地形,避开障碍物,寻找 着陆点。 “如果下面有个大坑,需要挪个地方,它就会自己平移, 等照相机告诉它地面平了, 才会降落”。中国绕月探测工程首任首席科学家、中国科学院院士欧阳自远介绍。 之后,嫦娥三号在反推火箭的作用下继续慢慢下降,直到离月面 4 米高时再度悬停。此 时,关掉反冲发动机,探测器自由下落。由于探测器具备着陆缓冲机构,几个腿都有弹性, 落地时不至于摔坏。 安全降落以后,嫦娥三号将打开太阳能电池板接收能量,携带的仪器经过测试、调试后 开始工作。随后,“玉兔号”月球车将驶离着陆器,在月面进行 3 个月的科学勘测,着陆器 则在着陆地点进行原地探测。 这将是中国航天器首次在地外天体的软着陆和巡视勘探, 同时 也是 1976 年后人类探测器首次的落月探测。 (http://www.chinanews.com/mil/2013/12-12/5608941.shtml)

2.嫦娥三号近月轨道示意图(曲振东 编制)

附图 1:嫦娥三号近月轨道示意图 (http://news.xinhuanet.com/photo/2013-12/02/c_125789895.htm)

3. 嫦娥三号着陆区域和着陆点示意图

附图 2:嫦娥三号着陆区域和着陆点示意图

(http://blog.guandian.cn/?p=83491) 4.主发动机和姿态调整发动机的分布图
嫦娥三号安装有大推力主减速发动机一台,位于正下方。小型姿态调整发动机 16 台, 分布在相对前、后、左、右四个侧面,如附图 3 是一个侧面的分布情况。

附图 3:嫦娥三号主发减速动机与姿态调整发动机的分布图

5.关于比冲
比冲或比冲量是对一个推进系统的燃烧效率的描述。 比冲的定义为: 火箭发动机单位质 量推进剂产生的冲量,或单位流量的推进剂产生的推力。比冲的单位为米/秒(m/s) ,并满 足下列关系式:

Fthrust ? ve m ,
其中

Fthrust 是发动机的推力,单位是牛顿; ve 是以米/秒为单位的比冲;

? 是单位时间燃料消耗的公斤数。 m
6.关于月球参数
月 球 平 均 半 径 、 赤 道 平 均 半 径 和 极 区 半 径 分 别 为 1737.013km 、 1737.646km 和 1735.843km,月球的形状扁率为 1/963.7256,月球质量是 7.3477×10 kg。月球与地球距离 最远(远地点) :406610km,最近(近地点) :356330km,平均距离为 384400km。 NASA 月球勘测轨道飞行器使用的月面海拔零点,是月球的平均半径所在的高度。所以, 嫦娥三号着陆点的海拔为-2640m,即该点到月球中心的距离要比月球的平均半径少 2640m。
22

参考文献
[1]维基百科,轨道根数.http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_elements. 2014.1.17 [2]维基百科,比冲. http://en.wikipedia.org/wiki/Specific_impulse. 2014.1.17

附件 2: 嫦娥三号软着陆过程的六个阶段及其状态要求
1. 嫦娥三号软着陆过程示意图

附图 4 嫦娥三号软着陆过程示意图

2.嫦娥三号软着陆过程分为 6 个阶段的要求
(1)着陆准备轨道:着陆准备轨道的近月点是 15KM,远月点是 100KM。近月点在月心 坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。 (2)主减速段:主减速段的区间是距离月面 15km 到 3km。该阶段的主要是减速,实现 到距离月面 3 公里处嫦娥三号的速度降到 57m/s。 (3) 快速调整段: 快速调整段的主要是调整探测器姿态, 需要从距离月面 3km 到 2.4km 处将水平速度减为 0m/s,即使主减速发动机的推力竖直向下,之后进入粗避障阶段。 (4)粗避障段:粗避障段的范围是距离月面 2.4km 到 100m 区间,其主要是要求避开大 的陨石坑,实现在设计着陆点上方 100m 处悬停,并初步确定落月地点。

嫦娥三号在距离月面 2.4km 处对正下方月面错误!未找到引用源。×2300m 的范围进行 拍照,获得数字高程如附图 5 所示(相关数据文件见附件 3) ,并嫦娥三号在月面的垂直投 影位于预定着陆区域的中心位置。

附图 5: 距月面 2400m 处的数字高程图 该高程图的水平分辨率是 1m/像素,其数值的单位是 1m。例如数字高程图中第 1 行第 1 列的数值是 102,则表示着陆区域最左上角的高程是错误!未找到引用源。米。 (5)精避障段:精细避障段的区间是距离月面 100m 到 30m。要求嫦娥三号悬停在距离 月面 100m 处,对着陆点附近区域 100m 范围内拍摄图像,并获得三维数字高程图。分析三维 数字高程图,避开较大的陨石坑,确定最佳着陆地点,实现在着陆点上方 30m 处水平方向速 度为 0m/s。 附图 6 是在距离月面 100m 处悬停拍摄到的数字高程图 (相关数据文件见附件 4) 。

附图 6: 距离月面 100m 处的数字高程图

该数字高程的水平分辨率为 0.1m/像素,高度数值的单位是 0.1m。

(6)缓速下降阶段:缓速下降阶段的区间是距离月面 30m 到 4m。该阶段的主要任务控 制着陆器在距离月面 4m 处的速度为 0m/s,即实现在距离月面 4m 处相对月面静止, 之后关 闭发动机,使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。

注:附件 3 和附件 4 中数字高程图对应的*.tif 文件可以使用 Matlab 的“imread”命令 打开,“imread”的具体使用方法见 Matlab 相关帮助。


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