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河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研考试_数学(理文)试题_Word版含答案 3星

2013—2014 学年度第一学期高三年级五调考试 数学(理)试卷 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上) i 1. 设 i 是虚数单位,则复数 的虚部是( ) ?1 ? i i 1 1 i A. ? B. ? C. D. 2 2 2 2 2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题 ) m3 . )

3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为(
7 9 B. 3 2 4.以下四个命题中:

A.

C.

7 2

D.

9 4

①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 ) (? > 0) .若 ? 在 ? 0,1? 内取值的概率 为 0.4,则 ? 在 ? 0, 2 ? 内取值的概率为 0.8 ; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 2 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的把握 程度越大. 其中真命题的个数为( A.1 B.2 C.3

) D.4 )

5. 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 ?an ? 的前 8 项和为( A.127 B.255 6.程序框图如图所示: C.511 D.1023

如果上述程序运行的结果 S ? 1320 ,那么判断框中应填入( ) A. K ? 10 ? B. K ? 10 ? C. K ? 9 ? D. K ? 11 ? 2? ? 4 3 ? ) 等于( 7.已知 sin(a ? ) ? sin a ? ? ) , ? ? a ? 0 ,则 cos(? ? 3 3 5 2 3 4 3 4 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 8.已知菱形 ABCD 的边长为 4, ?ABC ? 1500 ,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于 1 的概率( A. )

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8


a, x ? 1 ? ? 9.函数 f ? x ? ? ? 1 x ?1 若关于 x 的方程 2 f 2 ? x ? ? ? 2a ? 3? f ? x ? ? 3a ? 0 有五个不同的实数解,则 a 的取值范围是 ( ( ) ? 1, x ? 1 ? ? 2
3 3 3 3 B. (1, ) ? ( ,2) C. [ , 2) D. (1, ) 2 2 2 2 b, c 满足 | a |?| b |? a ? b ? 2 , (a ? c) ? (b ? 2c) ? 0 ,则 | b ? c | 的最小值为( 10.已知向量 a,

A. (1, 2)



A.

7? 3 2

B.

3 ?1 2

C.

3 2

D.

7 2

11.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,O 为双曲线的中心, P 是双曲线右支上的点, ?PF1 F2 的内切圆的圆心为 I , a2 b2

且圆 I 与 x 轴相切于点 A ,过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B ,若 e 为双曲线的离心率,则( A. | OB |? e | OA | C. | OB |?| OA | B. | OA |? e | OB | D. | OA | 与 | OB | 关系不确定

)

12.数列 {an } 共有 12 项,其中 a1 ? 0 , a5 为( A.84 ) B.168

? 2 , a12 ? 5 ,且 ak ?1 ? ak ? 1, k ?1,2,3 ??? ,11
C.76 D.152

,则满足这种条件的不同数列的个数

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置) 13.已知 ( x ? m)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? 则 a1 ? a2 ? a3 ?

? a7 x7 的展开式中 x 4 的系数是-35,

? a7 ?
y2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直 a

14.已知 f ? x ? 是 R 上的减函数, A?3 , ?1? , B ? 01 , ? 是其图象上两个点,则不等式 | f (1 ? ln x) |? 1 的解集是__________ 15.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M ( 1, m) 到其焦点的距离为 5,双曲线 x 2 ? 线 AM 垂直,则实数 a ? 16.在棱长为 1 的正方体 ABCD — A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AC1 、 A1B1 的中点.点 P 在正方体的表面上运动,则总能使 MP 与

BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于



三、解答题(共 70 分.解答应写在答题纸的相应位置,并写出必要的文字说明、推理过程) 17. (本小题满分 12 分)已知圆 O 的半径为 R (R 为常数),它的内接三角形 ABC 满足

2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B 成立,其中 a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边,
求三角形 ABC 面积 S 的最大值. 18.(本小题满分 12 分)某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为 1,2, 3,?,10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号的为三等奖,奖金 30 元;三球号码都 连号为二等奖,奖金 60 元;三球号码分别为 1,5,10 为一等奖,奖金 240 元;其余情况无奖金。 (1)求员工甲抽奖一次所得奖金 ξ 的分布列与期望; (2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数 的方差是多少? 19. (本小题满分 12 分)直四棱柱 ABCD — A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60?, A1 A ? AB, E 为 BB1 延长线上的一 点, D1E ? 面 D1 AC .设 AB ? 2 . (Ⅰ)求二面角 E ? AC ? D1 的大小; (Ⅱ)在 D1E 上是否存在一点 P ,使 A1P //面 EAC ? 若存在,求 D1P : PE 的值;不存在,说明理由. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆的离心率为
3 且椭圆经过点 P (1, ) . 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; 1 , 2

(2)线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦,且 PF2 ? ? F2 Q ,求 ?PF1Q 内切圆面积最大时实数 ? 的值.
2 2 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x (其中 a ? R ). ? ? (Ⅰ) 若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值;

?1 ? (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ; ?2 ? (Ⅲ) 若函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一 点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过点 A 作 AD ? CD 于 D , 交圆于点 E , DE ? 1 . (Ⅰ)求证: AC 平分 ?BAD ; (Ⅱ)求 BC 的长.
? ? x ? 5 cos ? 23. (本小题满分 10 分)在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 。以原点为极点,x 轴的正半轴为 y ? 15 sin ? ? ?

? 3 极轴建立极坐标系,点 P( 3 , ) ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 。 ? 2 2 cos(? ? ) 6
(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与直线 C 的两个交点为 A、B,求 | PA | ? | PB | 的值。 24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8;
b (2)若 | a |? 1, | b |? 1, a ? 0 .求证: f (ab ) ?| a | f ( ) . a

2013—2014 学年度第一学期高三年级五调考试 数学(理)答案 一、选择题:BCCBB ACDBA 二、填空题: 1 CA
1 4

1 ( , e2 ) e

2? 5

三、解答题:17. 解:由 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B ,

? 4R 2 (sin 2 A ? sin 2 C) ? 2R( 2a ? b) sin B
由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C 代入得

? a 2 ? c 2 ? 2ab ? b 2 ,由余弦定理 cosC ?
?C ?

a2 ? b2 ? c2 2 ? , 2ab 2

?
4

,A? B ?

3? . ---6 分 4

所以 S ?

1 2 2 absin C ? ab ? ? 4 R 2 sin A ? sin B 2 4 4 3? 2 2 ? R2 ? A) ? R (sin 2 A ? ) ? 4 2 4 2 2 ?1 2 R . -------------------------12 分 2
3

= 2 R 2 sin A ? sin(

3 当且仅当 A ? B ? ? 时, S max ? 8

18.解: (1)甲抽奖一次,基本事件的总数为 C10 =120 奖金 ξ 的所有可能取值为 0,30,60,240. 一等奖的情况只有一种,所以奖金为 120 元的概率为 1 P ?? ? 240 ? ? 120

三球连号的情况有 1,2,3;2,3,4;……8,9,10 共 8 种 8 1 ? 得 60 元的概率为 P ?? ? 60 ? ? 120 15 仅有两球连号中,对应 1,2 与 9,10 的各有 7 种;对应 2,3;3,4;……8,9 各有 6 种。 7? 2 ? 6? 7 7 ? 得奖金 30 的概率为 P ?? ? 30 ? ? 120 15 1 1 7 11 ξ 0 (? ? 0) ? 1? ? ? ? 奖金为 0 的概率为 P 120 15 15 24 11 ξ 的分布列为: P 24 11 7 1 1 E? ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 240 ? ? 34 ……………8 分 24 15 15 120 11 13 ? (2) 由(1)可得乙一次抽奖中中奖的概率为 P ? 1 ? 24 24 四次抽奖是相互独立的。 13 B 4, ) ) 所以中奖次数 ?~( 24 13 11 143 ? 故 D? ? 4 ? ? 24 24 144 19. 解:(Ⅰ)设 AC 与 BD 交于 O ,如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则A

30
7 15

60
1 15

240
1 120

?

3, 0, 0 , B ? 0,1, 0 ? , C ? 3, 0, 0 , D ? 0, ?1, 0 ? , D1 ? 0, ?1, 2 ?

?

?

?

,设 E ? 0,1,2 ? h?

则 D1E ? ? 0, 2, h ? , CA ? 2 3, 0, 0 , D1 A ?

?

?

?

3,1, ?2

?

D1E ? 平面 D1 AC

? D1E ? AC, D1E ? D1 A
????????2 分

? 2 ? 2h ? 0,? h ? 1 ,即 E ? 0,1,3?

? D1E ? ? 0, 2,1? , AE ? ? 3,1,3 设平面 EAC 的法向量为 m ? ? x, y, z ?

?

?

? x?0 ? ? m ? CA, ? 则由 ? 得? ? ?? 3x ? y ? 3z ? 0 ?m ? AE , ?

令 z ? ?1

? 平面 EAC 的一个法向量为 m ? ? 0,3, ?1?
又平面 D1 AC 的法向量为 D1E ? ? 0, 2,1? ,? cos m, D1E ?
m ? D1E m ? D1E ? 2 2

? 二面角 E ? AC ? D1 大小为 45 ? ????????????????6 分

? ? ? ? 2? (Ⅱ)设 D1 P ? ? PE ? ? D1 E ? D1P ,得 D1P ? D1E ? ? 0, , ? 1? ? ? 1? ? 1? ? ?

?

?

? A1 P ? A1D1 ? D1P ? ? 3,1, 0 ? (0,

2? ? ? ?1 ? , ) ? (? 3, , ) ??10 分 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ?1 ? 3 ? ? ?1? ? ? 0,? ? ? A1P //面 EAC ,? A1 P ? m,?? 3 ? 0 ? 3 ? 1? ? 1? ? 2

?

?

? 存在点 P 使 A1P //面 EAC ,此时 D1P : PE ? 3: 2 ?????????12 分
3 2 ( ) c 1 3 1 2 20. (1) e ? ? , P (1, ) 满足 2 ? 2 ? 1 ,又 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 2 a b
x2 y 2 a ? 4, b ? 3,? ? ? 1 ????4 分 4 3
2 2

(2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合 当直线 PQ 与 x 轴垂直时, PQ ? 3 , FF ? 3 ;??????5 分 1 2 ? 2 , S ?PF 1Q 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线 PQ : y ? k ( x ? 1), k ? 0 代入椭圆 C 的标准方程,

整理,得 (3 ? 4k 2 ) y 2 ? 6ky ? 9k 2 ? 0,
? ? 0. y1 ? y 2 ? ? 6k ? 9k 2 , y ? y ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

??????7 分

1 k2 ? k S ?PF1Q ? ? | F1 F2 | ? | y1 ? y2 |? ... ? 12 2 (3 ? 4k 2 ) 2

令 t ? 3 ? 4k 2 ,? t ? 3, k 2 ?

t ?3 4

1 1 1 1 4 所以 S ?PF1Q ? 3 ? 3( ? ) 2 ? ? 0 ? ? ? S ?PF1Q ? (0,3) t 3 t 3 3

由上,得 S ?PF1Q ? (0,3] 所以当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S ?PF1Q 最大,且最大面积为 3 设 ?PF1Q 内切圆半径 r ,则 S ?PF1Q ? 即 rmax ? ?????10 分

1 (| PF1 | ? PF2 | ? | PQ |) ? r ? 4r ? 3 2

3 ,此时直线 PQ 与 x 轴垂直, ?PF1Q 内切圆面积最大 4

所以, PF 2 ? F2 Q, ? ? 1

??????12 分
2 2

21. 【解析】(Ⅰ)因为 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? 2 2 2 2 2 ? x ? f ? ? x ? ? ?2ax ? ? a ? 1? ? e x ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? e ? ? ? ? 因为 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0? ? ae0 ? 0 ,解得 a ? 0 ?????3 分 检验,当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? xex ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,故 a ? 0 .?????4 分
?1 ? ?1 ? (Ⅱ) 当 a ? 0 时,不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? , ?2 ? ?2 ? ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? x ?1 2 ? ? ?? 整理得 ? x ? 1? ?e ? ? x ? x ? 1? ? ? 0 ,即 ? x ? 1 2 或? x ?1 2 ?6 分 ? ? ?2 ?? ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1? ? 0 ?e ? ? 2 x ? x ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?1 ? 令 g ? x ? ? e x ? ? x 2 ? x ? 1? , h ? x ? ? g? ? x ? ? ex ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? ex ?1 , ?2 ? x 当 x ? 0 时, h? ? x ? ? e ?1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 ,

?2 分

所以 h ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减,在 (0, ??) 单调递增,所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0 , 所以 g ? x ? 在 R 上单调递增,而 g ? 0? ? 0 ;
?1 ? ?1 ? 故 e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , 2 2 ? ? ? ? 所以原不等式的解集为 ? x x ? 0或x ? 1? ;?????8 分
2 2 ? x (Ⅲ) 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? ? ? ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? e

因为 x ? ?1, 2? ,所以 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上是增函数.
1? ? 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? ? e x , x ? ?1, 2? 时, f ? x ? 是增函数, f ? ? x ? ? 0 . a? ? 1? ? ? 1 ? ? 1 ? ① 若 a ? ?1 ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? e x ? 0 ? x ? ? ? , ?a ? ,由 ?1, 2 ? ? ? ? , ?a ? 得 a ? ?2 ; a? ? ? a ? ? a ? 1 1? 1? ? 1? ? ? ② 若 ?1 ? a ? 0 ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? ? e x ? 0 ? x ? ? ?a, ? ? ,由 ?1, 2 ? ? ? ?a, ? ? 得 ? ? a ? 0 . 2 a? a? ? a? ? ? 2 ③ 若 a ? ?1 , f ? ? x ? ? ? ? x ? 1? ? e x ? 0 ,不合题意,舍去.

? 1 ? 综上可得,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? ? ? , ?? ? ??12 分](亦可用参变分离求解). ? 2 ? 22.解: (Ⅰ)连结 AC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA , 2分 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ? CD ,又因为 AD ? CD ,所以 OC ∥ AD ,
所以 ?OCA ? ?CAD , ?OAC ? ?CAD ,所以 AC 平分 ?BAD . ··· 4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? CE , ·················· 6 分 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ?B ? ?CED ,所以 cos B ? cos ?CED ,8 分 所以
DE CB ? ,所以 BC ? 2 . ················ 10 分 CE AB

? 23.解: (1)直线 l : 2 ? cos(? ? ) ? 3 即 3? cos? ? ? sin ? ? 3 6
? 直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,点 P 0, 3 在直线 l 上。

?

?

5?

1 ? x?? t ? x2 y 2 2 ? ?1 (2)直线 l 的参数方程为 ? ,曲线 C 的直角坐标方程为 ? (t 为参数) 5 15 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,

1 3 2 有 3(? t )2 ? ( 3 ? t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 , 2 2
设两根为 t1t2 ,? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8
10?

??2 x ? 2, x ? ?3, ? (24)解: (Ⅰ) f ? x ? + f ( x+ 4)= | x- 1 | + | x+ 3 | = ? 4, ?3 ? x ? 1, ? 2 x ? 2, x ? 1 ?

当 x ? ?3 时,由 ?2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? ?5 ; 当 ?3 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 8 不成立; 当 x ? 1 时,由 2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? 3 . ?4 分 所以不等式 f ? x ? ? 4 的解集为 {x | x ? ?5 ,或 x ? 3} .
b (Ⅱ) f ? ab ? ?| a | f ( ) ,即 | ab ? 1 |?| a ? b | . a

?5 分 ?6 分

因为 | a |? 1 , | b |? 1 ,所以 | ab ?1 |2 ? | a ? b |2

? (a2b2 ? 2ab ? 1) ? (a2 ? 2ab ? b2 ) ? (a2 ?1)(b2 ?1) ? 0 ,
所以 | ab ? 1 |?| a ? b | .故所证不等式成立. 10 分

2013~2014 学年度上学期五调考试 高三年级数学(文科)试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 4.以下四个命题:其中真命题为( )

①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1;

? ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量平均增加 ③在回归直线方程 y
0.2 个单位; ④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”的把握 程度越大. A.①④ 6.已知 y ? A. ? B.②④ C.①③ ) D.②③
2

x 2 ? 1 则 cos(? ?
B. ?

2? ) 等于( 3

4 5

3 5

C.

4 5

D.

3 5

8. 已知双曲线 C1:

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距是实轴长的 2 倍.若抛物线 C2 : x 2 ? 2 py ? p ? 0? 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2, 2 a b
) B. x ?
2

则抛物线 C2 的方程为( A. x ?
2

8 3 y 3

16 3 y 3

C. x 2 ? 8 y

D. x 2 ? 16 y )

9. 已知 an = log( n+ 1) (n+ 2)(n ? N* ) . 我们把使乘积 a1 · 则在区间 ?1, 2004? 内的所有优数的和为( a2 · a3 · ?· an 为整数的数 n 叫做“优数”, A.1024
2

B.2003
2

C.2026

D.2048

10. 能够把圆 O : x ? y ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和谐函数”,下列函数不是 圆 O 的“和谐函数”的是( .. A. f ( x) ? 4x3 ? x B. f ( x) ? 1n )

5? x x C. f ( x) ? tan D. f ( x) ? e x ? e? x 5? x 2 11.已知向量 a,b,c 满足 | a |?| b |? a ? b ? 2 , (a ? c) ? (b ? 2c) ? 0 ,则 | b ? c | 的最小值为(
A.



3 ?1 2

B.

7? 3 2

C.

3 2

D.

7 2

12.已知函数 f (x ) ?

x 3 mx 2 ? (m ? n )x ? 1 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , x2 ? (1, ? ?) ,点 P(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 ? 3 2


y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是(

A. ( 1,3]

1,3) B. (

+?) C. [3,

D. (3, +?) 甲 乙 2 6 3 1 9 1 2

第Ⅱ卷

非选择题

(共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置) 13.如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的 茎叶图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 14.在 ?ABC 中,已知内角 A ? 则 ?ABC 的面积 S 的最大值为 .

7 2 8 6 4 5

1 2 3

?
3

,边 BC ? 2 3 , .

P 在正方体的表面上 15.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,M、N 分别是 AC1 、 A 1 B1 的中点.点
运动,则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 16.已知数列 {an } 满足 a1 ? .

1 a a , an ?1 ? an ? n ?1 n (n ? 2) ,则该数列的通项公式 an ? _________. 2 n(n ? 1)

三、解答题(共 70 分。解答应写在答卷纸的相应位置,并写出必要的文字说明、推理过程) 17. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |? 把函数 f ( x) 的图像向右平移

?
2

)的图象如图所示,

? 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像. 4

? (1)若直线 y ? m 与函数 g ( x) 图像在 x ? [0, ] 时有两个公共点,其横坐标分别为 x1 , x2 ,
2
求 g ( x1 ? x2 ) 的值; (2)已知 ?ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且

c ? 3, g (C ) ? 0 .若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

18. (本小题满分 12 分)2013 年 9 月 20 日是第 25 个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组,调查 “常吃零食与患龋齿的关系” ,对该区 六年级 800 名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名,常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常吃零食但患龋齿的学生有 140 名. (1)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下,认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系? (2)4 名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集,另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组,工作 人员乙分到负责数据处理组的概率.

附: k 2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k0 )
k0

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19. (本小题满分 12 分)如图,正 ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B. (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求棱锥 E-DFC 的体积; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P,使 AP ? DE ?如果存在,求出 如果不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x . (1)当 a ? 1 时,函数 f ( x) 的图像在点 P(1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ;

BP 的值; BC

( 1, ? ?) (3)当 a ? 1 时,对 x ? ,直线 y ? k ( x ? 1) 恒在函数 y ? f ( x) 的图像下方.求整数 k 的最大值.
请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (本小题满分 10 分) 已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD , 过点 A 作 AD ? CD 于 D ,交圆于点 E , DE ? 1 . (Ⅰ)求证: AC 平分 ? BAD ; (Ⅱ)求 BC 的长.

选修 4 - 4:坐标系与参数方程选讲 23.(本小题满分 10 分)在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 。 y ? 15 sin ? ? ? ? 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 P ( 3 , ) ,直线 l 的极坐标方程 2 为? ?

? x ? 5 cos ? ?

3

2 cos(? ? ) 6

?

.

(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由;

(2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A、B,求 | PA | ? | PB | 的值. 选修 4 - 5:不等式选讲 24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8; (2)若 | a |? 1, | b |? 1, a ? 0 .求证: f ( ab ) ?| a | f ( ) . 2013~2014 学年度上学期五调考试 BCCDA CADCD BB13. 高三年级数学(文科)试卷 参考答案

b a

54 14. 3 3 15. 2 ? 5 16.

n 3n ? 1

17. 解析: (1)由函数 f ( x) 的图象, T ? 4( 又2?

?
3

? ? ? ? ,? ? ?

?
3

7? ? 2? ? )? ,得 ? ? 2 , 12 3 ?

,所以 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

由图像变换,得 g ( x) ? f ( x ?

?
4

) ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

3

) ????????2 分

) ? 1 ????????4 分
????????6 分

由函数图像的对称性,有 g ( x1 ? x 2 ) ? g (

2? 3 )?? 3 2

f (C ) ? sin(2C ? (Ⅱ)∵


?
6

) ?1 ? 0 ,

即 sin(2C ?

?
6

) ?1

0?C ?? ,?

?
6

? 2C ?

?
6

?

∴ 2C ? ∵

?
6

?

?
2

,∴ C ?

?
3

11? , 6



????????7 分

m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .
a b ? , 得 b ? 2a, sin A sin B
①????????9 分

由正弦定理

2 2 ∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

?
3

, ②???????11 分

解方程组①②,得 ?

?a ? 3 . ?b ? 2 3
常吃零食 100 500 600

????????12 分

18. 解: (1)由题意可得列联表: 不常吃零食 不患龋齿 患龋齿 总计 因为 k ?
2

总计 160 640 800

60 140 200

800(60 ? 500 ? 100? 140)2 ? 16.667 ? 10.828。 160? 640? 200? 600

所以能在犯错率不超过 0.001 的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。 (2)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表 小组 收集数据 处理数据 1 甲乙 丙丁 2 甲丙 乙丁 3 甲丁 乙丙 4 乙丙 甲丁 5 乙丁 甲丙 6 丙丁 甲乙

分组的情况总有 6 中,工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种, 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是 P ? 19. 解: (1)AB∥平面 DEF,理由如下: 如图:在 ABC 中,由 E、F 分别是 AC、BC 中点,得 EF∥AB, 又 AB ? 平面 DEF, EF ? 平面 DEF.∴AB∥平面 DEF. (2)∵ AD ? CD , BD ? CD ,将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B .

2 1 ? 。 6 3

∴ AD ? BD ∴ AD ? 平面 BCD EM ? 1 , 取 CD 的中点 M,这时 EM∥AD ∴ EM ? 平面 BCD,

1 1 3 V E - DFC? ? ( S?ABC ) ? EM ? 3 4 3
(3)在线段 BC 上存在点 P,使 AP ? DE 证明如下:在线段 BC 上取点 P.使 BP ? BC / 3 , 过 P 作 PQ ? CD 于 Q, ∵ AD ? 平面 BCD ∴ PQ ? 平面 ACD ∴ tan?DAQ ? DQ / AD= 2 3 / 3 / 2 ? 3 / 3 ,

∴ DQ ? DC / 3 ? 2 3 / 3 ,

?

?

∴ ?DAQ ? 30? ∵ PQ ? 平面 ACD

在等边 ADE 中, ?DAQ ? 30?

∴ AQ ? DE

∴ AP ? DE, AQ ? AP ? A

∴ DE ? 平面 APQ, ∴ AP ? DE . 此时 BP ? BC / 3 ,

∴ BP / BC ? 1/ 3 .

20. 解: (1) f ? ? x ? ? a ? 1 ? ln x ,当 a ? 1 时.切线 y ? 1 ? 2( x ? 1),? y ? 2 x ? 1 ?2 分 (2) f ( x) ? 0 ? a ? ln x ? 0,? x ? (0, e ?a ) ?????4 分 (3)当 x ? 时,直线 y ? k ( x ? 1) 恒在函数 y ? f ( x) 的图像下方,得 ( 1, ? ?) 问题等价于 k ? 当

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立. ?????5 分 x ?1 f ? x ? x ? x ln x x ? 2 ? ln x ? , g?? x? ? 时,令 g ? x ? ? 2 x ?1 x ?1 ? x ? 1?

令 h ? x ? ? x ? 2 ? ln x ,? h? ? x ? ? 1 ? 故 y ? h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数

1 x ?1 ? ? 0, x x

由于 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 所以存在 x0 ? ? 3, 4? ,使得 h( x0 ) ? x0 ? 2 ? ln x0 ? 0 .

? ?) 则 x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? 0 ; x ? ( x0, 时, h( x) ? 0 , ? ?) 即 x ? (1, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ; x ? ( x0, 时, g ?( x) ? 0
? ?) 知 g ? x ? 在 (1, x0 ) 递减, ( x0, 递增
? g ? x ?min ? g ? ? x0 ? ? x0 ? x0 ln x0 ? x.0 x0 ? 1

????10 分 12 分

k ? x0 又 x0 ? ?3, 4? , k ? Z ,所以 kmax ? 3 . ??????

22.解: (Ⅰ)连结 AC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA ,???2 分 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC ? CD ,又因为 AD ? CD ,所以 OC ∥ AD , 所以 ?OCA ? ?CAD , ?OAC ? ?CAD ,所以 AC 平分 ? BAD .???4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? CE , ??6 分 连结 CE ,因为 ABCE 四点共圆, ?B ? ?CED ,所以 cos B ? cos ?CED , 所以

DE CB ? ,所以 BC ? 2 .???10 分 CE AB

23.解: (1)直线 l : 2 ? cos(? ?

?
6

) ? 3 即 3? cos? ? ? sin ? ? 3

? 直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,点 P 0, 3 在直线 l 上。

?

?

5?

1 ? x ? ? t ? x2 y 2 2 ? ? ?1 (2)直线 l 的参数方程为 ? 为参数) ,曲线 C 的直角坐标方程为 (t 5 15 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,

1 3 2 有 3(? t )2 ? ( 3 ? t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 , 2 2
设两根为 t1t2 ,? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8
10?

??2 x ? 2, x ? ?3, ? 24.解: (Ⅰ) f ? x ? + f ( x+ 4)= | x- 1 | + | x+ 3 | = ? 4, ?3 ? x ? 1, ? 2 x ? 2, x ? 1 ?

当 x ? ?3 时,由 ?2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? ?5 ; 当 ?3 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 8 不成立; 当 x ? 1 时,由 2 x ? 2 ? 8 ,解得 x ? 3 . ?4 分 所以不等式 f ? x ? ? 4 的解集为 {x | x ? ?5 ,或 x ? 3} .
b (Ⅱ) f ? ab ? ?| a | f ( ) ,即 | ab ? 1 |?| a ? b | . a

?5 分 ?6 分

因为 | a |? 1 , | b |? 1 ,所以 | ab ?1 |2 ? | a ? b |2

? (a2b2 ? 2ab ? 1) ? (a2 ? 2ab ? b2 ) ? (a2 ?1)(b2 ?1) ? 0 ,
所以 | ab ? 1 |?| a ? b | .故所证不等式成立. 10 分