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广东省深圳外国语学校2013届高三考前热身 数学理 Word版含答案

2013 深圳外国语学校综合测试

理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

注意事项: 1.选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上,非选择题应在答题卡上对应的位置 作答. 超出答题区域书写的答案无效. 2.作选考题时,按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂 黑. 1 参考数据:锥体的体积公式 V 锥体 ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U ? x ? N x < 6? ,集合 A ? ?1,3? , B ? ?3,5? ,则 CU ? A ? B ? 等于
*

?

A. ? ,4? 1

B. ? ,5? 1

C. ?2,5?

D. ?2,4?

2. i 是虚数单位,若 z (i ? 1) ? i ,则 z 等于 A.1 B.

2 2

C.

3 2

D.

3.若 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? m ,对任意实数 t 都有 f (

?
8

? t) ? f (

?

? ? t ) ,且 f ( ) ? ? , 3 8 8

1 2

则实数 m 的值等于 A. ?1 ;

B. ?5 ;

C. ?5 或 ?1

D.5 或 1 )

4.在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,公比 | q |? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m ? (

A.9

B.10

C.11

D.12

? x ? 1, ? 5.实数 x, y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为 ? x ? y ? 0, ?
A.2 B.3 C.4 D.

3 2

6.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工, 若甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为 A.24 B.36 C.48 D.60 7.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A.

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3

8.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [ k ] ,即

[k ] ? {5n ? k | n ? Z}, k ? 0,1, 2,3, 4 .给出如下四个结论:
① 2011?[1] ; ② ?3 ?[3] ; ③ Z ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ? [4] ;

④“整数 a , b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? [0] ” . 其中,正确结论的是 ( ) A.①②④ B.①②③

C.①③④

D.①②③④

第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题 (9~13 题) 9.已知向量 a 、 b 的夹角为 120 ,且 a ? 6 , b ? 5 ,则 a ? b ? ________.
0

?

?

?

?

10. 运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为________. 11.直线 y ? 2 x 与抛物线 y ? x 围成的图形的面积等于______.
2

x2 y 2 12.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 2, a b 2 一个焦点与抛物线 y ? 16 x 的焦点相同, 则双曲线的渐近
线方程为_________. 13. 已知函数 f ( x) ? ?

?1 ? lg( x ? 1), x ? 1 的图象关于点 P 对 ? g ( x), x ? 1

称,且函数 y ? f ( x ? 1) ? 1 为奇函数,则下列结论:①点

P 的坐标为 (1,1) ;②当 x ? (??, 0) 时,g ( x) ? 0 恒成立;
③关于 x 的方程 f ( x) ? a, a ? R 有且只有两个实根。 其中正确结论的题号为 。

A.①②

B.②③

C.

D.①②③

(二)选做题 (14~15 题,考生只能从中选做一题) 14 . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 直 角 坐 标 系 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 (

? x ? 3 cos? (?为参数) 在极坐标系(以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, ; ? ? y ? 3 sin ? ? 曲线 C2 的方程为 ? cos(? ? ) ? 2 , 则 C1 与 C2 两交点的 4
距离为________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图, AB 是两圆的交点, AC 是小圆 的一条直径, D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交 D A

点 , 已 知

A C 4 , ? E 1, 0且 BC ? AD , 则 ? B

C

B
(第 15 题)

E

DE ? ________________.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ?

1 cos 2 x , x ? R 2

(I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,又 f (

A ? 4 ? ) ? ,b ? 2 , 2 3 5

?ABC 的面积等于 3 ,求边长 a 的值.

17. (本小题满分 l2 分) 如图,一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域.用力旋转 转盘,转盘停止转动时,箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得 的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头 A 指向每个 区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家 庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记 为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动). (Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率; (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于 8 的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率; (Ⅲ)若共有 4 个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 l4 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 BC ? 12 , E 为 CD 的中点,将 ?DAE 沿 AE 折起, 使 面DAE ? 面ABCE ;再过点 D 作 DQ // AB ,且 DQ ? (Ⅰ)求证: 面DAE ? 面BEQ ; (Ⅱ)求直线 BD 与 面DAE 所成角的正弦值; (Ⅲ)求点 Q 到 面DAE 的距离.

1 AB . 2

19. (本小题满分 l4 分)

已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b,等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其 中 a,b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 . (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 n ? N? ,总存在 m ? N? ,使得 am ? 3 ? bn 成立,求 b 的值; (3)令 Cn ? an ?1 ?bn ,问数列 {Cn } 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出 所有成等比数列的连续三项;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分 l4 分)

如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点

H ( x0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分
别交抛物线为 E、F 两点,圆心点 M 到抛物线准线的距离为

17 . 4 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率;
(3)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

21.(本小题满分 l4 分) 设 f ( x ) 是定义在区间 (1, ??) 上的函数,其导函数为 f '( x) .如果存在实数 a 和函

? 数 h( x) , 其 中 h( x) 对 任 意 的 x ? (1, ??) 都 有 h( x )
2 f ' ( x?) h ( x ) x ?(

0 使 得 ,

?,则称函数 f ( x) 具有性质 P (a ) . a x 1 )
b?2 , x ?1) ( ,其中 b 为实数 x ?1

(I)设函数 f ( x) ? ln x ?

①求证:函数 f ( x ) 具有性质 P (b) ; ②求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)已知函数 g ( x) 具有性质 P (2) ,给定 x1 , x2 ? (1, ??) , x1 ? x2 , 设 m 为实数, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1 , ? ? 1 , 若 g (? ) ? g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 m 的取值范围。



学(理科)参考答案

一、选择题 DBCC ABAC 二、填空题 9. 31 14. 2 7 三、解答题 16、 解: (1)因为 f ( x) ? 故 f ( x ) 的最小正周期为 ? 10. ?2 15. 6 3 11.

4 3

12. y ? ? 3x

13. ①③

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

???2 分

???3 分

? 2 k? ?
即 k? ?

?
?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

k?z
???5 分

6

? x ? k? ?

?
3

k?z

所以,函数的增区间为 ? k? ? (2)?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

k?z

???6 分

4 3 A ? ? 0, ? ? ? cos A ? , sin A ? 5 5 1 3 ? S ? bc sin A ? 3, b ? 2, sin A ? 2 5 f(

A ? 4 ? )? 2 3 5

???8 分

?c ? 5
由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 13
2 2 2

???10 分

? a ? 13
17、 解:(Ⅰ)记事件 A:某个家庭得分情况为(5,3).

???12 分

1 1 1 P( A) ? ? ? . 3 3 9
所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为

1 . 9

?????2 分

(Ⅱ)记事件 B:某个家庭在游戏中获奖,则符合获奖条件的得分包括(5,3)(5,5) , , (3,5)共 3 类情况. 所以 P( B) ? 所以某个家庭获奖的概率为

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . 3 3 3 3 3 3 3
?????4 分

1 . 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,每个家庭获奖的概率都是 , 所以X ~ B(4, ).

1 3

1 3

??5 分

2 16 0 1 P( X ? 0) ? C4 ( )0 ( ) 4 ? , 3 3 81

2 32 1 1 P ( X ? 1) ? C4 ( )( ) 3 ? , 3 3 81

2 24 2 1 P ( X ? 2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? , 3 3 81 2 1 4 1 P( X ? 4) ? C4 ( ) 4 ( )0 ? 3 3 81
所以 X 分布列为: X P 0 1

2 8 3 1 P ( X ? 3) ? C4 ( ) 3 ( ) ? . 3 3 81
??????????10 分

2

3

4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

期望EX ? np ?

4 3

??????????12 分

18、 (1)证明:折叠前,矩形 ABCD 中,连 接 BE , ?ABE 中 , AE ? BE ? 6 2 ,

AB ? 12 ? AE 2 ? BE 2 ? AB2 ,
即 AE ? BE , ???1 分

? ?

,交线为 AE , 面D A E 面 A B C E ? , BE ? 面D A E ???3 分

而 BE ? 面BEQ

? 面D A E? 面 B E Q

???4 分

(2) 由(1)知, BE ? 面DAE ? ? BDE 是直线与 面DAE 所成的角,???6 分 在 Rt?BDE 中, BE ? 6 2 , DE ? 6

BD ? 6 3
???8 分

? sin ?BDE=

BE 6 2 6 ? ? BD 6 3 3
6 。 3

故直线 BD 与 面DAE 所成角的正弦值为 (3)设点 Q 到 面DAE 的距离为 h ,

???9 分

? DQ/ / EC 且 DQ=EC ,
? 四边形 DQCE 为平行四边形,

? QC//DE ,从而 QC/ / 面DAE ,

故点 Q 到 面DAE 的距离等于点 C 到 面DAE 的距离,

???11 分

1 1 ? AD ? DE=18 , S?AEC ? ? EC ? AD=18 2 2 作 DH ? AE于H , S?ADE ?

? 面DAE ? 面ABCE ,交线为 AE , ? AH ? 面ABCE ,则 AH 是 D 到面 ABCE 的距离,而 DH=3 2 ???12 分
由 VQ-ADE ? VC-ADE ? VD-AEC

1 1 ? S?ADE ? h ? ? S?AEC ? DH 3 3

? h ?3 2
? 点 Q 到 面DAE 的距离为 3 2
19.(本小题满分 14 分)

???13 分 ???14 分

解: (1) 由已知, an ? a ? (n ? 1)b, bn ? b ? an?1 . a1 ?b1 b2 ?3 , a ? b, ab ? a ? 2b . 得 由 得 , a 因 a,b 都为大于 1 的正整数,故 a≥2.又 b ? a ,故 b≥3.…………………1 分 再由 ab ? a ? 2b ,得 (a ? 2)b ? a . 由 b ? a ,故 (a ? 2)b ? b ,即 (a ? 3)b ? 0 . 由 b≥3,故 a ? 3 ? 0 ,解得 a ? 3 .…………………………………………3 分 于是 2 ≤ a ? 3 ,根据 a ? N ,可得 a ? 2 .……………………………………4 分 (2)由 a ? 2 ,对于任意的 n ? N ? ,均存在 m ? N? ,使得 b(m ? 1) ? 5 ? b ? 2n?1 ,则
b(2n ?1 ? m ? 1) ? 5 .

又 b≥ 3 ,由数的整除性,得 b 是 5 的约数. 故 2n?1 ? m ? 1 ? 1 ,b=5. 所以 b=5 时,存在正自然数 m ? 2n ?1 满足题意.……………………………8 分 ( 3 ) 设 数 列 {Cn } 中 , Cn , Cn?1 , Cn? 2 成 等 比 数 列 , 由 Cn ? 2 ? nb ? b ? 2n?1 ,
(Cn?1 )2 ? Cn ? Cn? 2 ,得 (2 ? nb ? b ? b ? 2n )2 ? (2 ? nb ? b ? 2n?1 )(2 ? nb ? 2b ? b ? 2n?1 ) .

化简,得 b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 .

(※) …………………………10 分

当 n ? 1 时, b ? 1 时,等式(※)成立,而 b≥ 3 ,不成立.…………………11 分

当 n ? 2 时, b ? 4 时,等式(※)成立.………………………………………12 分 当 n≥ 3 时, b ? 2n ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 ? (n ? 2) ? b ? 2n?1 ≥ 4b ,这与 b≥3 矛盾. 这时等式(※)不成立.………………………………………………………13 分 综上所述,当 b ? 4 时,不存在连续三项成等比数列;当 b ? 4 时,数列 {Cn } 中的第二、 三、四项成等比数列,这三项依次是 18,30,50.…………………………………………14 分

20、解(1)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ?

p 17 , ? 2 4

∴p?

1 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x . 2

(2)法一:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴ k HE ? ?k HF , 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 , ?? H xH ? x1 xH ? x2



yH ? y1 y ? y2 , ?? H 2 2 2 2 yH ? y1 y H ? y2
y2 ? y 1 y 2 ? y 1 1 1 ? 2 ? ?? . 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 .

k EF ?

法二: ∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时, H (4,2) , ?AHB ? 60 ? , 点 ∴ 可得 k HA ? 3 ,
k HB ? ? 3 ,∴直线 HA 的方程为 y ? 3 x ? 4 3 ? 2 ,

联立方程组 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ,得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 , y2 ? x ?
3 3
∴ yE ?

∵ yE ? 2 ?

3?6 13 ? 4 3 , xE ? . 3 3

同理可得 y F ?

1 ? 3?6 13 ? 4 3 , xF ? ,∴ k EF ? ? . 4 3 3

(3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA ?

y1 4 ? x1 ,∴ k HA ? , y1 x1 ? 4

可得,直线 HA 的方程为 (4 ? x1 ) x ? y1 y ? 4 x1 ? 15 ? 0 , 同理,直线 HB 的方程为 (4 ? x2 ) x ? y 2 y ? 4 x2 ? 15 ? 0 , ∴ (4 ? x1 ) y 0 ? y1 y 0 ? 4 x1 ? 15 ? 0 ,
2

(4 ? x2 ) y 0 ? y 2 y 0 ? 4 x2 ? 15 ? 0 ,
2

2 2 ∴直线 AB 的方程为 (4 ? y 0 ) x ? y0 y ? 4 y0 ? 15 ? 0 ,

令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?

15 ( y 0 ? 1) , y0
∴ t min ? ?11 .

∵ t 关于 y0 的函数在 [1, ??) 单调递增,

法二:设点 H (m2 , m)(m ? 1) , HM 2 ? m 4 ? 7m 2 ? 16 , HA2 ? m 4 ? 7m 2 ? 15 . 以 H 为圆心, HA 为半径的圆方程为 ( x ? m 2 ) 2 ? ( y ? m) 2 ? m 4 ? 7m 2 ? 15 , ................ ① ⊙ M 方程: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 . ............................................................................................ ② ①-②得: 直线 AB 的方程为 (2 x ? m 2 ? 4)(4 ? m 2 ) ? (2 y ? m) m ? m 4 ? 7 m 2 ? 14 . 当 x ? 0 时,直线 AB 在 y 轴上的截距 t ? 4m ? ∵ t 关于 m 的函数在 [1, ??) 单调递增,

15 (m ? 1) , m

∴ t min ? ?11 .

21、 (1)(i) f '( x )

?

1 b?2 1 ? ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 x ( x ? 1) x( x ? 1) 2

??????1 分

∵ x ? 1 时,

h( x ) ?

1 ?0 x( x ? 1)2

恒成立,∴函数 f (x) 具有性质 P (b) ;?????2 分

(ii)(方法一)设

? ( x) ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? ) 2 ? 1 ?

b 2

b2 4 , ? ( x) 与 f ' ( x) 的符号相同。



1?

b2 ? 0, ?2 ? b ? 2 4 时 , ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 , 故 此 时 f (x) 在 区 间 (1,??) 上 递

增;??????3 分 当 b ? ?2 时,对于 x ? 1 ,有 f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增;???4 分

当 b ? ?2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴

x?

b ? ?1 2 ,而 ? (0) ? 1 ,

对于 x ? 1 ,总有 ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增;??5 分
2 2 2 (方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 , ? ( x) ? x ? bx ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 0

所以 f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间 (1,??) 上递增;??????????5 分

当 b ? 2 时, ? ( x) 图像开口向上,对称轴

x?

b ?1 2 ,

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 , 2 2 方程 ? ( x) ? 0 的两根为: ,

?????????6 分

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 ? 1, ? ? (0,1) 2 2 b ? b2 ? 4 而
x ? (1,
当 上递减;

b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ) (1, ) 2 2 时, ? ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,故此时 f (x) 在区间

b ? b2 ? 4 , ??) 2 同理得: f (x) 在区间 上递增。 [
综上所述,当 b ? 2 时, f (x) 在区间 (1,??) 上递增;
b ? b2 ? 4 ) 2 上递减;
2

当 b ? 2 时, f (x) 在

(1,

b ? b2 ? 4 , ??) f (x) 在 2 上递增????7 分 [
2

(2)(方法一)由题意,得: g '( x) ? h( x)( x ? 2x ? 1) ? h( x)( x ?1) 又 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,

? 所以对任意的 x ? (1,??) 都有 g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上递增。


????8 分

? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? (2m ?1)( x1 ? x2 ) 。
m?

????9 分



1 ,m ?1 ? ? x1 ? (m ?1) x1 ? (1 ? m) x2 , ? ? x2 ? (1 ? m) x1 ? (m ?1) x2 , 2 时, ? ? ? ,且

????11 分

????12 分

??13 分 综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是(0,1) 。????14 分 (方法二)由题设知, g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x ? 2 x ? 1) ,其中函数 h( x) ? 0 对于任
2

意的 x ? (1,??) 都成立。所以,当 x ? 1 时, g '( x ) ? h( x)(x ? 1) ? 0,从而 g ( x) 在区间
2

(1,??) 上单调递增。
①当 m ? (0,1) 时,有

????8 分

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,得 ? ? ( x1, x2 ) ,同理可得 ? ? ( x1, x2 ) ,所以
由 g ( x) 的单调性知 g (? ) 、 g ( ? )

? ( g ( x1 ), g ( x2 )) ,
????10 分

从而有| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,符合题设。 ②当 m ? 0 时,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于 是 由 ? ? 1, ? ? 1 及 g ( x) 的 单 调 性 知
g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) , 所 以 | g (? ) ? g ( ? ) | ≥ | g ( x1 ) ? g ( x2 ) | , 与 题 设 不
符。????12 分 ③当 m ? 1 时,同理可得 设不符。 因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。????14 分

? ? x1 , ? ? x2 ,进而得| g (? ) ? g ( ? ) |≥| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,与题


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