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1.2.任意角的三角函数(优秀课件)_图文

复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c

sin ? ?

a
M

cos? ?
tan ? ?

O

?
b

a c b c a b

新课

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2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a ? b
2 2

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

y

﹒P?a, b?
?

o



MP b tan ? ? ? OM a

M x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
P(a,b)

P?

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP


M

?

O

M?

x

MP tan ? ? OM

M ?P ? ? OP ? ? OM ? OP ? M ?P ? ? OM ?

1.锐角三角函数(在单位圆中)

若OP ? r ? 1 ,则
以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆. y

P(a, b)
?
O M 1

MP sin ? ? OP
x

?b

OM cos ? ? OP

?a b MP tan ? ? ? OM a

2.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y ) 那么:(1)y 叫做

? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos?,即 cos ? ? x ; y y tan ? ? (3) 叫做 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0)
x
y

﹒ ? P?x, y
O

?
A?1,0? x

x 所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

? 的终边 y

说 明
(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

P( x , y )

?
o

x
A(1,0)

正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值. (2) 正弦、余弦总有意义.当

y ? 横坐标等于0,tan ? ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

5? 例1.求 的正弦、余弦和正切值. 3
解:在直角坐标系中,作

实例

剖析

5? ,易知 ?AOB ?AOB ? 3
1 3 ( , ? ). 2 2

的终边与单位圆的交点坐标为

5? 5? 3 5? 1 ? ? 3. ?? , cos ? , tan 所以 sin 3 2 3 2 3 7? 5? y 思考:若把角 改为 呢?
5? 3

o



A

x

﹒B

7? sin 6 7? cos 6

3

6 1 ?? , 2 ? 3 ? , 2

7? 3 tan ? 6 3

P15.1

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα tanα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?
0

?1
0
不存在

3? 2

2?

1
0

3 2 3 3

0

?1
0

0 1
0

1

3 不存在

例2.已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3,?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 设角 ? 的终边与单位圆交于 P( x, y ) , M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5.
y

M0

M

M 0 P0 ? 4

OM0 ? 3 ?OMP ∽ ?OM 0 P0

MP ? ? y OM ? ? x

O
P ? x, y ?

x

P0 ?? 3,?4?

M0P y ? | MP | 4 0 sin ? ? y ? ? ? ? ? ? ; 于是, 1 OP OP 5 0 OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP 5 0 y sin ? 4 tan ? ? ? ? . x cos ? 3

定义推广:
设角 ? 是一个任意角, P( x, y)是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0 .

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r r x x ? cos ? ? ② r 叫做 的余弦,即 r y y ③ x 叫做? 的正弦,即 tan ? ? ?x ? 0? x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

巩固

提高

练习: 1.已知角 ? 的终边过点 P?? 12,5? ,

求 ? 的三个三角函数值.
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

??12?

2

? 5 ? 13
2

y 5 x 12 于是,sin ? ? ? , cos ? ? ? ? r 13 r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

2.已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ? a ? R且a ? 0?,

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

? ?15a ? ? ?8a ? ? 17 a ? a ? 0? ?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是
2 2

8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17a 17 ?15a 15

3.已知角?的终边在直线y ? 2 x上,求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.

解: ?1?当角?的终边在第一象限时,
在角?的终边上取点?1, 2 ?,则r= 12 ? 22 ? 5
sin ? ? 2 2 5 1 5 2 ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 5 5 1 5 5

? 2?当角?的终边在第三象限时,
在角?的终边上取点? ?1, ?2?,则r ?

? ?1? ? ? ?2? ? 5
2 2

?2 2 5 ?1 5 ?2 sin ? ? ?? ,cos ? ? ?? , tan ? ? ?2 5 5 ?1 5 5

练习4
1 2 __________ ____
2

已知点 p ( ? 3,m)是角 ?终边上的一点,

13 且 sin ? ? , 则m ? 13

解析: ?r ? 3 ? m
? m 3? m
2

13 ? 13

?13m ? m ? 3
2 2

1 ?m ? 4
2




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos ? tan ?

sin ?

R
R
? ? ? ?? ? ? ? k? (k ? Z )? 2 ? ?

2.确定三角函数值在各象限的符号
y ( +) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( +) o x ( - )( + ) cos ?

y ( -) ( + ) o x ( +) ( - ) tan ?

心得:角定象限,象限定符号.

例3. 求证:当下列不等式组成立时,角 ?

为第三象限角.反之也对.

证明:

?sin ? ? 0 ? ? tan ? ? 0

① ②

因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角.

反过来请同学们自己证明.



如果两个角的终边相同,那么这两 个角的同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0? ? 360?? 角的三角函数值 .

例题
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250 ;(2)sin(?

?
4

);(3)tan(-672 );(4) tan3 ? .
?

解: (1)因为

250 ?是第三象限角,所以 cos 250 ? ? 0;

? ? ? (2)因为 ? 是第四象限角,所以 sin ? ? ? ? 0; 4 ? 4?

?

(3)因为 tan(?672?)= tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan 48?, 而48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0;

(4)tan3? ? tan(? ? 2? ) ? tan? ? 0.

例5.求下列三角函数值: 9π 11π (1)sin1480 10'; (2)cos ; (3)tan(). 4 6
o

解:(1)sin1480o10' = sin(40o10' + 4 ? 360o )
= sin40o10' ? 0.645;

9? ? ? 2 (2) cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? ; 4 4 4 2
11? ? ? 3 (3) tan(? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? . 6 6 6 3

6.已知 ? 在第二象限, 试确定 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号.
解: ∵? 在第二象限, ∴-1<cos?<0, 0<sin?<1.

? , ∴- ? <cos?<0, 0<sin?< ? . ∵- ? < 1, 1< 2 2 2 2
∴sin(cos?)<0, cos(sin?)>0. ∴sin(cos?)?cos(sin?)<0. 故 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号为“ - ”号.

? 11? 练习:求值 cos ? ? ? 3
? 11? 解: cos ? ? ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ?

? cos

?
3

? sin

?
6

? tan

?
3

1 1 ? ? ? 3 ? 1? 3 2 2

归纳
1. 内容总结:

总结

①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

下面我们再从图形角度认识一下三角函数.

sin? ? y ? MP
M
A P

cos ? ? x ? OM

思考: 为了去掉等式中得绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向, 使它们的取值与点P的坐标一致?

【定义】有向线段 * 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.

当角α的终边不在坐 标轴上时,以M为始点、 P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向, 且有正值y;
当线段MP与y轴反向 时MP的方向为负向, 且有负值y. MP=y=sinα 有 向线段MP叫角α的正 弦线

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

M
α的 P 终边

O

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

当角α的终边不在坐 标轴上时,以O为始点、 M为终点,规定:

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
y
A(1,0 ) x

当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且 有正值x;
当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且 有负值x.

α的 终边 P

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ )
y

(Ⅰ )
y

O OM=x=cosα 有 向线段OM叫角α的余弦 α的 P 终边 线 (Ⅲ )

M

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅳ )

α的 终边

MP AT y tan ? ? ? ? AT ? OM OA x

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O

T α的

终边

过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边或其反向延 长线相交于点T. 有向线段AT叫 角α的正切线
终边

MO

A(1,0 M ) x

T

(Ⅱ )
y T
A(1,0 ) x

(Ⅰ )
y M A(1,0 ) x P T

M
α的 P

O

O

(Ⅲ )

(Ⅳ )

α的 终边

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

MO

T

规律:三角函数线是有向线段的数量,要 分清起点、终点。 1)凡含原点的线段,均以原点为起点; 2)不含原点的线段,线段与坐标轴的交点 为起点; 3)正切线AT:起点A一定是单位圆与轴的 非负半轴的交点,终点T为终边(或延长线) 与过A的圆的切线的交点

例 题 示 范
4? 例1.作出角 ? 的正弦线, 余弦线, 正切线. 3
?

Py M A x

MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线

o

T

例2.作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线. ? 2? ( 1) ;(2)? . 3 3

例3.利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角.
s i n? ? 1 2

3 tan ? ? 3
y

解:

y P2 o P1 x

30?T

o
210?

A

x

30?≤?≤150?

30?<?<90?或210?<?<270?

例 4、在单位圆中作出符合下列条件的角的终边 : 1 1 (2) sin ? ? ; ⑴ sin ? ? ; 2 2 ?角的终边
y 1

P
-1
O -1

1 y? 2
x

M1

5? [ ? 2k? , ? 2k? ] 6 6

?

(k ? Z )

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:

1 ?2 ? cos ? ? 2
-1

y
1

? 3
1 x? 2

1

O

x

? 5? ? ? -1 ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? k ? Z ? ? 3 3 ? ?

5? 3

1 变式: 写出满足条件 ? ≤cosα< 2

的集合.

2? 3

3 的角α 2

y

1

? 6
1 x

-1

O -1

4? 3

11? 6

? 2? ? ? 2? 4? ? 11 ? ? ? | 2 k ? ? 2 k ? ? ,或 (2k? ? ,2k? 6 ?<α≤ ? ?2k? 3 ? ,2k? ? )?k ? Z ? ? 4? ? 11? 6 3 3 6 ? 2k? ? 2 k ? ? , k ? Z ? ≤α<
3 6

小 结
1. sin(? ? k ? 2? ) ? sin ?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos? t an( ? ? k ? 2? ) ? t an? (k ? z )
2.三角函数线的定义,会画 任意角的三角函数线; 3. 利用单位圆比较三角函数值 的大小,求角的范围.


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