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期末考试复习1—基本不等式


期末考试复习一之基本不等式
一、知识点 1.基本不等式: ab≤

a+b
2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式

b a ?a+b?2 ? (a,b∈R); (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2) + ≥2(a,b 同号);(3)ab≤? a b ? 2 ?
(4)

a2+b2 ?a+b?2
2

? (a,b∈R). ≥? ? 2 ?

3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为

a+b
2

,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个

正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4 5.一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab 逆用就是

p2

ab≤

a2+b2 a+b
2 ;

?a+b?2 ? (a,b>0)等.还要注意“添、拆项” ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? 2 ? 2 ?

技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1) (2)

a2+b2 ?a+b?2
2

? ≥ab(a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号); ≥? ? 2 ? 2 ≥ 2 ≥ ab≥ 2 1 1 (a>0,b>0,当且仅当 a=b 时取等号).

a2+b2 a+b

a b
三个注意 (1)使用基本不等式求最值, 其失误的真正原因是其存在前提 “一正、 二定、 三相等” 的忽视. 要
1



利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 二、题型与方法 1、求最值 技巧一:凑项 5 例 1:已知 x ? ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

技巧二:凑系数 例 1. 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

技巧四:换元 例 4. y ? sin x ?

4 , x ? (0, ? ) sin x
a 的单调性。 x

注意: 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不到的情况, 应结合函数 f ( x ) ? x ? 变式:求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

技巧五:条件求最值 例 5.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 a ? 3b 的最小值是
2

.

变式:若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x,y 的值 x y

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y
? (2)已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x ? y 的最小值

?

x

y

变式:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y=

1

ab

的最小值.

技巧六:取平方 例 6.已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值. 2.利用基本不等式证明不等式 例 7.已知 a , b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

例 8.正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

? 1 ?? 1 ?? 1 ? 变式:已知 a、b、c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

3、基本不等式与恒成立问题

3

1 9 例 9.已知 x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

4、均值定理在比较大小中的应用: 1 a?b ), 例: 若 a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( 则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

4

解: (1)y=3x 2+

1 2 ≥2 2x

3x 2· 1 ≥2 x

1 2 2x x·

= 6 1 x

∴值域为[ 6 ,+∞)

(2)当 x>0 时,y=x+

=2; 1 x

当 x<0 时, y=x+

1 1 = -(- x- )≤-2 x x



=-2

∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)? 1 拆、凑项,
5 1 1 ? ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

4x ? 5

不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题 为两个式子积的形式, 但其和不是定值。 注意到 2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值, 故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

当且仅当 5 ? 4 x ?

当 ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。 评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不 等式求最大值。 解析一:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分 离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号) x ?1

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。 (t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。即化为 y ? mg ( x) ? 用基本不等式来求最值。
A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运 g ( x)

5

2 解:令 x2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x 2 ? 4 ?

x ?4
2

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

1 1 因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 t t 5 1 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 。 2 t

?5 ? 所以,所求函数的值域为 ? , ?? ? 。 ?2 ?

分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3a ? 3b 定值,因此考虑利用均值定理求最 小值, 解: 3 a 和3b 都是正数, 3 a ? 3b ≥ 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6 当 3 a ? 3b 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 a ? 3b 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时,3 a ? 3b 的最小值 是 6.
1 9 1 9? 9 错解 : 且 ? ? 1, ? x ? 0, y ? 0 , ? x? y ?? ? ?? x ? y? ? 2 2 xy ? 12 .. ? x y xy ? x y?



? x ? y ?min ? 12



错因: 解法中两次连用基本不等式, 在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在 1 ? 9 ? 2 9 等
x y x y

号成立条件是

1 9 ? 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用基本不等式 x y

处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。
? ? 正解:? x ? 0, y ? 0, 1 ? 9 ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? 1 ? 9 ? ? y ? 9 x ? 10 ? 6 ? 10 ? 16
x y

?x

y?

x

y

当且仅当

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 中 y 前面的系数为 , 2
2

a 2+b 2
2
2

。 1+y 2 2· 2

同时还应化简 1+y 1 y2 + 2 2 1 y2 + 2 2

2

x 1+y

=x

= 2



下面将 x,

分别看成两个因式:

6



1 y + 2 2

2

x +( ≤ 3 4

2

1 y2 + 2 2 2

y2 1 ) x + + 2 2 = 2
2 2



3 4

即 x 1+y

2

= 2 ·x

1 y2 + 2 2



2

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问 题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等 式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考 虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。 30-2b 法一:a= , b+1 30-2b -2 b 2+30b ab= ·b= b+1 b+1

由 a>0 得,0<b<15 令 t = b+1 , 1 < t < 16 , ab = 16 -2t 2+34t-31

t

=- 2 ( t +

16

t

)+ 34 ∵ t +

16

t



2



t

=8 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18

∴ ab≤18

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab ∴ 30-ab≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 a?b ? ab(a, b ? R ?) 点评:①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力;②如何 2 由已知不等式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到 a ? b与ab 之间的 (a, b ? R ?) 关系,由此想到不等式
a?b ? ab(a, b ? R ?) ,这样将已知条件转换为含 ab 的不等式,进而 2

解得 ab 的范围. 变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 3x + 2y ≤ 2

a+b
2



a 2+b 2
2

,本题很简单

( 3x )2+( 2y )2 = 2

3x+2y =2 5

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形 式,再向“和为定值”条件靠拢。

W>0,W2=3x+2y+2 3x · 2y =10+2 3x · 2y ≤10+( 3x )2·( 2y )2 =10+(3x
+2y)=20
7

∴ W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。 解析:注意到 2 x ? 1与 5 ? 2 x 的和为定值。
2 2

y2 ? ( 2x ?1 ? 5 ? 2x )2 ? 4 ? 2 (2x ?1)(5 ? 2x) ? 4 ? (2x ?1) ? (5 ? 2 x) ? 8
又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2
3 时取等号。 故 ymax ? 2 2 。 2 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件。 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些 变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。 分析:不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘,

当且仅当 2 x ? 1= 5 ? 2 x ,即 x ?

又 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2 bc ,可由此变形入手。
a a a a

解: b、 c ? R ? ,a ? b ? c ? 1 。 ? a、 ? ?1 ?

1 a

1 2 ac 1 1 ? a b ? c 2 bc 。 同理 ? 1 ? , ? 1 ? 2 ab 。 ? ? b b a a a c c

上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?

解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0,
?1 ?

1 9 x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1,? ? ? 1. ? ? ? ?1 x y kx ky k kx ky

10 3 ? 2 ? 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? k k

分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0
Q? 1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2

∴R>Q>P。

8


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