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复变函数试题库 - 副本


《复变函数论》试题库

梅一 A111
《复变函数》考试试题(一)

lim f ( z ) ? ___ z z ? z0 f ( z ) 0 10.若 是 的极点,则 .
三.计算题(40 分) :

1、

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? __________.( n 为自然数)
_________.

2.

sin 2 z ? cos2 z ?

f ( z) ?
1. 设 罗朗展式.

1 ( z ? 1)(z ? 2) ,求 f ( z ) 在 D ? {z : 0 ?| z |? 1}内的

3.函数 sin

z 的周期为___________.

f ( z) ?
4.设
?

1 z ? 1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有__________.
2

2.

1 ?|z|?1 cos z dz.
f ( z) ? ?
C

3. 设
n

3?2 ? 7? ? 1 d? ??z ,其中

C ? {z :| z |? 3} ,试求 f ' (1 ? i ).

5.幂级数

? nz
n ?0

的收敛半径为__________.

w?
4. 求复数

6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.

z ?1 z ? 1 的实部与虚部.

z ? z ? ... ? zn lim 1 2 ? lim zn ? ? n ? ? n 7.若 n ? ? ,则 ______________.

四. 证明题.(20 分) 1. 函数

f ( z) 在区域 D 内解析. 证明:如果| f ( z) | 在 D 内为常数,那么它在 D
f ( z) ? z(1? z) 在割去线段 0 ? Re z ? 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分
Re z ? 1 上岸取正值的那支在 z ? ?1 的值.
《复变函数》考试试题(二)

ez Re s( n ,0) ? z 8. ________,其中 n 为自然数.
9.

内为常数. 2. 试证:

sin z 的孤立奇点为________ . z

支, 并求出支割线 0 ?

二.

填空题. (20 分)

1

1. 设

z ? ?i ,则| z |? __, arg z ? __, z ? __


1. 求函数 , 则

sin(2 z 3 ) 的幂级数展开式.

2.

f ( z) ? ( x2 ? 2xy) ? i(1 ? sin(x2 ? y 2 ),?z ? x ? iy ? C

2.

在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z 在正实轴取正实值的一个

z ?1? i

lim f ( z ) ? ________.

解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z ? i 处的值.

3.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? _________.( n 为自然数)

3. 计算积分:

I ? ? | z | dz ,积分路径为(1)单位圆(| z |? 1)的右半圆.
?i

i

4. 幂级数

? nz
n ?0

?

n

的收敛半径为__________ . 4. 求

?

sin z
z ?2

(z ? ) 2

?

dz
2
.

5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 6. 函数 e 的周期为__________.
z

f ' ( z ) 的_____零点.

四. 证明题. (20 分) 1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析,试证:f(z)在 D 内为常数的充要条件是

f ( z ) 在 D 内解析.

7. 方程 2 z

5

? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为________.
3

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题(三) 二. 填空题. (20 分) 1. 设

8. 设

f ( z) ?

1 1 ? z2

,则

f ( z ) 的孤立奇点有_________.

9. 函数

f ( z ) ?| z | 的不解析点之集为________.

f ( z) ?

1 ,则 f(z)的定义域为___________. z ?1
2

10.

z ?1 Res ( 4 ,1) ? ____ . z

2. 函数 ez 的周期为_________. 3. 若 z n

?

n?2 1 ? i (1 ? ) n ,则 lim z n ? __________. n?? 1? n n

三. 计算题. (40 分) 4.

sin 2 z ? cos2 z ? ___________.

2

5.

dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? _________.( n 为自然数)

3.

e z dz 算下列积分: ?C z 2 ( z 2 ? 9) ,其中 C 是| z |? 1.
z 9 ? 2 z 6 ? z 2 ? 8z ? 2 ? 0 在|z|<1 内根的个数.

6. 幂级数

? nx
n?0

?

n

的收敛半径为__________. 4. 求

7. 设

1 f ( z) ? 2 z ? 1 ,则 f(z)的孤立奇点有__________.

四. 证明题. (20 分) 1. 函数 内为常数. 2. 设

f ( z) 在区域 D 内解析. 证明:如果 | f ( z) | 在 D 内为常数,那么它在 D

8. 设

e z ? ?1,则 z ? ___ .

9. 若

z0 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

f ( z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个正数 R 及 M,使得当
| f ( z ) |? M | z |n ,

| z |? R 时 f ( z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四) 二. 填空题. (20 分)

10.

ez Res ( n ,0) ? ____ . z
f ( z ) ? z 2e z 在圆环域 0 ? z ? ? 内展为 Laurent 级数.
??
1

三. 计算题. (40 分) 1. 将函数

证明

2.

n! n z 的收敛半径. 试求幂级数 ? n n n?

1. 设

z?

1 ,则 Re z ? __, Im z ? ___ . 1? i

3

2. 若 lim z n
n??

? ? ,则 lim

n??

z1 ? z2 ? ... ? zn ? ______________. n

3.

3. 函数 ez 的周期为__________. 4. 函数

z ?|z|?2 (9 ? z 2 )(z ? i) dz.
z

.

f ( z) ?

1 1 ? z2

的幂级数展开式为__________ 4. 函数

5. 若函数 f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________. 6. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的_____________.

1 1 ? f ( z ) ? e ? 1 z 有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它的阶数).

四. 证明题. (20 分)

7. 设

C :| z |? 1,则 ?C ( z ? 1)dz ? ___ .

1.

证明:若函数
4

f ( z) 在上半平面解析,则函数 f ( z ) 在下半平面解析.

8.

sin z 的孤立奇点为________. z
z0 是 f ( z ) 的极点,则 lim f ( z ) ? ___ .
z ? z0

2. 证明 z

? 6 z ? 3 ? 0 方程在1 ?| z |? 2 内仅有 3 个根.

9. 若

《复变函数》考试试题(五)

10. 三.

ez Res( n ,0) ? _____________. z
计算题. (40 分)
3

二. 填空题.(20 分) 1. 设

z ? 1 ? 3i ,则 | z |? __, arg z ? __, z ? __ .

1. 解方程 z

?1 ? 0

.

2. 当

z ? ___ 时, e z 为实数.
e z ? ?1,则 z ? ___ .

2. 设

ez f ( z) ? 2 ,求 Re s ( f ( z ), ?). z ?1

3. 设

4.

e z 的周期为___.

4

5. 设

C :| z |? 1,则 ?C ( z ? 1)dz ? ___ .

在这里 L 表示连接原点到 1 ? i 的直线段. 求积分: I

3.

6.

ez ?1 Res ( ,0) ? ____ . z
1 f ( z) ? 1 ? z2
的幂级数展开式为_________.

4.

d? ?0 1 ? 2a cos? ? a2 ,其中 0<a<1. 应 用 儒 歇 定 理 求 方 程 z ? ? ( z ) , 在 |z|<1 内 根 的 个 数 , 在 这 里 ? ( z ) 在
?
2?

7. 若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析,则称它是 D 内的_____________。 8. 函数

| z |? 1上解析,并且| ? ( z ) |? 1.
四. 证明题. (20 分) 1. 证明函数

9.

sin z 的孤立奇点为________. z
1 ?C ( z ? a)n dz ? ___ .( n 为自然

f ( z ) ?| z |2 除去在 z ? 0 外,处处不可微.

2.



f ( z) 是一整函数,并且假定存在着一个正整数 n,以及两个数 R 及 M,使得当
| f ( z ) |? M | z |n ,

10. 设 C 是以为 a 心,r 为半径的圆周,则

| z |? R 时 f ( z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数.
《复变函数》考试试题(六) 1.

数) 三. 计算题. (40 分)

1. 求复数

z ?1 z ?1

证明:

的实部与虚部.

2. 计算积分:

I ? ? Re zdz ,
L

一、 填空题(20 分) 1. 若 zn

?

n?2 1 ? i (1 ? ) n ,则 lim zn ? ___________. 1? n n

5

2. 3. 4.



f ( z) ?

1 ,则 f ( z ) 的定义域为____________________________. z ?1
2

3、设

f ( z) ?

函数 sin

z 的周期为_______________________.

ez ,求 Re s ( f ( z ), i ) . z2 ?1
在0?

sin 2 z ? cos 2 z ? _______________________.
幂级数

5.

? nz
n ?0

??

sin z 3 4、求函数 z6
5、求复数 w
? i

z ? ? 内的罗朗展式.

n

的收敛半径为________________.

?

z ?1 的实部与虚部. z ?1

6.

若 z0 是 若函数

f ( z ) 的 m 阶零点且 m ? 1 ,则 z0 是 f ?( z ) 的____________零点.

?

6、求 e 3 的值. 三、 证明题(20 分) 1、 方程 z
7

7.

f ( z ) 在整个复平面处处解析,则称它是______________.
的不解析点之集为__________.

8.

函数

f ( z) ? z
5 3

? 9 z 6 ? 6 z 3 ? 1 ? 0 在单位圆内的根的个数为 6. f ( z) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内解析,v( x, y ) 等于常数, 则 f ( z) 在

2、 若函数 9. 方程 2 z 公式 e
ix

? z ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为___________.

D 恒等于常数.
3、 若 z 0 是

10.

? cos x ? i sin x 称为_____________________.

f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是

二、 计算题(30 分)

1 的 m 阶极点. f ( z)

? 2?i ? 1、 lim ? ? n ?? ? 6 ?
2、设

n

.

3? 2 ? 7? ? 1 f ( z) ? ? d ? ,其中 C ? ? z : z ? 3? ,试求 f ?(1 ? i) . C ??z

6.计算下列积分. (8分)

(1)

? ?

sin z ( z ? )2 2

z ?2

?

dz ;

(2)

z2 ? 2 ? ? z ?4 z 2 ( z ? 3) dz .

6

7.计算积分

?

2?

0

d? 5 ? 3cos ?

. (6分)

8.求下列幂级数的收敛半径. (6分)

(1)

? (1 ? i)n z n ;
n ?1

?

(2)

(n !) 2 n z . ? n n ?1 n

?

9.设

f ( z) ? my3 ? nx2 y ? i( x3 ? lxy 2 ) 为复平面上的解析函数,试确定 l , m , n 的

值. (6分) 三、证明题. 1.设函数

f ( z ) 在区域 D 内解析, f ( z ) 在区域 D 内也解析,证明 f ( z ) 必为常数. (5分)
? b ? 0 的轨迹是一直线,其中 a 为复常数, b 为实常数. (5分)
试卷一至十四参考答案

2.试证明 az ? az

7


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