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定积分的概念选修2-2


第一节

定积分的概念

一、问题的提出 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、练习、小结

一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)

曲边梯形由连续曲线

y ? f ( x ) ( f ( x ) ? 0) 、

x 轴与两条直线 x ? a 、 x ? b 所围成.
y

y ? f ( x)

如图

A??
o
a b
x

用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y

y

o

a
(四个小矩形)

b

x o

a

(九个小矩形)

b

x

显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

播放

如图:曲边梯形

y
(1) 分割 在区间[a, b] 任意插 n 个分点,

o a
把 [a, b] 分成 n 个小区间: 每 个小区间的长度

x1

x i ?1 x i

xn?1

b

x

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b,

?x i ?1 , x i ?

(i ? 1,2,?n).

?x i ? x i ? x i ?1 (i ? 1,2,?n).

(2)近似代替:(以直代曲)

在每个小区间[ xi ?1 , xi ]上任取一点?i Si ? f (?i )?xi
(3)求和:面积的近似值为
n n

y

S ? ? ?si ? ? f (?i )?xi
i ?1 i ?1

(4)取极限,精确化:

o a

x1

xi ?1? ix i

xn?1 b

x

S ? lim ? f (?i )?xi
?x ?0 i ?1

n

实例2

(求变速直线运动的路程) 已知速度 v ? v(t )是时间间隔 [T1 , T2 ] 上 的 计算在这段时间内物体所经过的路程。

设物体作直线运动,

连续函数, 且 v(t ) ? 0,

V(T)

A

B

V 虽然是变速,但在很短一段间隔内,V的变化不大,可近似看 作是匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思想。

实例2

(求变速直线运动的路程)

匀速直线运动: 路程=速度×时间.
(1) 分割

T1 ? t 0 ? t1 ? ? ? t i ?1 ? t i ? ?t n ? T2 ,

?t i ? t i ? t i ?1 (i ? 1,2,?, n)
T1
(2) 近似代替 (3) 求和 (4) 取极限

?i

?si ? v(? i )?t i
n n

T2

t 0 t1 t 2 ti ?1 t i t n ?1 t n t

s ? ? ?s i ? ? v ?? i ??t i
i ?1 i ?1

? ? max {?t i },
1? i ? n

s ? lim? v( ? i )?t i .
? ?0 i ?1

n

从上面例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计

算变速运动的路程,它们都归结为对问题的某些量进行
“分割、近似代替、求和、取极限”,或者说都归结为形 如

n ? f (? i ) ?xi i ?1

的和式极限问题。我们把这

些问题从具体的问题中抽象出来,作为一个数学概念提出 来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义。

二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界, [a , b]中任意插入 在
若干个分点

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b

各小区间的长度依次为 n 把区间[a , b] 分成 个小区间,

?x i ? x i ? x i ?1 ,( i ? 1,2,?) , 在各小区间上任取
一点? i (? i ? ?xi ),作乘积 f (? i )?x i ( i ? 1,2,?)

并作和 S ? ? f (? i )?x i ,

n

记? ? max{?x1 , ?x 2 ,? , ?x n },如果不论对[a , b ]

i ?1

也不论在小区间[ x i ?1 , x i ] 上 点? i 怎样的取法, 怎样的分法,

只要当? ? 0 时, S 总趋于确定的极限 , I 和

I 我们称这个极限 为函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的定积分,
记为
积分上限

积分和

?a f ( x )dx ? I ? lim ? f (? i )?xi ? ?0 i ?1
b
积分下限

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

注 意
1.

? f ( x)dx 与 ?
b a

b

a

f ( x)dx 的差别
是函数
是一个确定的常数

? f ( x)dx 是 f (x) 的全体原函数

?

f ( x)dx是一个和式的极限
n

2 .当

? f (? )?x 的极限存在时,其极限值仅与被积函数 f(x) 及积分区间 [a,b] 有关,而与区间 ?a, b? 的分法及 ?
i ?1 i

i

点的取法无关。

注 意
3.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,即有

?

b

a

f ( x)dx ? ? f (t )dt ? ? f (u)du
a a

b

b

4.规定:

?

b

a

f ( x)dx ? ?? f ( x)dx
b

a

?

a

a

f ( x)dx ? 0

练习

x ? 1, x ? 3 及x轴所围成 与直线 1. 由曲线 y ? x ? 1
2

的曲边梯形的面积,用定积分表示为 2.

?

3 1

( x 2 ? 1) dx

?

2

?2

sin 3tdt 中,积分上限是 2
[-2,2] 0

-2 积分下限是________

积分区间是 3.定积分

?

2

2

( x 2 ? 1)dx ?

4. y ? f (x) 在

A.与区间及被积函数有关;B.与区间无关与被积函数有关 C.与积分变量用何字母表示有关;D.与被积函数的形式无关

?a, b?上连续,则定积分 ?a

b

f ( x)dx 的值 A

三、定积分的几何意义
y
y ? f (x)

f ( x ) ? 0,

A
o x?a
y

?a f ( x )dx ? A

b

x?b

x

曲边梯形的面积

o

x?a

x?b

A
y ? f (x)

x

f ( x ) ? 0,

?a f ( x )dx ? ? A

b

曲边梯形的面积的负值

?

b a

f ( x) d x

? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5

y
A1 a A3 A2
各部分面积的代数和

A4

A5 b x

四、定积分的基本性质

性质1:
被积函数的常数因子可以提到积分号外

? kf(x)dx?k ?
a

b

b

a

f ( x)dx, 为常数) (k

性质2:
b[ f ( x) ? g ( x)] ? ? b f ( x)dx ? ? b g ( x)dx ?a a a

函数的和(差)的定积 分等于它们定积分的和 (差)

性质3:对调定积分上下限,改变符号

?

b

a

f ( x)dx ? ? ?b f ( x)dx

a

当a=b时

?

a

a

f(x)dx ? 0

性质4:(积分的可加性)

对任意的 c,则一定有 b f ( x)dx ? c f ( x)dx ? b f ( x)dx ?a ?a ?c





定积分的实质:特殊和式的极限. 定积分的思想和方法:
分割 求和 取极限 化整为零
求近似以直(不变)代曲(变)

积零为整
取极限

精确值——定积分

定积分的几何意义:

练 习 题

一、 填空题: 1、函数 f ( x ) 在? a , b ?上的定积分是积分和的极限, n
? ?0 即 ? f ( x )dx ? _________________ . i ?1

b

lim ? f (? i )?x i
被积函数

a

2、定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 , 而 与 积分变量 _________的记法无关 . 围成的各个部分面积的代数和 3、定积分的几何意义是_______________________ . b 4、区间? a , b ?长度的定积分表示是_____________ . ?a dx

积分区间

.

练 习 题
如何表述定积分的几何意义?根据几何意义推出定积分的值:

(1)

?

2? 0

cos xdx

1

A
-1

3

π

A
5

A


4

(2)
2π 0

?

1 ?1

x dx
? A3 ? (? A4 ) ? A5 ? A3 ? A5 ? (? A3 ? A5 ) ? 0

? cos xdx
?
1 ?1

1 x dx ? 2 A ? 2 ? ?1?1 ? 1 2

思 考 题

将和式极限:
1? ? 2? ( n ? 1)? ? lim ?sin ? sin ? ? ? sin n? ? n ? n n n ? ?

表示成定积分.

思考题解答
原式

1? ? 2? ( n ? 1)? n? ? ? lim ?sin ? sin ? ? ? sin ? sin ? n? ? n ? n n n n?
n 1 1 n i ? sin i? ? ? ? ? lim ? sin ? ? lim ? ? ? n? ? n ? n? ? i ? 1 ? n? n n i ?1

1 ? ? sin xdx. ? 0

?

? i ?x i

作业

P126


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