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29-2.2.1综合法和分析法(2)(复习课)


2.2.1 复习课: 综合法和分析法(2)
教学目标
重点:掌握直接证明的两种方法——综合法、分析法,及其思考过程、特点. 难点:用综合法、分析法证明题目. 能力点:结合已经学过的数学实例,掌握直接证明的两种基本方法:分析法和综合法. 教育点:培养学生运用综合法分析法进行数学证明,养成言之有理、论证有据的数学习惯. 自主探究点:理解综合法证明与分析法证明的概念及它们的区别,综合证题是由因索果,分析法证题是知 果索因,这是两种思路截然不同的方法,在解决问题时可以综合应用. 易错点:本节是所学过的知识的综合应用,学生易把以前所学知识遗忘、混淆.

学法与教具
1.学法:观察发现、回顾知新、归纳总结. 2.教具:投影仪,电脑.

一、 【知识结构】
综合法 1. 直接证明 分析法

P ? Q1
2.综合法

Q1 ? Q2

Q2 ? Q3

???

Qn ? Q

3.分析法

Q?P 1

P 1 ?P 2

P2 ? P 3

???

得到一个明显成立的条件

二、 【知识梳理】
1. 综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证 明的结论成立. 要点:顺推证法;由因导果. 2. 分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 要点:逆推证法;执果索因. 3.综合法与分析法的区别及优缺点 (1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结 论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件. (2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点,综合法从条件推 出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的 思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.

三、 【范例导航】
类型一 综合法的应用 例 1:已知 a , b 是正数,且 a ? b ? 1 ,求证: 证明:法一:

1 1 ? ?4 a b

a, b 是正数

? a ? b ? 2 ab ? 0 ,

1 1 1 ? ?2 ?0 a b ab
又a ?b ?1

当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号

1 1 ? (a ? b)( ? ) ? 4 a b 1 1 ? ? ?4 a b
法二:

a, b 是正数,且 a ? b ? 1

? a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号
1 1 ? ab ? 2 4 1 1 a?b 1 ? ? ? ? ?4 a b ab ab ? ab ?
法三:

1 1 a?b a?b b a b a ? ? ? ? 1? ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 4 a b a b a b a b

当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号. 【点评】从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,由因导果,其逐步推理实际上是寻求它的必要条件, 如何找到“切入点”和有效的推理途径是利用综合法证明问题的关键.”1”的处理为本题带来很多变化, 也是本题的切入点. 变式训练: 在△ ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (1)求证: A ?

?
3

(2)若 sin B ? sin C ? 3 ,证明:△ ABC 为等边三角形 类型二 分析法的应用
2 例 2 已知 a ? 0 ,求证: a ?

1 1 ? 2 ? a? ?2 2 a a 1 1 ? 2 ? a ? ? 2 )比较复杂,这时我 2 a a

2 分析:观察到已知条件简单( a ? 0 ) ,而证明的结论( a ?

们一般采用分析法 证明:要证 a ?
2

1 1 ? 2 ? a? ?2 2 a a

只要证 a ?
2

1 1 ?2?a? ? 2 2 a a

a ? 0 ,只要证 ( a 2 ?

1 1 ? 2)2 ? (a ? ? 2)2 2 a a

即a ?
2

1 1 1 1 ? 4 a 2 ? 2 ? 4 ? a 2 ? 2 ? 2 ? 2 2(a ? ) ? 2 2 a a a a
2

从而只要证 2 a ? 只要证 4(a ?
2

1 1 ? 2(a ? ) 2 a a

1 1 ) ? 2(a 2 ? 2 ? 2 ) 2 a a

即a ?
2

1 ? 2 ,而上述不等式显然成立. a2

故原不等式成立. 【点评】这类与根式有关的命题在证明时,直接证不好证,通常采用分析法,分析法的证明步骤为未知 ? 需知 ?已知,在叙述过程中“要证” “只要证” “即要证”这些词语是必不可少的,否则就会出现错误. 变式训练: 类型三 已知 a , b 为正实数,求证:

a b ? ? a? b. b a

综合法与分析法的综合应用

例 3 已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 成等差数列, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边, 求证: (a ? b)?1 ? (b ? c)?1 ? 3(a ? b ? c)?1 证明:法一: (分析法) 要证 (a ? b) ? (b ? c) 只要证
?1 ?1

? 3(a ? b ? c)?1

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c a?b?c a?b?c ? ?3 只要证 a?b b?c c a ? ?1 即证 a?b b?c 只要证 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c)
只要证 c ? a ? ac ? b
2 2 2

△ ABC 的三个内角 A , B , C 成等差数列

?B ?

?
3
2 2 2

由余弦定理得: b ? c ? a ? 2ac cos 即: c ? a ? ac ? b
2
2

?
3

2
2

2
2

所以 c ? a ? ac ? b 成立,故原等式成立 法二: (综合法) △ ABC 的三个内角 A , B , C 成等差数列 由余弦定理得: b ? c ? a ? 2ac cos
2 2 2

?B ?

?
3

?
3

得 c ? a ? ac ? b
2 2

2

两边加 ab ? bc 得: c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) 两边除以: (a ? b)(b ? c) 得:

c a ? ?1 a?b b?c

?(

c a ? 1) ? ( ? 1) ? 3 a?b b?c 1 1 3 ? ? 即 a?b b?c a?b?c
故: (a ? b)?1 ? (b ? c)?1 ? 3(a ? b ? c)?1

【点评】本题运用综合法时,思路不易找,故可采用分析法,也可以用分析法寻找思路,用综合法写步骤, 解决本题的关键是灵活运用余弦定理.另外在分析法证明中,最后的充分条件的成立用的是综合法证明的, 两种方法结合使用,使问题较容易解决. 变式训练:设 a, b, x, y ? R ,且 a2 ? b2 ? 1, x2 ? y 2 ? 1 求证: | ax ? by |? 1 .

四、 【解法小结】
1.利用综合法证明问题时,要把产生某结果的具体原因写完整,不可遗漏.另外,要注重对已知条件 的分析、利用. 2.用分析法书写证明过程时,格式要规范,一般为“欲证 ,只需证 ,只需证 ,由于 显然成 立(已知 ,已证 ) ,所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略. 3.综合法与分析法不是互斥关系,两者可以在一块综合应用 .

五、 【布置作业】
必做题: 1.设 a ? 2 , b ? 7 ? 3 , c ? 6 ? 2 2.已知 a2 ? 2 ? 则 a , b , c 的大小关系为 .
, y ? a ? b ,则 x , y 的大小关系是_________.

.

2 与 2 2 的大小关系是 a ?2
2

b 是不相等的正数, x ? 3.已知 a ,

a? b 2

4.若 tan(? ? ? ) ? 2 tan ? 求证: 3sin ? ? sin(2? ? ? ) 5.已知 x ? 1 , y ? 1 求证 xy ? 1 ? ( x ?1)( y ?1) .

必做题答案: 1.

a?c?b

2. a2 ? 2 ?

2 ? 2 2 (注意:不能取等号) a ?2
2

3. y 2 ? ( a ? b )2 ? a ? b ? 4. 证明:由

2(a ? b) ( a ? b ) 2 ? ? x2 ; 2 2

答案: x ? y

tan(? ? ? ) ? 2 tan ?



sin(? ? ? ) 2sin ? ? cos(? ? ? ) cos ?
sin(? ? ? ) cos ? ? 2cos(? ? ? )sin ?



sin(2? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? 3cos(? ? ? )sin ?



3sin ? ? 3sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 3[sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ] ? 3cos(? ? ? )sin ?
故: 3sin ? ? sin(2? ? ? ) .

5.证明:要证 xy ? 1 ? ( x ?1)( y ?1) 只要证 xy ?1 ? ( x ?1)( y ?1) 成立

x ?1 , y ?1

? xy ?1 ? 0

只要证 xy ? 1 ? 2 xy ? xy ? x ? y ? 1 只要证 x ? y ? 2 xy 又因为 x ? y ? 2 xy 显然成立 所以原不等式成立 选做题: 1.已知 a , b 为正实数, 2c ? a ? b ,求证

c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab .

2. 设数列 an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 (3 ? m)sn ? 2man ? m ? 3 (n ? N ? ) 其中 m 为常数, 且 m ? 0, m ? 3 (1)求证 an ? 是等比数列; (2)若数列 an ? 的公比 q ? f (m) ,数列 bn ? 满足 b1 ? a1 , bn ? 求证 ? 选做题答案: 1. 证明:要证 c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab 只需证 ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab 只需证 | a ? c |? c 2 ? ab 只需证 (a ? c)2 ? ( c 2 ? ab )2 , 只需证 a ? 2ac ? c ? c ? ab , ,
2 2 2

?

?

?

?

3 f (bn ?1 ) (n ? N * , n ? 2) , 2

? ?1? ? 是等差数列 . b ? ? n?

即证 2ac ? a ? ab
2

a ? 0 ? 只需证 2c ? a ? b 已知 2c ? a ? b 成立.

∴原不等式成立. 2 解:(1)由 (3 ? m)sn ? 2man ? m ? 3 得 (3 ? m)sn?1 ? 2man?1 ? m ? 3 两式相减得 (3 ? m)an?1 ? 2man ,

m ? 0且m ? 3, ?

an ?1 2m , ? an m?3

??an ? 是等比数列.
(2)

(3 ? m)S1 ? 2ma1 ? m ? 3
2m , m?3

?a1 ? 1 ?b1 ? a1 ? 1 , q ? f (m) ?
? n ? N *且n ? 2时,
bn ? 3 3 2bn ?1 f (bn ?1 ) ? , 2 2 bn ?1 ? 3

? bnbn?1 ? 3bn ? 3bn?1 ,即

1 1 1 ? ? , bn bn?1 3

? 1 ?1? ? ? ? 是以 1 为首项, 为公差的等差数列. 3 ? bn ? ?

六、 【教后反思】
1.本教案是在综合法和分析法的新授课之后的复习课,这节课把综合法和分析法的精髓讲解的很透彻, 使学生进一步分清了两者的区别和联系,在解决问题时,有了自己的思考模式,掌握了如何应用两种模 式解决有关证明问题. 2.这节课的题目所涉及的知识点较多,学生回顾知识点有点跟不上,有些题处理起来有难度,需要把握 好节奏,避免讲的过多,而练得少,要注意突出学生的主体地位.有的题目可适当删减.


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