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第六章 第一节 不等关系与不等式


不等关系与不等式 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 了解现实世界和日常生活中的不等关系. 了解现实世界和日常生活中的不等关系 2.了解不等式(组)的实际背景 .了解不等式 组 的实际背景

[理 要 点] 理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b ;a-b=0? a=b ; - > ? > - = ? = a-b<0? a<b . - < ? < 二、不等式的基本性质 1.对称性:a>b? b<a . .对称性: > ? < 2.传递性:a>b,b>c? a>c . .传递性: > , > ? > 3.加法性质:a>b?a+c > b+c; .加法性质: > ? + + ; a>b,c>d?a+c > b+d. > , > ? + +

4.乘法性质:a>b,c>0?ac > bc; .乘法性质: > , > ? ; a>b,c<0?ac < bc; > , < ? ; a>b>0,c>d>0?ac > bd. > > , > > ? 1 1 5.倒数法则:a>b,ab>0?a< b; .倒数法则: > , > ?
1 1 同号即可, <b,ab>0?a > b.(同号即可,而不要求 a,b 均 > ? 同号即可 , a 大于 0)

6.乘方性质:a>b>0?an > bn(n∈N,n>1). .乘方性质: > > ? ∈ , > .

7.开方性质:a>b>0? a > .开方性质: > > ?

n

n

b(n∈N,n>1). ∈ , > .

[究 疑 点] 究 1.同向不等式相加与相乘的条件可否一致? .同向不等式相加与相乘的条件可否一致? 提示:同向不等式相加,对两端字母无条件限制, 提示:同向不等式相加,对两端字母无条件限制, 而同向不等式相乘必须两端字母为正, 而同向不等式相乘必须两端字母为正,否则不一定 成立. 成立. 2.不等式两端平方可否为任意实数? .不等式两端平方可否为任意实数? 提示:两端平方时,若为负时不等式不成立, 提示:两端平方时,若为负时不等式不成立,故仍 限制两端必须同时为正. 限制两端必须同时为正.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.某地规定本地最低生活保障金不低于300元,上述不 .某地规定本地最低生活保障金不低于 元 等关系写成不等式为________. . 等关系写成不等式为 解析:设最低生活保障金为 元 解析:设最低生活保障金为x元,则x≥300. 答案: 答案:x≥300

2.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分 .某电脑用户计划使用不超过 元的资金购买单价分 别为60元 元的单片软件和盒装磁盘. 别为 元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要, 元的单片软件和盒装磁盘 根据需要, 软件至少买3片,磁盘至少买2盒.写出满足上述所有 软件至少买 片 磁盘至少买 盒 不等式关系的不等式. 不等式关系的不等式.

解:设购买单片软件和盒装磁盘分别为 x 片、y 盒. + ≤ , ?60x+70y≤500, ? ?x≥3, ≥ , ? ≥ , 则?y≥2, ? ∈ , ?x∈N, ?y∈N. ? ∈

3.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 .某钢铁厂要把长度为 的钢管截成500 mm和 的钢管截成 和 600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不 两种, 两种 按照生产的要求, 钢管的数量不 能超过500 mm钢管的 倍,写出满足上述所有不等关 钢管的3倍 能超过 钢管的 系的不等式. 系的不等式.

解:假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600 mm 的钢管 y 根. 根据题意,应有如下的不等关系: 根据题意,应有如下的不等关系: + ≤ , ?500x+600y≤4 000, ? ≥ , ?3x≥y, ?x≥0, ≥ , ? ≥ , ?y≥0, ?x∈N, ∈ , ?y∈N. ? ∈

[归纳领悟] 归纳领悟] 区分“不等关系” 区分“不等关系”与“不等式”的异同,不等关系 不等式”的异同, 强调的是关系,可用符号“>”,“<”,“≠”, 强调的是关系,可用符号“ “≠”, “≥”,“≤”表示,而不等式则是表现两者的不等关 “≥”,“≤”表示, 表示 系,可用“a>b”,“a<b”,“a≠b”,“a≥b”, 可用“ 等式子表示, “a≤b”等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体 现的. 现的.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.下列不等式可以推出 a>b 的是 . A.ac>bc . C.a+c>b+d . + + a b B.c> c D.a-c>b-c . - - ( )

答案: 答案:D

π π β 2.设 α∈(0, ),β∈[0, ],那么 2α- 的取值范围 . ∈ ,2 , ∈ ,2 , -3 是 5π A.(0, ) . , 6 C.(0,π) . , π 5π B.(- , ) .- 6 6 π D.(- ,π) .- 6 ( )

β π 解析: 解析:由题设得 0<2α<π,0≤ ≤ , < < , ≤ 3 6 π β ∴- ≤- ≤0, , 6 3 π β ∴- <2α- <π. - 6 3

答案: 答案:D

3.对于实数 a,b,c,判断下列命题的真假. . , , ,判断下列命题的真假. (1)若 a>b,则 ac>bc;(2)若 a>b,则 ac2>bc2; 若 , ; 若 , 1 1 (3)若 a<b<0,则 a >ab>b ;(4)若 a<b<0,则a>b; 若 , 若 ,
2 2

b a (5)若 a<b<0,则a>b. 若 ,

解:(1)因未知 c 的正负或是否为零,无法确定 ac 与 bc 的大 因未知 的正负或是否为零, 小,所以是假命题. 所以是假命题. (2)因为 c2≥0,所以只有 c≠0 时才正确.c=0 时,ac2=bc2, 因为 , ≠ 时才正确. = 所以是假命题. 所以是假命题. (3)a<b,a<0?a2>ab;a<b,b<0?ab>b2,命题是真命题. , 命题是真命题. ? ; , ? 1 1 命题是真命题. (4)由 a<b<0?a>b,命题是真命题. 由 ? 2 3 (5)例如-3<-2<0, < ,命题是假命题. 例如- - 例如 ,3 2 命题是假命题. - - ?-a>-b>0 ?-a>-b>0 ? ? 或者由 a<b<0??1 1 ? ?? 1 1 - ?b<a<0 ?-b>-a>0 ? ? a b 命题是假命题. ?b>a,命题是假命题.

1 1 若a<b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a ,则下列不等式: + < ; > ; b a <b;④a+b>2 中,正确的不等式有 ; A.1 个 . C.3 个 . B.2 个 . D.4 个 . ( )

1 1 解析: 解析:∵a<b<0,∴a<0,b<0.∴a+b<0,ab>0,∴a , < , < ∴ + < , > , +b<ab,①正确. < , 正确. - 1 1 1 1 b-a 由a<b<0,得a-b= ab <0. , ∵ab>0,∴b-a<0,即 b<a,∴③错误. 错误. > , - < , < ,∴③错误 错误. 由 b<a<0,知|b|>|a|,∴②错误. < < , > ,∴②错误 b2+a2-2ab (a-b)2 - ) b a 由(a+b)-2= - = = ab , ab (a-b)2 - ) b a 2 (a- ∵b<a<0, ab>0, -b) >0.∴ ab >0, a+b>2, < < , ∴ > , ∴ , 即 , ∴④正确. ∴④正确. 正确

答案: 答案:B

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 (1)使用不等式的性质判断一些不等式是否成立,可用直 使用不等式的性质判断一些不等式是否成立, 使用不等式的性质判断一些不等式是否成立 接法,有时用特值法也十分简便. 接法,有时用特值法也十分简便. (2)要注意不等式性质中的条件是否为充要条件,不能用 要注意不等式性质中的条件是否为充要条件, 要注意不等式性质中的条件是否为充要条件 充分不必要条件的性质解不等式. 充分不必要条件的性质解不等式

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x),g(x) . = + , = - , , 的大小关系是________. . 的大小关系是 解析: 解析:∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, - = + = - > , ∴f(x)>g(x). > . 答案: > 答案:f(x)>g(x)

2.若x<y<0,试比较 2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小. . < < ,试比较(x 的大小. - 与 + 的大小 解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) - - + (x- (x+ ]=- =-2xy(x-y), =(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, < < , > , - < , - > , ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). - > + .

3.已知等比数列 n}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,试比 .已知等比数列 数列{a 中 , , S3 S 5 的大小. 较 与 的大小. a3 a5

S3 S5 S3 S5 解:当 q=1 时, =3, =5,所以 < ; = , , a3 a5 a3 a5 当 q>0 且 q≠1 时, ≠ a1(1-q5) q2(1-q3)-(1-q5) - 3 - - - S3 S5 a1(1-q ) - = - = a3 a5 a1q2(1-q) a1q4(1-q) q4(1-q) - ) - ) - ) - -q-1 S3 S5 <0,所以有 < . = , q4 a3 a5 S 3 S5 综上可知有 < . a3 a5

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 实数大小的比较问题常常用“比较法”来解决, 实数大小的比较问题常常用“比较法”来解决,“比 较法” 较法”有“作差比较法”和“作商比较法”两种,可根据 差比较法” 作商比较法”两种, 数式的结构特点灵活选用. 数式的结构特点灵活选用. (1)“作差比较法”的依据是“a-b>0?a>b,a- “作差比较法”的依据是“ - ? , - b<0?a<b,a-b=0?a=b”,其过程可分四步:① ? , - = ? = ” 其过程可分四步: 作差; 变形; 判断差的符号; 作出结论. 作差;②变形;③判断差的符号;④作出结论.其中 关键一步是变形,手段可以有通分、因式分解、 关键一步是变形,手段可以有通分、因式分解、配方 等,变形的目的是有利于判断符号,因此变形越彻底, 变形的目的是有利于判断符号,因此变形越彻底, 越有利于下一步的判断. 越有利于下一步的判断.

a (2)“作商比较法”的依据是“b>1,b>0?a>b”,是把两数的 “作商比较法”的依据是“ , ? ” 进行比较, 大小比较转化为两数的商与 1 进行比较,在数式结构含有 幂或根式、绝对值时,可采用此方法. 幂或根式、绝对值时,可采用此方法. 在用“比较法” 有时可先将原数或式变形后再作差或 在用“比较法”时,有时可先将原数或式变形后再作差或 作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法比较大小 作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法比较大小.

[题组自测 题组自测] 题组自测 π π 1.若 α、β 满足- <α<β< ,则 2α-β 的取值范围是 . 、 满足- - 的取值范围是________. . 2 2 π π 解析: 解析:∵- <α<β< ,∴-π<α-β<0. - 2 2

π 3π π π + - 又- <α< ,∴- <α+(α-β)< , 2 2 2 2 3 π 即- π<2α-β< . - 2 2
? 3 π? , 答案: 答案:?-2π,2 ? ? ?

2.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值 . = - , - 的取值 范围. 范围.
法一: f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m, 为待定系数 , 设 - = - + n 解: 法一: , 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), - = - + + , 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. - = + + -
?m+n=4 ? + = 于是得? ?n-m=- =- ? - =-2 ?m=3 ? = ,解得? ?n=1 ? =



∴f(-2)=3f(-1)+f(1). - = - + . 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ≤ - ≤ ≤ ≤ , ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10. ≤ - + ≤ , ≤ - ≤

1 ? = ( ) ( ) ?f(-1)=a-b ?a=2[f(-1)+f(1)] ( ) - ? 法二: ,得? 法二:由? ?f(1)=a+b + ? ( ) ?b=1[f(1)-f(-1)] = ( ) ( ) 2 ? ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). - = - = - + . 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ≤ - ≤ ≤ ≤ , ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10. ≤ - + ≤ , ≤ - ≤



[归纳领悟] 归纳领悟] 1.不等式的性质应用很广泛,使用时要注意和等式的性质 不等式的性质应用很广泛, 进行比较,要搞清性质成立的条件是否具备,做到有根 进行比较,要搞清性质成立的条件是否具备, 有据,科学严谨. 有据,科学严谨. 2.要弄清每一个性质的条件和结论,注意条件放宽和加强 要弄清每一个性质的条件和结论, 后,结论是否发生了变化,用“似乎”“是”“很显 结论是否发生了变化, 似乎”“是”“很显 ”“ 然”的理由代替不等式的性质. 的理由代替不等式的性质.

一、把脉考情 从近两年的高考试题来看,不等关系、 从近两年的高考试题来看,不等关系、不等式的性质 及应用等是高考的热点,题型既有选择题,又有填空题, 及应用等是高考的热点,题型既有选择题,又有填空题, 难度为中低档;客观题突出对不等式性质的灵活运用,与 难度为中低档;客观题突出对不等式性质的灵活运用, 不等式有关的集合的运算,也是常考题型; 不等式有关的集合的运算,也是常考题型;主观题考查绝 对值不等式、不等式性质的应用,有时考查转化思想、 对值不等式、不等式性质的应用,有时考查转化思想、数 形结合思想. 形结合思想. 预测2012年高考仍将以不等关系、不等式性质及应用 年高考仍将以不等关系、 预测 年高考仍将以不等关系 为主要考查点,重点考查逻辑推理能力. 为主要考查点,重点考查逻辑推理能力.

二、考题诊断 1.(2009·浙江高考 已知 ,b是实数,则“a>0且b>0”是 . 浙江高考)已知 是实数, 浙江高考 已知a, 是实数 > 且 > ” “a+b>0且ab>0”的 + > 且 > ” A.充分而不必要条件 . C.充分必要条件 . ( B.必要而不充分条件 . D.既不充分也不必要条件 . )

解析: 成立; 解析:若“a>0且b>0”则“a+b>0且ab>0”成立; > 且 > 则 + > 且 > 成立 同号, 当ab>0时,∴a、b同号,又a+b>0,∴a>0且b>0, > 时 、 同号 + > , > 且 > , 能推得“a> 且 > 成立 成立. 即“a+b>0且ab>0”能推得 >0且b>0”成立. + > 且 > 能推得 答案: 答案:C

x2 2. (2010·江苏高考 设 x, 为实数, 江苏高考)设 , 为实数, y . 江苏高考 满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9, ≤ ≤ , x3 的最大值是________. 则 4 的最大值是 . y

解析:法一:由题设知, x, 均为正实数, 解析:法一:由题设知,实数 x,y 均为正实数, lg4≤ 则条件可化为 lg3≤lgx+2lgy≤lg8, ≤2lgx-lgy≤lg9, ≤ + ≤ , - ≤ , 令
?lg3≤a+2b≤3lg2 ≤ + ≤ ? lgx=a,lgy=b,则有? = , = , ?2lg2≤2a-b≤2lg3 ≤ - ≤ ?



x3 又设 t=y4 ,则 lgt=3lgx-4lgy=3a-4b, = = - = - ,

=-1, = , 令 3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b),解得 m=- ,n=2, - = + + - , =- =-(a+ + 即 lgt=- +2b)+2(2a-b)≤-lg3+4lg3=lg27, =- - ≤ + = , x3 ∴ 4 的最大值是 27. y x2 x4 法二: 两边分别平方得, ≤ 法二:将 4≤ y ≤9 两边分别平方得,16≤y2 ≤81,① ≤ , 1 1 1 可得, 又由 3≤xy ≤8 可得, ≤ 2≤ ,② ≤ 8 xy 3
2

x3 x3 由①×②得,2≤y4≤27,即y4 的最大值是 27. ≤ ,

答案: 答案:27

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