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广东省惠州市2015届高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

广东省惠州市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)已知集合 A={0,1,2},集合 B={x|x﹣2<0},则 A∩B=() A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 2. (5 分)若函数 y=f(x)是函数 y=2 的反函数,则 f(2)的值是() A.4 B. 2 C. 1 D.0
x

3. (5 分)已知点 A(1,1) ,B(4,2)和向量 =(2,λ) ,若 ∥ A.﹣ B. C.

,则实数 λ 的值为() D.﹣

4. (5 分)已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=() A.45 B.43 C.40 D.42 5. (5 分)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是() A.y=cos(2x﹣ ) B.y=sin(2x+ ) C.y=sin(x+ ) D.y=cos(x﹣ )

6. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B. 1

C.

D.3

7. (5 分)已知椭圆与双曲线



=1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和

为 10,那么椭圆的离心率等于()

A. ZXXK]

B.

C.

D.

[来源:学科网

8. (5 分)执行如图的程序框图,输出的 T=()

A.30 [来源:学.科.网]

B.25

C.20

D.12

9. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件 A.7 B. 8

,则 z=2x+y 的最大值等于() C.10 D.11

10. (5 分)若直角坐标平面内的两不同点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y=f(x)的图 象上;②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对 [P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”) .已知函数 f(x)=

,则此函数的

“友好点对”有()对. A.0 B. 1

C. 2

D.3

二、填空题:本 大题共 3 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 15 分. (一) 必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11. (5 分)计算: (1+i) (1﹣2i)=. (i 为虚数单位) 12. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x +4 在 x=处取得极小值.
3 2

13. (5 分)设 a>0,b>0.若

是 2 与 2 的等比中项,则

a

b

的最小值为.

一、 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题 的得分. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= (θ∈R)的距离是.

一、几何证明选做题 15.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切 线交 AD 于 E.若 AB=8,DC=4,则 DE=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+ 且 f(2π)=2 (1) 求 ω 和 A 的值; (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+π)= ,f(3β+ )=﹣ ;求 cos(α﹣β)的值. ) (x∈R,A>0,ω>0)的最小正周期为 T=6π,

17. (12 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结 果按如下方式分成五组;第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],如图是按 上述 分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)求这 50 名学生百米测试成绩的平均数 和方差 s . (Ⅱ)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率.
2

18. (14 分) 如图所示, 在所有棱长都为 2a 的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥平面 ABC, D 点为棱 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求四棱锥 C1﹣ADB1A1 的体积.

19. (14 分)若正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项 a1=1,点 P( 线 y=(x+1) 上. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 bn= ,Tn 表示数列{bn}的前 n 项和,求证:Tn< .
2

,Sn+1) (n∈N )在曲

*

20. (14 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

,且经过点 M(4,1) ,直

线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,求证:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形. 21. (14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=4x ﹣2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2﹣a|>0.
3

广东省惠州市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. (5 分)已知集合 A={0,1,2},集合 B={x|x﹣2<0},则 A∩B=() A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 考点: 交集及其运算.

专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 B 中不等式 x﹣2<0,得到 x<2,即 B=(﹣∞,2) , ∵A={0,1,2}, ∴A∩B={0,1}, 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)若函数 y=f(x)是函数 y=2 的反函数,则 f(2)的值是() A.4 B. 2 C. 1 D.0 考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 令反函数的值 2 =2,可得 x 的值,即为 f(2)的值. x 解答: 解:根据函数与反函数的关系,令 2 =2,可得 x=1,故 f(2)=1, 故选 C. 点评: 本题主要考查函数与反函数的关系,属于基础题.
x

3. (5 分)已知点 A(1,1) ,B(4,2)和向量 =(2,λ) ,若 ∥ A.﹣ B. C.

,则实数 λ 的值为() D.﹣

考点: 专题: 分析: 解答: 可得

平面向量共线(平行)的坐标表示. 平面向量及应用. 直接利用向量的平行的充要条件求解即可. 解:根据 A、B 两点 A(1,1) ,B(4,2) ,[来源:Zxxk.Com] =(3,1) ,∵ ∥ ,

∴2×1﹣3λ=0. , 解得 .

故选:C. 点评: 本题考查向量的坐标运算,向量的平行的充要条件的应用.基本知识的考查. 4. (5 分)已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=() A.45 B.43 C.40 D.42 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的通项公式以及项的性质,求出公差 d,再求 a4+a5+a6 的值. 解答: 解:在等差数列{an}中,a1=2,a2+a3=13, ∴(a1+d)+(a1+2d)=13, 即 2×2+3d=13,

解得 d=3; ∴a4+a5+a6=3a5 =3(a1+4d) =3(2+3×4) =42. 故选:D. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式以及项的性质的应用问题,是基础题目. 5. (5 分)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是() A.y=cos(2x﹣ ) B.y=sin(2x+ ) C.y=sin(x+ ) D.y=cos(x﹣ )

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函 数的图像与性质. 分析: 先利用函数的周期性排除 C,D,再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除 A,从而可 得答案.[来源:学_科_网] 解答: 解:A:令 g(x)=cos(2x﹣ )=sin2x,

则 g(﹣x)=sin(﹣2x)=﹣sin2x=﹣g(x) , ∴g(x) =cos(2x+ )为奇函数,故可排除 A; )=cos2x,

B:∵y=f(x)=sin(2x+ ∴其周期 T= ∴y=sin(2x+ ∴y=sin(2x+ C:∵y=sin(x+

=π,f(﹣x)=cos(﹣2x)=cos2x=f(x) , )是偶函数, )是周期为 π 的偶函数,故 B 正确; )其周期 T=2π,故可排除 C; )的周期为 2π,故可排除 D;

D:同理可得 y=cos(x﹣

故选:B. 点评: 本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性,考查诱导公式的应用,属于中档 题. 6. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B. 1

C.

D.3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的高为 3,底面三角形的一条边长为 3,该边 上的高为 1,把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案. 解答: 解:由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的高为 3, 底面三角形的一条边长为 3,该边上的高为 1, ∴几何体的体积 V= × ×3×1×3= . 故选 C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状及 数据所对应的几何量.

7. (5 分)已知椭圆与双曲线



=1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和

为 10,那么椭圆的离心率等于() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求得双曲线的焦点,可得椭圆的 c=4,再由椭圆的 定义可得 a=5,运用离心率公式计 算即可得到. 解答: 解:双曲线 ﹣ =1 的焦点为( ,0) ,

即为(±4,0) , 即有椭圆的 c=4, 由椭圆的定义可得 2a=10, 可得 a=5,

则椭圆的离心率为 e= = . 故选:B. 点评: 本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质,主要考查离心率的求法,运用定义和 离心率公式是解题的关键. 8. (5 分)执行如图的程序框图,输出的 T=()

A.30

B.25

C.20

D.12

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,T,n 的值,当 S=25,T=30 时,满足条 件 T>S,输出 T 的值为 30. 解答: 解:执行程序框图,有 S=0,T=0,n=0 不满足条件 T>S,S=5,n=2,T=2 不满足条件 T>S,S=10,n=4,T=6 不满足条件 T>S,S=15,n=6,T=12 不满足条件 T>S,S=20,n=8,T=20 不满足条件 T>S,S=25,n=10,T=30 满足条件 T>S,输出 T 的值为 30. 故选:A. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

9. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件 A.7 B. 8

,则 z=2x+y 的最大值等于() C.10 D.11

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 B(4,2)时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大,此时 z=2×4+2=10, 故选:C 点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用 z 的几何意义, 利用数形结合是解决本题的关键. 10. (5 分)若直角坐标平面内的两不同点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y=f(x)的图 象上;②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对 [P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”) .已知函数 f(x)=

,则此函数的

“友好点对”有()对. A.0 B. 1 考点: 函数的图象;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意可知只须作出函数 它与函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)交点个数即可. 解答: 解:由题意得:
2

C. 2

D.3

(x>0)的图象关于原点对称的图象,确定

函数 f(x)=

“友好点对”的对数,

等于函数 数

(x>0)的图象关于原点对称的图象,与函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)交点个

2

在同一坐标系中做出函数 4x(x≤0)的图象如下图所示:

(x>0)的图象关于原点对称的图象,与函数 y=﹣x ﹣

2

由图象可知,两个图象只有一个交点. 故选 B 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,分段函数,新定义,其中将“友好点对”的对数转化 为对应图象交点个数是解答的关键 . 二、填空题:本大题共 3 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 15 分. (一) 必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.[来源:学科网] 11. (5 分)计算: (1+i) (1﹣2i)=3﹣i. (i 为虚数单位) 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式=1+2+i﹣2i =3﹣i. 故答案为:3﹣i. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.
[来源:学科网 ZXXK]

12. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x +4 在 x=2 处取得极小值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 求出导数,求出单调区间,由极小值的定义,即可得到. 3 2 2 解答: 解:函数 f(x)=x ﹣3x +4 的导数 f′(x)=3x ﹣6x, 由 f′(x)>0,得 x>2 或 x<0,由 f′(x)<0,得 0<x<2, 故 x=2 处的导数左负右正,则 x=2 为极小值点. 故答案为:2 点评: 本题考查考查导数的运用:求单调区间和求极值,考查运算能力,属于基础题.
a b

3

2

13. (5 分)设 a>0,b>0.若

是 2 与 2 的等比中项,则

的最小值为 4.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用等比中项的性质、“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:由题意知 又 a>0,b>0, ∴ ∴ 的最小值为 4. ,当且仅当 a=b= 时取等号. ,

故答案为:4. 点评: 本题考查了等比中项的性质、“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题. 一、 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题 的得分. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)在极坐标系中,圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= §网 Z§X§X§K] 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 如图,可得圆 ρ=4sinθ 的圆心到直线 θ= 解答: 解:如图:d=2 故答案为:1. =1. (θ∈R)的距离是 d=2 . (θ∈R)的距离是 1.[来源:学§科

点评: 本题考查了圆的极坐标方程的应用,考查了计算能力,属于基础题. 一、几何证明选做题 15.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切 线交 AD 于 E.若 AB=8,DC=4,则 DE=2.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 由已知条件,利用圆的性质和弦切角定理及 30°角所对直角边等于斜边长一半,推导 出△ DCE 是∠DEC=90°,∠DCE=30°的直角三角形,由此能求出结果. 解答: 解:如图,∵AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E. ∴∠BAC=∠DAC,AC⊥BD,∠ABC=∠ADC=∠ACE, ∴CE⊥AD, ∵AB=8,DC=4, ∴BC=DC=4,∠ABC=∠DCE=30°, ∴DE= =2.

故答案为:2.

点评: 本题考查与圆有关的线段长的求法,是中档题,解题时要注意弦切角定理的灵活运 用. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+ 且 f(2π)=2 (1)求 ω 和 A 的值; (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+π)= ,f(3β+ )=﹣ ;求 cos(α﹣β)的值. ) (x∈R,A>0,ω>0)的最小正周期为 T=6π,

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过函数的周期求出 ω,利用 f(2π)=2 即可求出 A 的值; (2)通过 α,β∈[0, ],f(3α+π)= ,f(3β+ )=﹣ ;分别求出 cosα,cosβ,sinα,

sinβ,然后利用两角和与差的三角函数直接求 cos(α﹣β)的值. 解答: 解: (1)依题意得 ω= ∴函数 f(x)=Asin( + 由 f(2π)=2 得 Asin( 即 Asin ∴A=4 =2, (4 分) ) + = = ,

(2 分) )=2,

∴函数 f(x)=4sin( + (2)由 f(3α+π)= 即 4sin( ∴cos )= , (6 分) ],∴sin )=﹣ , (9 分) ],



(5 分) + ]= ,

,得 4sin[ .

又∵α∈[0, 由 f(3β+ ∴sin 又∵β∈[0, ∴

. (7 分) 得 4sin[ + ]= ,即 sin(β+π)= ,

(10 分) = . (12 分)

cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,函数的解析式的求法,考查计算能力. 17. (12 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结 果按如下方式分成五组;第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],如图是按 上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)求这 50 名学生百米测试成绩的平均数 和方差 s . (Ⅱ)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率.
2

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图先估算出这 50 名学生百米测试成绩的平均数 ,进而根据方 差公式,计算出答案. (2)由频率分布直方图得到成绩在[13,14)和[17,18]内的频率,然后用 50 分别乘以两组 的频率可得第一、 五组中的学生数, 分别设出两组中的学生的成绩, 然后用枚举法写出从第一、

五组中随机取出两个成绩的总的取法种数 N, 找出取出的两个成绩的差的绝对值大于 1 的取法 种数 n,则从第一、五组中随机取出两个成绩,这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率 P= . 解答: 解: (1)由频率分布直方图知,成绩在[13,14)的人数为 50×0.06×1=3(人) , 成绩在[14,15)的人数为 50×0.16×1=8(人) , 成绩在[15,16)的人数为 50×0.38×1=19(人) , 成绩在[16,17)的人数为 50×0.32×1=16(人) , 成绩在[17,18]的人数为 50×0.08×1=4(人) , 故这 50 名学生百米测试成绩的平均数 = 方差 s =
2 2

(13.5×3+14.5×8+15.5×19+16.5×16+17.5×4) =15.7;
2 2 2

[(13.5﹣15.7) ×3+(14.5﹣15.7) ×8+(15.5﹣15.7) ×19+(16.5﹣15.7) ×16+
2

(17.5﹣15.7) ×4]=1 (2)并设第一组三人的成绩分别为 x、y、z; 第五组四人的成绩分别为 A、B、C、D; 则从第一、五组中随机取出两个成绩的总的取法种数为: xy,xz,yz,AB,AC,AD,BC,BD,CD,xA,xB,xC,xD,yA,yB,yC,yD,zA,zB, zC,zD 共 21(种) . 取出的两个成绩的差的绝对值大于 1 的取法种数为: xA,xB,xC,xD,yA,yB,yC,yD,zA,zB,zC,zD 共 12(种) . 则从第一、五组中随机取出两个成绩,这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率为 P= = .

点评: 本题考查了频率分布直方图,考查了古典概型及其概率计算公式,解答此题的两个 关键点是:一、明确频率分布直方图中纵轴的单位;二、古典概型及其概率的计算.解答(2) 时除了枚举法之外,也可运用排列组合知识求解.此题属中低档题. 18. (14 分) 如图所示, 在所有棱长都为 2a 的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥平面 ABC, D 点为棱 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CD B1; (2)求四棱锥 C1﹣ADB1A1 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)要证 AC1∥平面 CDB1,可采用线面平行的判定定理,故可连结 BC1,得到 BC1 与 B1C 交点 E,则 DE 是△ ABC1 的中位线,由此证得答案;

(2)取线段 A1B1 中点 M,连结 C1M,由已知可证得 C1M 是四棱锥 C1﹣ADB1A1 的高,再由 已知求出平面 ADB1A1 的面积,代入棱锥的体积公式得答案. 解答: (1)证明:如图, 连结 BC1,设 BC1 与 B1C 交于点 E, 则点 E 是 BC1 的中点,连结 DE, ∵D 点为 AB 的中点, ∴DE 是△ ABC1 的中位线,[来源:学科网 ZXXK] ∴AC1∥DE, ∵DE?平面 CDB1,AC1?面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1; (2)取线段 A1B1 中点 M,连结 C1M, ∵C1A1=C1B1,点 M 为线段 A1B1 中点, ∴C1M⊥A1B1. 又 A1A⊥平面 ABC, 即 A1A⊥平面 C1A1B1,C1M?平面 C1A1B1, ∴A1A⊥C1M, ∵A1A∩A1B1=A1, ∴C1M⊥平面 ADB1A1,则 C1M 是四棱锥 C1﹣ADB1A1 的高. 则 = .

点评: 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题. 19. (14 分)若正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项 a1=1,点 P( 线 y=(x+1) 上. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 bn= ,Tn 表示数列{bn}的前 n 项和,求证:Tn< .
2

,Sn+1) (n∈N )在曲

*

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)将点 P( ﹣1 (n∈N ) ; (2)由于 bn= Tn= +…+ = =
2 *

,Sn+1)代入曲线 y=(x+1) 方程,即得

2

,从而可得 an=2n

=

,所以 .

解答: 解: (1)因为点 P( 所以 所以数列{ 所以 = ,从而

,Sn+1)在曲线 y=(x+1) 上, ,且 ,

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, +(n﹣1)×1=n,即
2 2



当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1, 当 n=1 时,an=2×1﹣1=1 也成立, * 所以 an=2n﹣1 (n∈N ) ; (2)因为 bn= 则 Tn= = (1 = = . 点评: 本题考查求通项公式以及数列的前 n 项和,注意解题方法的积累,属于中档题. +…+ ) = ,所以 bn>0,

20. (14 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

,且经过点 M(4,1) ,直

线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)若直线 l 不过点 M,求证:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;压轴题.

分析: (I)设出椭圆的标准方程,根据椭圆的离心率为
2 2

,得出 a =4b ,再根据 M(4,1)

2

2

在椭圆上,解方程组得 b =5,a =20,从而得出椭圆的方程; (II)因为直线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B,可将直线方程与椭圆方程消去 y 得到关 于 x 的方程,有两个不相等的实数根,从而△ >0,解得﹣5<m<5; (III)设出 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,对(II)的方程利用根与系数的关系得: .再计算出直线 MA 的斜率 k1= ,MB 的斜率为

k2=

,将式子 K1+K2 通分化简,最后可得其分子为 0,从而得出 k1+k2=0,得直线 MA,

MB 的倾斜角互补,命题得证. 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 ,

∵椭圆的离心率为 ∴a =4b , 又∵M(4,1) , ∴
2 2



,解得 b =5,a =20,故椭圆方程为

2

2

.…(4 分)

(Ⅱ)将 y=x+m 代入
2 2

并整理得

5x +8mx+4m ﹣20=0, ∵直线 l:y=x+m 交椭圆于不同的两点 A,B 2 2 ∴△=(8m) ﹣20(4m ﹣20)>0,解得﹣5<m<5.…(7 分) (Ⅲ)设直线 MA,MB 的斜率分别为 k1 和 k2,只要证明 k1+k2=0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 根据(Ⅱ)中的方程,利用根与系数的关系得: .

上式的分子=(x1+m﹣1) (x2﹣4)+(x2+m﹣1) (x1﹣4) =2x1x2+(m﹣5) (x1+x2)﹣8(m﹣1) = 所以 k1+k2=0,得直线 MA,MB 的倾斜角互补 ∴直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.…(12 分)

点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系等知识点,属于难题.解题时注意设而不求 和转化化归等常用思想的运用,本题的综合性较强对运算的要求很高.[来源:Zxxk.Com] 21. (14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=4x ﹣2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2﹣a|>0. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: (1)求导函数,再分类讨论:a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立;a>0 时,f′(x)=12x ﹣ 2a=12(x﹣ ) (x+ ) ,由此可确定 f(x)的单调区间;
3 3 3

(2)由于 0≤x≤1,故当 a≤2 时,f(x)+|2﹣a|=4x ﹣2ax+2≥4x ﹣4x+2;当 a>2 时,f(x)+|2 3 3 3 3 ﹣a|=4x +2a(1﹣x)﹣2≥4x +4(1﹣x)﹣2=4x ﹣4x+2,构造函数 g(x)=2x ﹣2x+1,0≤x≤1, 确定 g(x)min=g( )=1﹣ >0,即可证得结论.
2

解答: (1)解:求导函数可得 f′(x)=12x ﹣2a a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞) a>0 时,f′(x)=12x ﹣2a=12(x﹣ ∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣
2

) (x+ ) , (

) ,+∞) ;单调递减区间为(﹣ , ) ;

(2)证明:由于 0≤x≤1,故 3 3 当 a≤2 时,f(x)+|2﹣a|=4x ﹣2ax+2≥4x ﹣4x+2 3 3 3 当 a>2 时,f(x)+|2﹣a|=4x +2a(1﹣x)﹣2≥4x +4(1﹣x)﹣2=4x ﹣4x+2 设 g(x)=2x ﹣2x+1,0≤x≤1,∴g′(x)=6(x﹣ x g′(x) g(x) ∴函数 g(x)在(0, ∴g(x)min=g(
3 3

) (x+

) ( + ,1)

0

(0, ﹣



极小值 )上单调减,在( >0 ,1)上单调增

)=1﹣

∴当 0≤x≤1 时,2x ﹣2x+1>0 ∴当 0≤x≤1 时,f(x)+|2﹣a|>0. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,属于中档题.


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