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辽宁省沈阳二中2016届高三上学期12月月考试题 数学(理)


沈阳二中 2015-2016 学年度上学期 12 月份小班化学习成果 阶段验收 高三(16 届)数学试题(理科)
审校人:高三数学组
总分:150 分

命题人: 高三数学组
说明:1.测试时间:120 分钟

2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷
符合题目要求的.

(60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

1. 设 A ? {x | y ? 1 ? x}, B ? {y | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? B ? A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. ?





2 1 1 2 2. 已知数列{xn}满足 x1=1,x2= ,且 + = (n≥2),则 xn 等于( 3 xn-1 xn+1 xn

)

?2?n-1 A.? ? ?3?
3.下列四个结论:

?2?n B.? ? ?3?

C.

n+1
2

D.

2 n+1

①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆否命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ” ; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④命题“ ?x ? R, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.已知函数 f ? x ? 的图像是连续不断的,有如下的 x , f ? x ? 的对应表 ( )

x
f ? x?

1 136.13

2 15.552

3 -3.92

4 10.88

5 -52.488

6 -232.064 ( )

则函数 f ? x ? 存在零点的区间有 A.区间 ?1,2? 和?2,3? C.区间 ? 2,3?、 ?3,4?和?4,5 ? B.区间 ?2,3? 和?3,4?

D.区间 ?3,4?、 ?4,5?和?5,6 ? )

5.已知 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 m⊥α ,n⊥β ,且 m⊥n,则α ⊥β B.若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则α ∥β C.若 m⊥α ,n∥β ,且 m⊥n,则α ⊥β D.若 m⊥α ,n∥β ,且 m∥n,则α ∥β

6.已知 sin? ? cos ? ? A.﹣1

2 ,则tan? ?
B.﹣2

cos ? 的值为 sin ? 1 C. 2

( D.2



7 .已知 x∈(0,+∞),观察下列各式: 1 4 x x 4 27 x x x 27 a x+ ≥2,x+ 2= + + 2≥3,x+ 3 = + + + 3 ≥4,?,类比有 x+ n≥n+1 (n∈N*), x x 2 2 x x 3 3 3 x x 则 a 等于 A.n B.2n C.n
2

( D.n
n

)

8.6 名志愿者(其中 4 名男生,2 名女生)义务参加宣传活动,他们自由分成两组完成不同的两 项任务,但要求每组最多 4 人,女生不能单独成组,则不同的工作安排方式有( A.40 种 B.48 种
2

)

C.60 种
2

D.68 种

9.设平面区域 D 是由双曲线 y ﹣

=1 的两条渐近线和抛物线 y =﹣8x 的准线所围成的三角形 的取值范围是 C.[0, ] ( D.[0, ] )

区域(含边界) ,若点(x,y)∈D,则 A.[﹣1, ] B.[﹣1,1]

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的 三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 A. 2 3 B. 2 2 C. 10 D. 13 ( )

11.如图, F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线 a2 b2
)

的左右两支分别交于点 A 、 B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为( A.4 B. 7 C.

2 3 3

D. 3

12. 设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x ,在 (0,??) 上
2

f ?( x) ? x ,若 f (6 ? m) ? f (m) ? 18 ? 6m ? 0 ,则实数 m 的取值范围为(
A. [?3,3] B. [3, ??) C. [2, ??)



D. (??, ?2] ? [2, ??)

第Ⅱ卷

(90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. 一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人.按男、女比例用分层抽样的方 法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是________. 14. 等比数列{an}中,a3=9 前三项和为 S3= 3x dx,则公比 q 的值是________.
2

15.已知直三棱柱 ABC ? A B C 中, ?BAC ? 900 ,侧面 BCC B 的面积为 2 ,则直三棱柱 1 1 1 1 1

ABC ? A1B1C1 外接球表面积的最小值为
16.已知椭圆
2 2 2



(a>b>0) ,圆 O:x +y =b ,过椭圆上任一与顶点不重合的点 P 引圆

O 的两条切线, 切点分别为 A, B, 直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M, N, 则

= _____

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知数列{an}中,a1=2,an=an-1+2n(n∈N ,n≥2). (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)求数列? ?的前 n 项和 Sn. ?an?
*

18. (本小题满分 12 分) 1 2 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 3sin Ccos C-cos C= ,且 c=3. 2 (1)求角 C; (2)若向量 m=(1,sin A)与 n=(2,sin B)共线,求 a,b 的值.

19. (本小题满分 12 分)

某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人,为调查该校学生每周平均体育 运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单 位:时).

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其 中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平 均体育运动时间超过 4 时的概率; (3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 时,请完成每周平均体育运动 时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别 有关”.附 χ =
2

P(χ 2>k) 0.05 0.010 k 3.841 6.635

20. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中 AB∥CD,AB⊥BC,

DC=BC= AB=1,点 M 在线段 EC 上. (Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF; (Ⅱ)判断点 M 的位置,使得平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角为 .

21. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 M 的左、右焦点分别为 F1(- 3,0)、F2( 3,0),且抛物线 x =4y 的焦点为椭圆 M 的顶点,过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 M 交于不同的两点 A、B. (1)求椭圆 M 的方程; (2)求△OAB 面积的取值范围; 4 → → → (3)若 S△OAB= ,是否存在大于 1 的常数 m,使得椭圆 M 上存在点 Q,满足OQ=m(OA+OB)?若 5 存在,试求出 m 的值;若不存在,试说明理由.

2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lnx,g(x)= +bx(a≠0)

(Ⅰ)若 a=﹣2 时,函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; 2x x (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设φ (x)=e +be ,x∈[0,ln2],求函数φ (x)的最小值; (Ⅲ)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平 行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

数学试题答案(理科)

1-----12 BDCCA 13.12 14. 1 或﹣

DDBBA BB 15. 4? 16.

17.解 (1)∵a1=2,an=an-1+2n(n∈N ,n≥2), ∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,??,an-an-1=2n, 以上各式相加得 an=a2+4+6+8+?+2n=n(n+1), 当 n=1 时,a1=2 也适合上式, ∴an=n(n+1)(n∈N ).--------------------------------5 分 (2)由(1)得 an=n(n+1), 1 ∴ = 1
*

*

an n(n+1) n n+1 a1 a2 an

1 1 = - ,

1 1 1 ∴Sn= + +?+

1 ? n ?1 1? ?1 1? ?1 =? - ?+? - ?+?+? - = .---------------10 分 ? ?1 2? ?2 3? ?n n+1? n+1 1 2 18.解 (1)∵ 3sin Ccos C-cos C= , 2 ∴ 3 1 sin 2C- cos 2C=1, 2 2

π? ? 即 sin?2C- ?=1, 6? ? π π π ∵0<C<π ,∴2C- = ,解得 C= .----------------6 分 6 2 3 (2)∵m 与 n 共线, ∴sin B-2sin A=0, 由正弦定理 = 得 b=2a.① sin A sin B π 2 2 ∵c=3,由余弦定理得 9=a +b -2abcos ,② 3 联立方程①②得?

a

b

?a= 3, ?b=2 3.

------------------------------12 分

19.解:(1)300?

=90,---------------------------------2 分

所以应收集 90 位女生的样本数据. (2)由频率分布直方图得 1-2?(0.100+0.025)=0.75, 所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 时的概率的估计值为 0.75.---4 分 (3)由(2)知,300 位学生中有 300?0.75=225 人的每周平均体育运动时间超过 4 时,75 人

的每周平均体育运动时间不超过 4 时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关于 女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 男 女 总计 生 生 每周平均体育运动 45 30 75 时间不超过 4 小时 每周平均体育运动 165 60 225 时间超过 4 小时 总计 结合列联表可算得 χ = ≈4.762>3.841. 所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.---12 分 20.解答: (Ⅰ)证明:如图, ∵DC=BC=1,DC⊥BC,∴BD= , 2 2 2 又∵AD= ,AB=2,∴AD +BD =AB ,则∠ADB=90°, ∴AD⊥BD. 又∵面 ADEF⊥面 ABCD,ED⊥AD,面 ADEF∩面 ABCD=AD, ∴ED⊥面 ABCD,则 BD⊥ED, 又∵AD∩DE=D,∴BD⊥面 ADEF,又 BD?面 BDM, ∴平面 BDM⊥平面 ADEF;----------------------------------------------4 分 (Ⅱ)在面 DAB 内过 D 作 DN⊥AB,垂足为 N, ∵AB∥CD,∴DN⊥CD, 又∵ED⊥面 ABCD,∴DN⊥ED, ∴以 D 为坐标原点,DN 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DE 所在直线为 z 轴,建立空间 直角坐标系, ∴B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,E(0,0, ) ,N(1,0,0) , 设 M(x0,y0,z0) ,由 ,得 , ∴x0=0, ,则 M(0,λ , ) ,
2

210 90 300

设平面 BDM 的法向量 令 x=1,得 ∵平面 ABF 的法向量

,则 . ,

,∴





,解得:



∴M(0,

) ,

∴点 M 的位置在线段 CE 的三等分点且靠近 C 处.-------------------------12 分

21.解 (1)由题意得抛物线 x =4y 的焦点坐标为(0,1). 所以椭圆 M 的一个顶点为(0,1),又其焦点为 F1(- 3,0),F2( 3,0). 故 c= 3,b=1,a=2.所以椭圆 M 的方程为 +y =1.--------------2 分 4 (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 即为 y 轴,此时 A、B 为椭圆 M 短轴的两个端点,A、B、

2

x2

2

O 三点共线,显然不符合题意.
当直线 l 的斜率存在时,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx+2.

x ? ? +y2=1, 联立方程? 4 ? ?y=kx+2,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),

2

代入消去 y 整理得(4k +1)x +16kx+12=0,

2

2

由一元二次方程根与系数的关系可得,

x1+x2=
=? =

-16k 12 2 2 ,x1x2= 2 ,(x1-x2) =(x1+x2) -4x1x2 2 4k +1 4k +1

? -216k ?2-4? 12 ? 2 4k +1 ?4k +1?
1 16?4k -3? 2 2 2[(-16k) -48(4k +1)]= 2 2 , ?4k +1? ?4k +1?
2 2 2

4 4k -3 故|x1-x2|= , 2 4k +1 4 1+k ? 4k -3 2 |AB|= 1+k ?|x1-x2|= . 2 4k +1
2 2

而点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1+k
2


2 2 2

1 1 4 1+k ? 4k -3 2 4 4k -3 所以△OAB 的面积 S= ?|AB|?d= ? ? = . 2 2 2 2 2 4k + 1 4k +1 1+k 设 t= 4k -3>0,故 k =
2 2

t2+3
4

4t 4t 4 ,所以 S= = 2 = , t2+3 t +4 4 4? +1 t+ 4 t

4 因为 t>0,所以 t+ ≥2

t

t? =4, t

4

4 7 7 2 当且仅当 t= ,即 t=2 时取得等号,此时 k = ,解得 k=± ,S 取得最大值 1. t 4 2 故△OAB 面积的取值范围为(0,1].----------------------------------8 分 4 4k -3 4 (3)由(2)可知,△OAB 的面积 S= = , 2 4k +1 5 19 2 2 4 2 2 2 即 5 4k -3=4k +1,两边平方整理得 4k -23k +19=0,解得 k =1 或 k = . 4 → → → 设 Q(x0,y0),由OQ=m(OA+OB), -16km 解得 x0=m(x1+x2)= 2 , 4k +1
2

y0=m(y1+y2)=m(kx1+2+kx2+2)=m[k(x1+x2)+4]=m?
故 Q?

16k 4m ?-2 +4? ?= 2 . ?4k +1 ? 4k +1

2

km 4m ?-16 , 2 ? 2 ?, ? 4k +1 4k +1?

km? ?-16 ? 4k2+1 ?2 ? ? ? 4m ?2 由点 Q 在椭圆 M 上可得 +? 2 ? =1, 4 ?4k +1?
整理得 64k m +16m =(4k +1) , 4k +1 5 5 2 2 2 解得 m = ,故 m = 或 m = . 16 16 4 因为 m>1,故 m= 所以存在实数 m= 5 .---------------------------------------------12 分 2 5 → → → ,使得椭圆 M 上存在点 Q,满足OQ=m(OA+OB). 2
2 2 2 2 2 2 2

22. 解: (I)依题意:h(x)=lnx+x ﹣bx. ∵h(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴ ∴ ,∵x>0,则 对 x∈(0,+∞)恒成立, .--------------------------------------2 分

∴b 的取值范围是 . x 2 (II)设 t=e ,则函数化为 y=t +bt,t∈[1,2]. ∵ ∴当 ,即 . 时,函数 y 在[1,2]上为增函数, ;

当 t=1 时,ymin=b+1;当 1<﹣ <2,即﹣4<b<﹣2 时,当 t=﹣ 时, ,即 b≤﹣4 时,函数 y 在[1,2]上是减函数, 当 t=2 时,ymin=4+2b.

综上所述: ----------------------------6 分 (III)设点 P、Q 的坐标是(x1,y1) , (x2,y2) ,且 0<x1<x2. 则点 M、N 的横坐标为 C1 在点 M 处的切线斜率为 . .

C2 在点 N 处的切线斜率为 假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2. 即 .则



=







,则

, (1)

令 ∵u>1,∴r′(u)>0,

,则



所以 r(u)在[1,+∞)上单调递增, 故 r(u)>r(1)=0,则 ,与(1)矛盾!----------------12 分


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