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2.2.2 二次函数的性质图像_图文

张喜林制

2.2.2

二次函数的性质与图象

教材知识检索
考点知识清单
1.二次函数的定义
函数 叫做二次函数,它的定义域为

2.函数 y ? ax2 (a ? ? 0) 的图象和性质
(1)函数 y ? ax2 (a ? ? 0) 的图象是一条顶点为原点的抛物线, a ? 0 时,抛物线开口____;a <0 时, 抛物线开口 (2)函数 y ? ax2 (a ? ? 0) 为 (填“奇函数”或“偶函数”) .

(3)函数 y ? ax2 (a ? ? 0) 的图象的对称轴为

3.二次函数 f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k
(1)二次函数 f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k 的性质: ①函数的图象是____,抛物线的顶点坐标是——,抛物线的对称轴是直线____, ②当 a>0 时,抛物线开口向上,函数在 在 上是增函数; 处取最大值 y max ? , 在区间____ 上是增函数, 处取最小值 y min ? ,在区间 上是减函数,

③当 a<0 时, 抛物线开口向下, 函数在 在____上是减函数.

(2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? ? 0) 配方后为 (3)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? ? 0) 的定义域为
2

,顶点坐标为

,对称轴方程为 ;当 a<0 时,

,当 a ? 0 时,值域为

值域为 (4)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 单调递增区间为 ? 0), 当 a>0 时,
2

, 单调递减区间为



当 a<0 时,单调递增区间为

,单调递减区间为

要点核心解读
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张喜林制 1.二次函数的解析式有三种形式
(1)-般式: y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c 为常数,且 a ? ? 0); (2)顶点式: y ? a(x ? h) 2 ? k (a, h, k 为常数, a ? ? 0); (3)两根式(又称截距式) : y ? a( x ? x1( ) x ? x2 )(a 是非零常数, x1 , x 2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两
2

根) . 要确定二次函数的解析式, 就是要确定解析式中的待定系数, 由于每一种形式中都含有三个待定系数, 所以用待定系数法求二次函数的解析式,需已知三个独立条件。 一般地,当已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式: y ? ax2 ? bx ? c, 然后列出三元 一次方程组求解, 当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点,或已知条件与对称轴有关,或已知函数在 R 上的最值时,常 设函数解析式为顶点式: y ? a( x ? h) 2 ? k. 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点的横坐标时, 常设函数的解 析式为两根式: y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ?

2.二次函数的图象和性质
(1) 图 象 : 抛 物 线 . 开口方 向 : a>0 , 向 上 ; a<0 , 向 下 . 对 称 轴 方 程 为 x ? ?

b , 顶点坐标为 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ), 如图 2-2-2 -1 所示. 4a 2a

(2)性质:定义域为 R.

4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,?? ); a ? 0, (?? , ]? 4a 4a b b b ) 上是减函数,在 ( ? ,?? ) 上是增函数; a ? 0, 在 ( ?? ,? ) 上是增函 单调性: a ? 0, 在 ( ?? ,? 2a 2a 2a b ,?? ) 上是减函数. 数,在 ( ? 2a
值域: a ? 0, [ 奇偶性: a ? ? 0, b ? 0, 偶函数. 最大值和最小值:在定义域 R 上: a ? 0, y min ? 小值.
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4ac ? b 2 4ac ? b 2 , 无最大值; a ? 0, y max ? , 无最 4a 4a

张喜林制 3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系

4.二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? ? 0) 在闭区间[m,n]上的最值的求法
对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? ? 0) 在某个区间[m,n]上的最值问题主要分为以下两种情况: (1)区间及对称轴均确定的二次函数的最值问题(简称轴定区间定) ①对二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在区间[m,n]上的最值(若顶点固定,区间也固定)有以下 结论: a.当 ?

b ? m 时, f ( x) 在[m,n]上单调递增,最小值为 f (m), 最大值为 f (n); 2a

b.当 m ? ?

b b b 4ac ? b 2 ? n 时,最小值为 f (? ) ? , 最大值为 f (m)或f (n){m、n 中离 ? 较 4 a 2a 2a 2a

远的一个对应的函数值为最大值 1. C.当 ?

b ? n 时, f ( x) 在[m,n]上单调递减,最小值为 f (n), 最大值为 f (m). a ? 0 时,可仿此讨 2a

论. ②二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数的图象的顶点处取 得. ③可画出草图帮助分析、解决问题,体现数形结合的思想.(2)二次函数的区间固定、对称轴不定的 最值问题(简称轴 变区间定) 区间固定、对称轴不定,即抛物线处在运动状态之中,但区间固定.解决这类问题一方面要对对称轴 与区间的相对位置进行讨论(这是解决问题的关键) ,另一方面可以画出草图以帮助分析问题,

典例分类剖析
考点 1 二次函数的图象的作法与特征分析
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[例 1] (1)在同一坐标系中画出下列函数的图象,并指出它们的不同之处.

1 2 1 x ; ②y ? ?2 x 2 , y ? ? x 2 . 2 2 1 2 1 2 (2)画二次函数 y ? x ? 6 x ? 21 的图象,并说明它是如何由 y ? x 经过平移得到的. 2 2 1 2 2 [解析] (1)①如图 2-2 -2 -2①所示,它们的不同之处是 y ? 2 x 比y ? x 开口要小些; 2 ①y ? 2 x 2 , y ?

②如图 2 -2 -2 -2②所示,它们的不同之处是 y ? ?2x 2 比 y ? ?

1 2 x 开口要小些. 2

(2)利用配方法或公式法求得抛物线的顶点坐标为(6,3),对称轴为 x ? 6. 令 x ? 0, 求得 y ? 21, 即它 与 y 轴的交点为(0,21),此交点距顶点太远,画图时利用不上;令 y ? 0, 即

1 2 x ? 6 x ? 21 ? 0,? ? ? 0, 2

方程无实数解,∴抛物线与 x 轴没有交点.因此,画此函数的图象时,应利用函数的对称性列表,在顶点 的两侧适当地选取两对对称点,然后描点、画图即可. ①利用二次函数的对称性列表如下:
x y 4 5 5 3.5 6 3 7 3.5 8 5

1 2 1 x ? 6 x ? 21 的图象,如图 2 -2 -2 -3 所示.把 y ? x 2 的图象先向 2 2 1 2 右平移 6 个长度单位,再向上平移 3 个长度单位,就可得到 y ? x ? 6 x ? 21 的图象, 2
②描点、连线即得函数 y ?

母题迁移 1.作出下列函数的图象并写出其值域.

(1) y ?| x 2 ? 2x |; (2) y ? 2x 2 ? 4x ? 3(0 ? x ? 3).
考点 2 二次函数解析式的求法
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[例 2] 已知二次函数 f ( x) 同时满足条件:

①f (1 ? x) ? f (1 ? x);

②f ( x) 的最大值为 15; ③f ( x) ? 0 的两根的立方和等于 17.
求 f ( x) 的解析式. [解析]从所给条件 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 知, f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称.又 f ( x) 的最大值为 15, 可 设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 15, 其 中 a<0 . 问 题 转 化 为 利 用 条 件 ③ : 方 程 f ( x) ? 0 的 两 根 x1 x2 满 足
3 3 x1 ? x2 ? 17, 求出系数 a.

? 0), 依条件,设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 15(a ?
即 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? a ? 15. 令 f ( x) ? 0,即ax2 ? 2ax ? a ? 15 ? 0,

? x1 ? x 2 ? 2, x1 x 2 ? 1 ?

15 a

3 3 而 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 3 ? 3x1 x2 ( x1 ? x2 )

? 2 3 ? 3 ? 2(1 ? ?2 ? 90 ? 17, 则a ? ?6. a

15 90 ) ? 2? , a a

? f ( x) ? ?6 x 2 ? 12x ? 9.
[点拨] 求二次函数解析式的问题一般用待定系数法,其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析 式形式.本题解答中,注意 a 与 x1、x2 之间的关系.

母题迁徙 2.根据下列条件,求二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的解析式
(1)图象过点(2,0),(4,0)及点(0,3); (2)图象顶点为(1,2)并且过点(O,4); (3)图象过点(1,1),(0,2),(3,5).

考点 3 用配方法研究二次函数的性质

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[例 3] (1)如果函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 对于任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ), 那么(

).

A ? f (2) ? f (1) ? f (4.) C ? f (4) ? f (2) ? f (1)

B ? f (1) ? f (2) ? f (4) D ? f (2) ? f (4) ? f (1)
b ? 对称.据此可 2a

(2)(2009 年福建高考题)函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? ? 0) 的图象关于直线 x ? ?

推测,对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? p ? 0 的解组成的集合不 可能是( ).

A.{1,2}

B.{1,4}

C.{1,2,3,4}

D.{1,4,16,64}

(3)已知二次函数 y ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 在 (??,1) 上是减函数,求 a 的取值范围. [解析] (1)由 f (2 ? t ) ? ? f (2 ? t ) 可知,抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的对称轴是直线 x ? 2, 再由函数的

单调性可得 f (2) ? f (1) ? f (4) ? 故选 A. (2)根据题中的信息,若方程 m[ f ( x)]2 ? ?f ( x) ? p ? 0 有解,则它一定关于直线 x ? ? 而 {x1 , x2 , x3 , x4 } ? {1, 4,16,64} 显然“不对称”,故选 D. (3) 函数的图象是开口向上的抛物线,对称轴是 x ?

b “对称”, 2a

2a ? a, 其递减区间是 (??, a], (??,1) 应 是 2

(??, a ] 的子区间. (? ?, 1 ) ? (??, a], 即 a ? 1. 故I
[点拨] (1) -般地,如果函数 F ( x) (指一般的函数)有一条平行于 y 轴的对称轴,对称轴和 x 轴的 交点坐标为(s,0),则对任意 x 0 , 有 F (s ? x0 ) ? F (s ? x0 ), 反之亦然. (2)二次函数的单调性与其图象的对称轴密切相关,同时要注意开口方向、顶点以及它与所给区间的 相对位置. (3)对于二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0), 它在 ( ?? ,?
2

b ] 上是单调递减的,在其子区间上也是单调 2a

递减的;在 [ ?

b ,?? ) 上是单调递增的,在其子区间上也是单调递增的, 2a

母题迁徙 3. 已知二次函数 f ( x) 满足 f (?2 ? x) ? f (?2 ? x), 比较 (?
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3 ? ), f (? ), f (?1) 的大 2 3

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小.

考点 4 二次函数的最值

[例 4] 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2, x ? [?5,5], (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间[ -5,5]上是单调函数. [解析] 当 a ? ?1 时,可以写出 f ( x) 的解析式,从而求出函数的最值;利用对称轴与区间[ -5,5]

的相对位置去求(2)中 a 的取值范围. (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? 1, 因为 x ? [?5,5], 故当 x ? 1 时, f ( x) 的最小值为 1; 当 x ? ?5 时, f ( x) 的最大值为 37. (2)函数 f ( x) ? ( x ? a) 2 ? 2 ? a 2 的图象的对称轴为 x ? ? a, 因为 f ( x) 在[ -5,5]上是单调的,故 ? a ? ?5 /? k ? a ? 5, 即实数 a 的取值范围为 a ? 5 /? ha ? ?5. [点拨] (1)在求二次函数的最值时,其最值不一定在顶点处取得.当然本例中函数的对称轴

x ? 1 ? [?5,5], 所以函数的最小值为 1.
(2)要使 y ? f ( x) 在区间[ -5,5]上是单调函数,则必须使区间[ -5,5]在对称轴的一侧.

母题迁徙 4.求函数 y ? x 2 ? 2?x ? 1在[O,2]上的值域 考点 5 二次函数的逆向求值问题

[例 5]若函数 f ( x) ? ?

1 2 13 x ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 1 2 13 [解析]研究二次函数在某个区间上的最值问题要按要求分类讨论,二次函数 f ( x) ? ? x ? 的图 2 2

象的对称轴为 x ? 0 , 下面分三种情况讨论: (1)若 0 ? a ? b, 由于 f ( x) 在[a,b]上是减函数,

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? 1 2 13 ? a ? ? 2b, ?a ? 1, ? f (a) ? 2b, ? ? 2 2 故? 即? 解得 ? ?b ? 3. ? f (b) ? 2a, ?? 1 b 2 ? 13 ? 2a. ? 2 ? 2
即 [a, b] ? [1,3]. (2)若 a ? 0 ? b, f ( x) 在[a,0]上是增函数,在[O,b]上是减函数,则有

f (0) ? 2b, f (a) ? 2a或f (b) ? 2a.
由 f (0) ? 2b 得

13 13 ? 2b, b ? ? 2 4 1 13 13 39 f (b) ? ? ? ( ) 2 ? ? ? 0. 2 4 2 32 1 2 13 a ? ? 2a. 2 2

又 a ? 0,2a ? 0, 故 f (a) ? 2a, 即 ? 解得 a ? ?2 ? 17.

? a ? 0,? a ? ?2 ? 17.
? [a, b] ? [?2 ? 17 , 13 ]? 4

(3)若 a ? b ? 0, f ( x) 在[a,b]上是增函数,

? 1 2 13 ? a ? ? 2a, ? f ( a ) ? 2a , ? ? 2 2 故? 即? ? f (b) ? 2b, ?? 1 b 2 ? 13 ? 2b. ? 2 ? 2
1 2 13 x ? 2 x ? ? 0 的两根异号,故满足 a ? b ? 0 的区间不存在. 2 2 13 综上所述,[a,b]=[1,3]或 [?2 ? 17 , ] ? 4 3 母题迁徙 5.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? (2a ? 1) x ? 3 在区间 [ ? ,2] 上的最小值为 1,求 a 的值, 2 考点 6 二次函数中的恒成立问题
由于方程

[例 6] 已知二次函数 y ? f ( x) 的定义域为 R, f (1) ? 2, 且在 x ? t 处(t 为实数)取得最值.若

y ? g ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 2x ? 3.
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(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 x ? [?1,2] 时 f ( x) ? ?1 恒成立,求 t 的取值范围. [解析] (1)设 f ( x) ? a( x ? t ) 2 ? b(a ? ? 0),

? f (1) ? 2,? a(1 ? t ) 2 ? b ? 2.
又 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3, 且 g ( x) 是一次函数, 对比函数可得 a ? 1,?b ? 2 ? ? (1 ? t ) 2 .

? f ( x) ? ( x ? t ) 2 ? 2 ? (1 ? t ) 2 ? ( x ? t ) 2 ? t 2 ? 2t ? 1.
(2)①若 t ? ?1 时,要使 f ( x) ? ?1 恒成立,只需 f (?1) ? ? 1, 即 t ? ?

3 , 这与 t ? ?1 矛盾. 4

②若 ? 1 ? t ? 2 时,要使 f ( x) ? ?1 恒成立,只需 f (t ) ? ? 1, 即 ? t 2 ? 2t ? 1 ? ?1,

?1 ? 3 ? t ? 1 ? 3,?1 ? 3 ? t ? 2.
③若 t>2 时,要使 f ( x) ? ?1 恒成立,只需 f (2) ? ?1, 即 t ? 3,? 2 ? t ? 3. 综上得 t 的取值范围是

[1 ? 3,3] ?
母题迁徙 6.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是(
A ? (??,2] B ? (??,?2) C.(?2,2] D.(?2,2)
).

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优化分层测训
第一课时

学业水平测试
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1.二次函数 y ? 4 x 2 ? mx ? 5 的对称轴为 x ? ?2, 则当 x ? 1 时,y 的值为( ).

A. ? 7

B .1

C .17

D.25
).

2.已知函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图 2 -2 -2 -6 所示,则 b 的取值范围是(

A.b ? ?2

B.b ? 2

C.b ? ?

5 2

D.b ?

5 2

3.已知使函数 y ? ax2 ? 2 x ? c 的值大于 3 的 x 的集合是 {x | 0 ? x ? 1}, 则 a ? c 的值为(

).

A.1

B. ? 1

C .5

D. ? 5
,最大值为

4.函数 y ? 2 x 2 ? 6 x ? 1在 ? 1 ? x ? 1 上的最小值为

5.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c( x ? R) 的部分对应值如下表:
X y -3 -2 -1 6 0 1 2 3 0 4 6

0 -4 -6

-6 -4

则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为
2

6.(1)画出 y ?| x ? 4x | 的图象;
2

(2)解不等式 | x ? 4 x |? 3.
2

高考能力测试
(测试时间:45 分钟测试满分:100 分) 一、选择题(5 分 x8 =40 分)
2 1.如图 2 -2 -2 -7 所示为 y ? ax ? bx ? c (a ? ? 0) 的图象,下列结论中正确的是(

).

A.abc ? 0

B.a ? b ? c ? 0

C.a ? b ? c ? 0

D.2c ? 3b

2 2 2.若 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 1) x ? 1是一个偶函数,则 f ( x) 在 (??,0] 上是(

).

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A.增函数 B.常数函数 C.减函数 D.可能是增函数,也可能是常数函数 ).

3.函数 y ? x 2 ? bx ? c在[1,??) 上是单调增函数,则有(

A.b ? 1

B.b ? 1

C .b ? ?2

D.b ? ?2


? 2 )(x1 ? 4.若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 当 f ( x1 ) ? f ( x ? x2 ) 时, f ( x1 ? x2 ) ? (
b A. ? 2a b B. ? a
C .c

4ac ? b 2 D. 4a
( )

5.函数 y ? ( x ? 4) 2 在某区间上是减函数,则这个区间可以是

A.(?? ? 4]

B ? [?4,??)

C.[4,??)

D.(??,4]
).

6. (2010 年安徽高考题)设 abc >0,二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象可能是(

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0, 7. (2009 年天津高考题)设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ? x ? 6, x ? 0,

).

A.(?3,1)?(3,??)

B ? (?3,1)?(2,??)

C.(?1,1)?(3,??)
).

D ? (??,?3)?(1,3)

8.若二次函数 f ( x). ? ax2 ? bx ? c 满足 f (1) ? f (4), 那么(

A ? f (2) ? f (3)

B ? f (3) ? f (2)

C ? f (3) ? f (2)

D ? f (3)与f (2) 的大小关系不定

二、填空题(5 分×4 =20 分) 9.二次函数 f ( x) 满足 ( 式为 10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 4 的定义域为 R,值域为 [1,??), 则 a 的值为 11.若函数 y ?

1 1 ? x) ? ( ? x), 且在 x 轴上的截距为-1,在 y 轴上的截距为 4,则此函数的解析 2 2

kx 2 ? 6 x ? k ? 8 总有意义,则 k 的取值范围是
2 2

12.设 b>0,二次函数 y ? ax ? bx ? a ? 1 的图象(如图 2 -2 -2-9)为下列之一:

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a 的值为 ①a ? 1, ②a ? ?1, ③a ? 三、解答题(10 分×4 =40 分)

?1? 5 ?1? 5 , ④a ? ? 其中正确的是 2 2

13.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (?2 ? x), 且在 y 轴上的截距为 1,被 x 轴截得的线段长为 2 2 , 求

f ( x) 的解析式.

14.对任意实数 x,一元二次不等式 (2m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? (m ? 4) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

15.要在长为 800m、宽为 600m 的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相等) ,中 间阴影部分种草皮(如图 2 -2 -2 -10) .要求草皮的面积不少于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.

16.已知二次函数 y ? f1 ( x) 的图象以原点为顶点且过点(1, 1), 反比例函数 y ? f 2 ( x) 的图象与直线 y ? x 的两个交点间距离为 8, f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)证明:当 a ? 3 时,关于 x 的方程 f ( x) ? f (a) 有三个实数解.

第二课时
学业水平测试
1.函数 y ? x ? x ? 1在[ -1,1]上的最小值和最大值分别是(
2

).

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A.1,3
2.函数 f ( x) ?

3 B. ,3 4

1 C . ? ,3 2

1 D. ? ,3 4
).

1 的最大值为( 1 ? x(1 ? x)
B. 5 4 C. 3 4 D.

A.

4 5

4 3
).

3.函数 y ? x 2 ? 2 x ? 2 在[3,5)上的最值情况是( A.有最小值 5,有最大值 C.无最小值,有最大值 17

B.有最小值 5,无最大值 D.无最小值,有最大值 50

4.函数 y ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a(a ? 0) 在区间[0,1]上有最大值 2,则 a= 5.函数 y ?

? x ? x ? 2 的最小值为

,最大值为

6.函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? x ? 的定义域和值域都是[1,6](6>1),求 b 的值. 2 2

高考能力测试
(测试时间:45 分钟测试满分:100 分) 一、选择题(5 分×8 =40 分) 1.函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 4(m ? 0) 在 (??,0] 上的最小值是( )

A.4

B. ? 4

C.与 m 的取值有关

D.不存在 ).

2.二次函数 y ? f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x), 且 f ( x) ? 0 有两个实根 x1 , x2 , 则 x1 ? x2 等于(

A.0

B .3

C.6

D.不能确定 ).

3.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 和 y ? ax ? b 在同一坐标系中(如图 2 -2 -2 -11)的示意图正确的是(

4.已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a(a ? 0), 若 f (m) ? 0, 则 f (m ? 1) 的值是( ). A.正数 B.负数 C.零
2

D.符号与口有关

5. (2007 年浙江高考题)设 f ( x) ? ? 的值域是( ).

? ? x , x ? 1, g ( x) 是二次函数,若 f(g(x))的值域是 [0,??), 则 g ( x) x , x ? 1 , ? ?
C ? [0,??) D.[1,??)

A.(??,?1]?[1,??)

B ? (??,?1]?[0,? ? ?)

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2 ? ? x ? 4 x, x ? 0, 6.(2009 年天津高考题)已知函数 f ( x ) ? ? 若 f (2 ? a 2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 2 ? 4 x ? x , x ? 0 , ?

(

).

A ? (??,?1)?(2,??)

B ? (?1,2)

C ? (?2,1)

D ? (??,?2)?(1,??)
).

7.函数 y ? ? x 2 ? 2ax(0 ? x ? 1) 的最大值是 a 2 , 则实数 a 的取值范围是(

A.0 ? a ? 1

B.0 ? a ? 2

C. ? 2 ? a ? 0

D. ? 1 ? a ? 0

8. (2010 年天津高考题)设函数 g ( x) ? x 2 ? 2( x ? R), f ( x) ? ? ( ).

?g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), 则 f ( x) 的值域是 ?g ( x) ? x, x ? g ( x) ?
9 D.[? ,0]?(2,?? ) 4

9 A.[? ,0]?(1,?? ) 4
二、填空题(5 分 x4= 20 分) 9.函数 y ?

B ? [0,??)

9 C ? [ ? ,?? ) 4

1 (?2 ? x ? 2) 的值域为 x ? 2x ? 2
2

10.函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在区间[ -1,2]上的最大值为 4,则 a ? 11.(2008 年湖北高考题)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a, f (bx) ? 9 x ? 6 x ? 2. 其中 x ? R, a, b 为常数,
2

则方程 f (ax ? b) ? 0 的解集为 12. (2008 年上海高考题)若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) (常数 ah b ? R) 是偶函数,且它的值域为

(??,4], 则该函数的解析式 f ( x) =
三、解答题(10 分×4 =40 分) 13.求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间[0,a]上的最值.

14.已知函数 f ( x) ? ax ?

3 2 1 1 1 1 x 的最大值不大于 , 又当 x ? [ , ] 时, f ( x ) ? , 求 a 的值. 2 6 8 4 2

2 15.已知对一切实数 x, y ? x ? 4ax ? 2a ? 6 的值均为非负数,求 f (a) ? 2 ? a | a ? 3 | 的最值.

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张喜林制

16. ( 2010 届 武 汉 市 二 月 调 研 考 试 题 ) 在 经 济 学 中 , 函 数 f ( x) 的 边 际 函 数 Mf ( x) 定 义 为

Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x).某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R( x) 元,成本为 C ( x) 元,且

R( x) ? 3000x ? 20x 2 , C( x) ? 500x ? 4000 ( x ? N*) ? 现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台.
(1)求利润函数 P ( x) 以及它的边际利润函数 MP( x); (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差,

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