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高一数学必修一课件--2.2.2《指、对数函数与反函数》课件


2.2.2
第三课时

对数函数及其性质
指、对数函数与反函数

问题提出
设a>0,且a≠1为常数, ? s.若以 a t为自变量可得指数函数y=ax,若以s 为自变量可得对数函数y=logax. 这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释?
t

知识探究(一):反函数的概念 思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直

线运动,分别以位移s和时间t为自变量, 可以得到哪两个函数?这两个函数相同 吗? 思考2:设 2 x ? y,分别x、y为自变量可以 得到哪两个函数?这两个函数相同吗? 思考3:我们把具有上述特征的两个函数 互称为反函数,那么函数y=ax(a>0, 且a≠1)的反函数是什么?函数 y ? 2 x ? 1 的反函数是什么?

思考4:在函数y=x2中,若将y作自变量, 那么x与y的对应关系是函数吗?为什么?

思考5:一个函数在其对应形式上有一对一 和多对一两种,那么在哪种对应下的函数 才存在反函数?

知识探究(二): 指、对数函数的比较分析

思考1:当a>1时,指、对数函数的图象 和性质如下表:你能发现这两个函数 有什么内在联系吗?

y=ax

(a>1)
1 0 x

y=logax(a>1)
y 0

图象 定义域
值域 性质

y

1

x

R

(0, ??)
R
当x>1时y>0; 当0<x<1时y<0; 当x=1时y=0; 在R上是减函数.

(0, ??)
当x>0时y>1; 当x<0时0<y<1; 当x=0时y=1; 在R上是增函数.

思考2:一般地,原函数与反函数的定义 域、值域有什么关系?函数图象之间有 什么关系?单调性有什么关系?
1 思考3:函数y = 1-x , y ? 的反函数 x

分别是什么?由此推测:如果函数 y=f(x)的图象关于直线y= x对称,则 函数f(x)与其反函数有什么关系?

理论迁移

例1 求下列函数的反函数: (1)y=3x-1 ; (2)y= x +1 (x≥0);
x ?1

(3)y ? 3

? 2 ;(4) y ? log 1 ( x ? 4) .
2 x

例2 已知函数 f ( x) ? log 2 (1 ? 2 ) . (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.

例3 若点P(1,2)同时在函数y= ax ? b 及其反函数的图象上,求a、b 的值.


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