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江苏省徐州市睢宁县2013-2014学年高二下学期期中考试数学(文)试卷

2013—2014 学年度第二学期期中考试
高二数学(文科)试题参考答案

15.解

设 z=x+yi(x、y∈R),所以 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.……3 分

x-2i 1 z 1 1 因为 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i.由题意得 x=4,……6 分 5 5 2-i 2-i 5 所以 z=4-2i. ……………………………8 分 所以(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,……………………………10 分 由于(z+ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
2 ? ?12+4a-a >0, 所以? 解得 2<a<6,……………………………12 分 ?8?a-2?>0, ?

故实数 a 的取值范围是(2,6).……………………………14 分 16 . 解 : 对 ?x ? 0 ,

x?

a a (a?0 ) ,所以要使 x ? ? 2 恒成立,应有 ?2 a , x x

2 a ? 2,? a ? 1. ……………………………4 分

y2 ?k ? R ,直线 kx ? y ? 2 ? 0 恒过定点(0,2) ,要使直线 kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x ? 2 ? 1 a
2

有公共点,应有

22 ? 02 ? 1 ,解得 a ? 2. ……………………………8 分 2 a
?a ? 1 , 所以 a ? 2. ……………12 分 ?a ? 2

若 p ? q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题,因此 ?

综上,存在 a ? 2. 使得 p ? q 为真命题.……………………………14 分 17.证明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,……………………………2 分 n+2 an+1= n Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),……………………………5 分 即 nSn+1=2(n+1)Sn. ∴ Sn+1 Sn =2· , n n+1

?Sn? 故? n ?是以 2 为公比的等比数列.……………………………7 分 ? ?

18.解

①若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y=2m+1 与圆(x-2)2+y2=m2 有交点,

|2-2m-1| 从而 ≤|m|,……………………………3 分 2 2- 2 2+ 2 解得 ≤m≤ ,与 m<0 矛盾;……………………………6 分 2 2 ②若 m=0,代入验证,可知不符合题意;……………………………8 分 m 1 ③若 m>0, 则当 ≤m2, 即 m≥ 时, 集合 A 表示一个环形区域, 集合 B 表示一个带形区域, 2 2 从而当直线 x+y=2m+1 与 x+y=2m 中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2 有交点,即符合 题意,……………………………10 分 |2-2m| |2-2m-1| 从而有 ≤|m|或 ≤|m|,……………………………12 分 2 2 2- 2 1 2- 2 1 解得 ≤m≤2+ 2,由于 > ,所以 ≤m≤2+ 2.……………………………14 分 2 2 2 2 1 ? 综上所述,m 的取值范围是? ?2,2+ 2?.……………………………16 分 19.(1)解 当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1. ……………………………3 分

1 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2,两式相减得 an+1= an,…………………6 分 2 1 1 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 an= n-1.……………………8 分 2 2 (2)证明 反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,

且 p,q,r∈N*),……………………………10 分 1 1 1 - - 则 2·q= p+ r,所以 2· 2r q=2r p+1.①……………………………12 分 2 2 2 又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N*. 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,……………………………14 分 所以假设不成立,原命题得证.……………………………16 分 20.解 (1)∵an=2n,则有 an+1=an+2,n∈N*.

∴数列{an}是“优美数列”,对应的 p、q 值分别为 1、2;……………………………3 分 ∵bn=3· 2n,则有 bn+1=2bn,n∈N*.

∴数列{bn}是“优美数列”,对应的 p、q 值分别为 2、0. ……………………………6 分


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