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山西省山大附中2013届高三4月月考数学文试题


山西大学附中 2012-2013 学年高三(4 月)月考数学(文科)试卷
(考试时间:120 分钟) 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 A= x y ? A. ?2, 3? 2.设 a? ( ) A. c ? a ? b

?

- x 2 ?10x ? 16 ,集合 B= ?y y ? log2 x, x ? A?,则 A ? CR B ? (
B. ?1, 2? C. ?3, 8? D. ?3, 8?

?

)

2 3 (sin17? ? cos17?), b ? 2cos 2 13? ? 1, c ? , 2 2
B. a ? c ? b C. b ? a ? c

则 a, b, c 的 大 小 关 系 是

D. c ? b ? a

??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? 2? ???? ??? | OA |?| OB |? 1, ?AOB ? , OC ? OA ? 2OB, 则OC与OB夹角为 3 3.已知
A.

2? 3

B.

? 2

C.

? 3

D.

? 6

4.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是 ..
3 1 正视 图 2 俯视 俯视 2 正视 图 1 3 3 1 正视 图 2 俯视 俯视 2 正视 图 1 3

侧视 图

侧视 图

侧视 图

侧视 图

A. B. C. D. 图 图 图 图 5. 如下程序框图的功能是:给出以下十个数:5,9,80,43, 95,73,28,17,60,36,把大于 60 的数找出来,则框图中 的①②应分别填入的是( ) A. x ? 60 ?,i ? i ? 1 B. x ? 60 ?,i ? i ? 1 C. x ? 60 ?,i ? i ? 1 D. x ? 60 ?,i ? i ? 1 6.已知复数 z 0 ? 1 ? 2i 在复平面上对应点为 P0 ,则 P0 关于 直线 l : z ? 2 ? 2i ? z 的对称点的复数表示是( A. 1 ? i
2

) . D. i

B. 1 ? i

C. ? i

7.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值 是( A. ) B.

4 3

7 5

C.

8 5

D. 3

8. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数, 数列 ?an ? 是等差数列, 1007 ? 0 , a

则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2012 ) ? f (a2013 ) 的值( A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为 0

) . D.可正可负

?x ? y ? 0 ? 9.在平面直角坐标系中,不等式 ? x ? y ? 0 ( a 为常数)表示的平面区域的面积为 8,则 ?x ? a ?
x? y?2 的最小值为( )A. 8 2 ? 10 B. 5 ? 4 2 C. 6 ? 4 2 D. 3 x?3 10. 若 三 棱 锥 S ? ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 , AB ? 2 , SA ? SB ? SC ? 2 ,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
16 ? A. 3

2

4 3 ? B. 3

4 ? C. 3

8 ? D. 3

11.如图, F1 , F2 是双曲线 C :错误!未找到引用源。(a> 0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线错误!未找到引用源。 与错误! 未找到引用源。 的左、 右两支分别交于 A ,B 两点. 若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3:4 : 5,则双曲线的离心率为 ( )A. 15 错误!未找到引用源。 B. 13 错误!

未找到引用源。 C.2

D.错误!未找到引用源。

12 . 已 知 以 T ? 4 为 周 期 的 函 数 f ( x) ? ?

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? ,其中 m ? 0 。若方程 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?


3 f ( x )? x恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(
A. ?

? 15 ? ? ? 3 ,3 ? ? ?

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. 2, 7

?

?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.公比为 4 的等比数列 ?bn } 中,若 Tn 是数列 ?bn } 的前 n 项积,则有 数列,且公比为 4
100

T20 T30 T40 , , 也成等比 T10 T20 T30

; 类比上述结论, 相应的在公差为 3 的等差数列 {an } 中, S n 是 {an } 的 若

前 n 项和,则有一相应的等差数列,该等差数列的公差为____________. 14. 已 知 函 数

f ( x) ?

2 ( x ? 1 ?) x2 ? 1

xs i n

, 其 导 函 数 记 为

f ' x(

) , 则

f (2012) ? f '(2012) ? f (?2012) ? f '(?2012) ?
15.设二次函数 f ( x ) ? ax2 ? 4 x ? c 的值域为 0,??? ,则 u ? 为 16.给出下列四个命题: ① ?x ? R, e x ? ex;
2 ②?x0 ? (1, 2) ,使得 ( x0 ? 3x0 ? 2)ex0 ? 3x0 ? 4 ? 0 成立;

.

?

1 4 ? 2 的最小值 c ?1 a ?4
2

③ 错误!未找到引用源。为长方形,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点,在长方形错误!未找到引用源。内随机 取一 点,取得的点到错误!未找到引用源。距离大小 1 的概率为错误!未找到引用 源。; ④ ?ABC 中,若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形, 在 其中正确命题的序号是 三、解答题: 17. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中 a, b, c 分别为 A , B , C 所对的边,

?
3

?C?

?
2



b sin 2C ? (1)判断 ?ABC 的形状; a ? b sin A ? sin 2C
(2)若

BA ? BC ? 2 ,求 BA? BC 的取值范围

18. (本小题满分 12 分) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送 带上每隔一小时抽一包产品 ,称其重量(单位:克)是否 合格,分别记录抽查数据,获得重量数据茎叶图(如右). (1)根据样本数据,计算甲、乙 两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定; (2)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概率. 19 . (本小题满分 12 分)如图,已 知矩 形 ABCD 的 边
M

P F
O N

AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点,
沿 AF 、 EC 分别把三角形 ADF 和三角形 EBC 折起,使
A

C

E

得点 D 和点 B 重合, 记重合后的位置为点 P 。 求证: (1) 平面 PCE ? 平面 PCF ; (2)设 M 、 N 分别为棱 PA 、 EC 的中点,求直线 MN 与平面 PAE 所成角的正弦; 20. (本小题满分 12 分) 已知点 P ? ?1, ? 是椭圆 E:

D

F

C

? ?

3? 2?

A x2 y2 ? 2 ?1 a ? b ? 0) ( 上一点,F1 、 2 a b

E

B

F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点, O 是坐标原点, PF1 ? x 轴.
( 1 ) 求 椭 圆 E 的 方 程 ;( 2 ) 设 A 、 B 是 椭 圆 E 上 两 个 动 点 ,

PA ? PB ? ? PO (0 ? ? ? 4, ? ? 2) .求证:直线 AB 的斜率为定值;
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

(1) 求函数 F (x) 的单调区间; 2) ( 若以函数 y ? F ( x)(x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ?

1 恒成立,求实数 a 的最小值; (3)是否存在实数 m ,使得函数 2

2a ) ? m ? 1 的图像与函数 y ? f 1 ? x 2 的图像恰有四个不同的交点?若存在, x ?1 求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 y ? g(
2

?

?

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分) 已知点 P(1 ? cos? , sin ? ) ,参数 ? ? ?0, ? ? ,点 Q 在曲线 C: ? ?

10

2 sin(? ? ) 4

?

上.

(1)求在直角坐标系中点 P 的轨迹方程和曲线 C 的方程;(2)求 PQ 的最小值. 23. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? (1)若 x1 , x2 ?[1, ??), x1 ? x2 .求证:

x 1 ? (e ? 2.718?) e ex

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0; x2 ? x1

(2)若满足 f (| a | ?3) ? f (| a ? 4 | ?1) . 试求实数 a 的取值范围 .

山西大学附中 2012-2013 学年高三(4 月)月考数学(文科)答案
1~6DADDCD 7~12AACABB

13.

300

14. 2

2 15. 3

16.① ④ ② .

17.试题分析:解: (1)由题意

b sin2C a sin A ? ? ? a ? b sin A ? sin2C b sin2C

由正弦定理知, ?
? B ? 2C 或 B ? 2C ? ?

a b

sin A sin A ? 在 ?ABC 中, sin A ? 0 ? sin B ? sin 2C sinB sin2C

当 B ? 2C 时,? C ? ( , ) ? B ? (
3 2

? ?

2? ,? ) 则 B ? C ? ? 舍 3

当 B ? 2C ? ? 时, B ? C ? ? ? C ? A ? C 即 ?ABC 为等腰三角形。 (2)在等腰三角形 ?ABC , A ? C ? ( , ) ? B ? (0, )
3 2 3

? ?

?

取 AC 中点 D,由 BA ? BC ? 2 ,得 BD ? 1 又由, BA ? BC ? 4 ? BA ? BC ? 2 ? 所以, BA ? BC ? ? ,1?
18. 18.(1)甲相对稳定。

?

?

2

1 sin2 A

?2 ? ?3 ?

x甲 ? 113

x乙 ? 113
88 , 3

s 2甲 ? 21,s 2乙 ?

(2)从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,共有 15 种不同的取法:(108,109),
(108,110),(108,112),(108,115),(108,124),(109,110), (109,112),(109,115),(109,124),(110,112),(110,115), (110,124),(112,115),(112,124),(115,124). 设 A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克”,

则 A 的基本事件有 4 种:(108,109),(108,110),(109,110),(110,112). 故所求概率为 P(A)=

4 . 15

19. (1)证明:

? PE ? PF ? 1 EF ? 2

? PE ? PF

又 ? PE ? PC 且 PC ? PF=P ? PE ? 平面PFC ? PE ? 平面PEC ? 平面PEC ? 平面PFC
(2)如图,建立坐标系,则
P
? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 1 2? 2? 2 ? 1 ? A? 1,? ? ? M? ? 2 , ?1, 0 ? 、E ? 2 , 0, 0 ? 、 ? 0, 2 , 0 ? 、P ? 0, 0, 2 ? 、 ? - 2 ,0 ? F ? ? 2 , 0, 0 ? 、 M F 4 , - 2 , 4 ? C ? ? ? N? ? ? C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

??? ? ? ? 2 2 ? ???? ? 2 2 ? PF ? ? ? ,0 ? , ? , MN ? ? ? ,1, ? ,? ? 2 ? 4 2 ? 4 ? ? ? ? ?

O N

A

E

??? 易知 PF 是平面 PAE 的法向量, 设 MN 与平面 PAE 所成的角为 ? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? MN ?PF 5 sin? = cos< MN , PF ? ? ???? ??? ? ? ? 5 MN ?PF

20.解: )∵ 1⊥ 轴, (Ⅰ PF x ∴ 1(-1,0) F ,c=1,F2(1,0) , |PF2|= 2 2 ? ) ? ,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3, ( 2
x2 y2 椭圆 E 的方程为: ? ? 1 ; 4 3

3 2

5 2

(Ⅱ )设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,由 PA ? PB ? ? PO 得 (x1+1,y1- )+(x2+1,y2- )= ? (1,3 2 3 2 3 2 3 ) , 2

所以 x1+x2= ? -2 ? 0 ,y1+y2= (2- ? ) ? 0 ………①
2 2 又 3x12 ? 4 y12 ? 12 , 3x2 ? 4 y2 ? 12 ,

两式相减得 3(x1+x2) 1-x2)+ 4(y1+y2) 1-y2)=0………. (x (y .② 以① 式代入可得 AB 的斜率 k=
y1 ? y 2 1 ? 为定值; x1 ? x 2 2

试 题 分 析 : 解 : ( I ) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ? x ? 0 ? ,
F '? x? ? 1 a x?a ? ? 2 ? x ? 0? x x2 x

a x

∵a ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ??? ,∴F ? x? 在 ? a, ??? 上单调递增。 由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴F ? x? 在 ? 0, a ? 上单调递减。 ∴F ? x? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ??? 。 (II) F ' ? x ? ?
k ? F ' ? x0 ? ?
x?a ? 0 ? x ? 3? , x2

x0 ? a 1 ? 1 2 ? ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 ? x0 ? 2 x0 2 ? 2 ?max
1 2
1 2 1 2 1 2

当 x0 ? 1 时, ? x02 ? x0 取得最大值 。∴a ? ,∴amin ? (III)若 y ? g ? ?
2

2a ? 1 2 1 2 2 ? ? m ? 1 ? x ? m ? 的图象与 y ? f ?1 ? x ? ? ln ? x ? 1? 2 2 ? x ?1 ?
1 2 1 2

的图象恰有四个不同得交点, x 2 ? m ? ? ln ? x 2 ? 1? 有四个不同的根, 即 亦即 m ? ln ? x 2 ? 1? ? x 2 ? 有四个不同的根。
1 1 2 2 1 1 令 G ? x ? ? ln ? x 2 ? 1? ? x 2 ? , 2 2

则 G '? x? ?

2x 2 x ? x3 ? x ? x ? x ? 1?? x ? 1? ?x? ? x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1

当 x 变化时, G ' ? x ? 、 G ? x ? 的变化情况如下表: x
(??, ?1) (?1, 0) (0,1)

?1, ???

?

G ' ? x ? 的符号 +


?


?

G ? x? 的 单 调 ?

性 由表格知: G ( x)极小值 ? G (0) ? , G ? x?极大值 ? G ?1? ? G ? ?1? ? ln 2 ? 0 画出草图和验证 G ? 2 ? ? G ? ?2 ? ? ln 5 ? 2 ? ? 可知,当 m ? ? , ln 2? 时, ? ?
1 2 1 2

1 2

1 ?2

?

y ? G ? x ? 与 y ? m 恰有四个不同的交点。

∴ 当 m ? ? , ln 2 ? 时 , y ? ? ? ?2 ?
1

? 2a ? g 2 ?? ? ? x ?1 ?

?1 ? m

12 1 ? x ? m的 图 象 与 2 2

y ? f ?1 ? x 2 ? ? ln ? x 2 ? 1? 的图象恰有四个不同的交点。

22.【解析】 试题分析:设点 P 的坐标为(x,y) ,则有 ?
? x ? 1 ? cos ? , 消去参数 α, ? y ? sin ?

可得 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1. 由于 α∈ [0,π],∴ y≥0,故点 P 的轨迹是上半圆
( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1( y ? 0).

∵ 曲 线

C :

??

10

2 sin(? ? ) 4

?

, 即

10 ? 2 ? (

2 2 sin ? ? cos ? ) ,即 ρsinθ-ρcosθ=10,故曲线 C 的直角坐标 2 2

方程: x-y+10=0. 2) ( 如图所示: 由题意可得点 Q 在直线 x-y+10=0 上, 点 P 在半圆上,半圆的圆心 C(1,0)到直线 x-y+10=0 的距离等于
1 ? 0 ? 10 2 ? 11 2 11 2 .即|PQ|的最小值为 -1. 2 2
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1
x2 x1 ? 1 ?0 x1 x2

x2 ?

23.解: ) (Ⅰ
? x1 x2 ? 1 ? 0,?

1 1 1 ? x1 ? (1 ? )( x2 ? x1 ) x2 x1 x1 x2 1 xx ? ? ( 1 2?1 ) e( x2 ? x1 ) e( x2 ? x1 ) e x1 x2

..2 分? x1 , x2 ?[1, ??), x1

? x2

?

f ( x2 ) ? f ( x) ?0 x2 ? x1

...5 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知, f ( x) 在 [1, ??) 为单调增函数.
?| a | ?3 ? 1, | a ? 4 | ?1 ? 1 且 f (| a | ?3) ? f (| a ? 4 | ?1) ? a | ?3 ?| a ? 4 | ?1..7 |



当 a ? 0 时, ?a ? 3 ? 4 ? a ? 1?3 ? 5 ? a ?? ; 当 0 ? a ? 4 时, a ? 3 ? 4 ? a ? 1 ? a ? 1 ?1 ? a ? 4 ;

当 a ? 4 时, a ? 3 ? a ? 4 ? 1 ?3 ? ?3? a ? 4 综上所述: a ? 1

...10 分


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