当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第十二讲:一元一次不等式(组)的应用(部分含答案)

第十二讲:一元一次不等式(组)的应用 一、能力要求:
1.能够灵活运用有关一元一次不等式(组)的知识,特别是有关字母系数的不等式(组) 的知识解决有关问题。 2.能够从已知不等式(组)的解集,反过来确定不等式(组)中的字母系数取值范围,具 备逆向思维的能力。 3.能够用分类讨论思想解有关问题。 4.能利用不等式解决实际问题 二、典型例题
1 1.m 取什么样的负整数时,关于 x 的方程 x ? 1 ? m 的解不小于-3. 2 分析:解方程得:x=2m+2 由题意:2m+2≥-3,所以 m≥-2.5 符合条件的 m 值为-1,-2

2.已知 x 、 y 满足 x ? 2 y ? a ? ? x ? y ? 2a ? 1? ? 0 且 x ? 3 y ? ?1 ,求 a 的取值范围.
2

? x ? 2y ? a ? 0 分析:解方程组 ? ? x ? y ? 2a ? 1 ? 0

? x ? 5a ? 2 得? ? y ? 3a ? 1

代入不等式,解得 a ?

1 2

3.比较 a 2 ? 3a ? 1 和 a 2 ? 2a ? 5 的大小 (作差法比大小) 解:
a 2 ? 3a ? 1 ? ? a 2 ? 2a ? 5 ? ? a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5 ? ?a ? 6 (1)当 ? a ? 6 ? 0, 即a ? 6时, a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5 (2)当 ? a ? 6 ? 0, 即a ? 6时, a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5 (3)当 ? a ? 6 ? 0, 即a ? 6时, a 2 ? 3a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 5
1

4.若方程组

的解为 x、y,且 2<k<4,求 x-y 的取值范围。

分析:用整体代入法更为简单
?kx ? 2 y ? 3 ?x ? 0 5. k 取怎样的整数时,方程组 ? 的解满足 ? . ?3 x ? ky ? 4 ?y ? 0

解:(1)当k=0时, ? 4 ? x= 3 ? x>0 ? 此时,不满足 ? ? ? y<0 ? y= 3 ? 2 ? (2)当k ? 0时, 由?1? ? 3,得 3kx ? 6 y ? 9 由? 2 ? ? k,得 3kx ? k 2 y ? 4k 由? 4 ? ? ? 3?,得

? 3? ? 4?

?k

2

? 6 ? y ? 4k ? 9 y?

4k ? 9 k2 ? 6 4k ? 9 把y ? 2 代入 ? 2 ?,得 k ?6 ? 4k ? 9 ? k ? 4 3x ? k2 ? 6 3k ? 8 x? 2 k ?6 ? x>0 ? ? ? y<0 ? 3k ? 8 ? k 2 ? 6 >0 ? ? ? ? 4k ? 9 <0 ?k2 ? 6 ?

2

? k2 ? 6 ? 0 ? 原不等式组可化为 ? 3k ? 8>0 ? ?4k ? 9<0 8 9 ? - ?k? 3 4 ? k 取整数值为:k ? ?2, ?1,1, 2。
2?a a?x ? 4? ,求不等式 <x-a 的解集 3 5 2?a 3

6.若 2(a-3)<

分析:解不等式 2(a-3)< 由

得:a<

a?x ? 4? <x-a 得(a-5)x<-a 5 20 因为 a< 所以 a-5<0 7 a?x ? 4? ?a 于是不等式 <x-a 的解集为 x> a?5 5 7.阅读下列不等式的解法,按要求解不等式. x ?1 不等式 ? 0 的解的过程如下: x?2
?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 解:根据题意,得 ? 1 2 ○或 ? ○ ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

20 7

解不等式组○,得 x ? 2 ;解不等式组○,得 x ? 1 1 2 所以原不等式的解为 x ? 2 或 x ? 1 x?2 请你按照上述方法求出不等式 ? 0 的解. x ?5 分析:典型错误解法: 由不等式
?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 x?2 或? ? 0 得: ? x ?5 ?x ? 5 ? 0 ?x ? 5 ? 0

所以原不等式的解为 x ? 5 或 x ? ?2
?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 x?2 或? ? 0 得: ? x ?5 ?x ? 5 ? 0 ?x ? 5 ? 0

正确解法:由不等式

所以原不等式的解为 x ? 5 或 x ? ?2 8.目前使用手机,有两种付款方式,第一种先付入网费,根据手机使用年限,平均每月分
3

摊 8 元,然后每月必须缴 50 元的占号费,除此之外,打市话 1 分钟付费 0.4 元;第二种方式 将储值卡插入手机,不必付入网费和占号费,打市话 1 分钟 0.6 元.若每月通话时间为 x 分 钟,使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为 y1 和 y2 ,请算一算,哪种对用户合算. 解:
y1 ? 5 8? 0 .x4 y2 ? 0 . 6 x

(1) 若 y1 ? y2 则 58 ? 0.4x ? 0.6x

解得: x ? 290

所以当通话时间小于 290 分钟时,第二种方式合算。 (2) 若 y1 ? y2 则 58 ? 0.4x ? 0.6x 解得: x ? 290

所以当通话时间等于 290 分钟时,两种方式相同。 (3) 若 y1 ? y2 则 58 ? 0.4x ? 0.6x 解得: x ? 290

所以当通话时间大于 290 分钟时,第一种方式合算。

9.某饮料厂开发了 A、B 两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量 如下表所示,现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产,计划生产 A、B 两种饮料共 100 瓶, 设生产 A 种饮料 x 瓶, 解答下列问题: (1) 有几种符合题意的生产方案?写出解答过程; (2)如果 A 种饮料每瓶的成本为 2.60 元,B 种饮料每瓶的成本为 2.80 元,这两种饮料成本 总额为 y 元,请写出 y 与 x 之间的关系式,并说明 x 取何值会使成本总额最低? 原料名称 甲 乙 饮料名称 A 20 克 40 克 B 30 克 20 克
?20 x ? 30 ?100 ? x ? ? 2800 分析: (1)据题意得: ? ?40 x ? 20 ?100 ? x ? ? 2800

解不等式组,得 20 ? x ? 40 因为其中的正整数解共有 21 个,所以符合题意的生产方案有 21 种。 (2)由题意得: y ? 2.6 x ? 2.8?100 ? x ? 整理得: y ? ?0.2 x ? 280 因为 y 随 x 的增大而减小,所以 x=40 时,成本额最低 10.某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案,准备每周(按 120 个工时计算) 生产空调器,彩电,冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 40 台,已知生产这些家电产品每台所 需工时和每台产值如下表: 家电名称 空调器 彩电 冰箱 问:每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台, 1 1 1 才能使产值最高,最高产值是多少万元? 工时(个) 2 3 4 产值(万元/台) 0.4 0.3 0.2
4

解:设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是 x 台、 y 台、 z 台,设此时的产值为 P 万元。
x ? y ? z ? 360?? (1) ? ? 1 1 1 x ? y ? ? 120?? (2) ? 根据题意得: ? 2 3 4 ? ?0 ? x ? 360, 0 ? y ? 360, 40 ? z ? 360 ?? (3) ? x, y, z 均 为 数 ?? (4) 整 ? ?
1 ? 1 ? ? 0 ? 2 z ? 360 x? z ? ? 2 由(1)和(2)知 ? ??(5)把(5)代入(3)得: ? 3 ? ?0 ? 360 ? z ? 360 2 ? y ? 360 ? 3 z ? ? ? 2 ? 40 ? z ? 360 ? ?

解得: 40 ? z ? 240
1 3 P ? 0.4 x ? 0.3 y ? 0.2 z = 0.4 ? z ? 0.3(360 ? z ) ? 0.2 z = 108 ? 0.05z 2 2 要使 P 最大,只需 z 最小 当 z ? 40 时 P 最大=108-0.05×40=106(万元) 1 此时 x ? z ? 20 (台) 2 3 (台) y ?360 z ? 300 ? 2 答:每周应生产空调器 20 台、彩电 300 台、冰箱 40 台,才能使产值最高,最高产值是 106 万元?

一、 【问题引入与归纳】 我国著名数学家华罗庚先生曾经说过: “先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上 来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观法则的方法之一” 。这种以退为进,寻找规律 的方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明。 能力训练点:观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。 二、 【典型例题解析】 1、 观察算式:
(1 ? 3) ? 2 (1 ? 5) ? 3 (1 ? 7) ? 4 (1 ? 9) ? 5 ,1 ? 3 ? 5 ? ,1 ? 3 ? 5 ? 7 ,1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? , ?, 按 2 2 2 2 规律填空:1+3+5+?+99= ?,1+3+5+7+?+ (2n ? 1) ? ? 1? 3 ?

5

2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律,写出第 n 个小房子 用了多少块石子?

3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图 所示)的规律,拼成若干个图案: (1)第 3 个图 案中有白色地面砖多少块?(2)第 n 个图案中有 白色地面砖多少块? 4、 观察下列一组图形,如图,根据其变化规律,可得第 10 个图形中三角形的个数为多少? 第 n 个图形中三角形的个数为多少?

5、 观察右图,回答下列问题: (1)图中的点被线段隔开分成四层,则第一层有 1 个点,第二层有 3 个点,第三层有多少个点,第四层有多少个点? (2)如果要你继续画下去,那第五层应该画多少个点,第 n 层有多 少个点? (3)某一层上有 77 个点,这是第几层? (4)第一层与第二层的和是多少?前三层的和呢?前 4 层的和呢?你有没有发现什么 规律?根据你的推测,前 12 层的和是多少? 6、 读一读:式子“1+2+3+4+5+?+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和,由于上
100 n ?1

述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+?+100”表示为 ? n , 这里“ ? ”是求和符号,例如“1+3+5+7+9+?+99” (即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和) 可表示为 ? (2n ? 1); 又如 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? 73 ? 83 ? 93 ? 103 ” “ 可表示为 ? n3 , 同学们,
n ?1 n ?1 50 10

通过以上材料的阅读,请解答下列问题:

6

(1)2+4+6+8+10+?+100(即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和)用求和符号可表示 为 ; (2)计算: ? ( n 2 ? 1) =
n ?1 5

(填写最后的计算结果) 。

7、

观察下列各式,你会发现什么规律? 3×5=15,而 15=42-1 11×13=143,而 143=122-1 5×7=35,而 35=62-1 ? ? 。 ? ?

将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来

8、 请你从右表归纳出计算 13+23+33+?+n3 的分式,并算出 13+23+33+?+1003 的值。

三、 【跟踪训练题】1 1、有一列数 a1 , a2 , a3 , a4 ? an , 其中: a1 =6×2+1, a2 =6×3+2, a3 =6×4+3, a4 =6×5+4;?则 第 n 个数 an = ,当 an =2001 时, n = 。

2、将正偶数按下表排成 5 列 第1列 第一行 第二行 第三行 ?? 16 第2列 2 14 18 ?? 第3列 4 12 20 28 行 列。 ) 第4列 6 10 22 26 24 第5列 8

根据上面的规律,则 2006 应在

3、已知一个数列 2,5,9,14,20, x ,35?则 x 的值应为: ( 4、在以下两个数串中:

1,3,5,7,?,1991,1993,1995,1997,1999 和 1,4,7,10,?,1990,1993, 1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个。A.333 B.334

7

C.335

D.336

3、学校阅览室有能坐 4 人的方桌,如果多于 4 人,就 把方桌拼成一行,2 张方桌拼成一行能坐 6 人(如 右图所示 )按照这种规定填写下表的空格: 4、 拼成一行的桌子数 人数 6、给出下列算式:
3 2 ? 12 ? 8 ? 1 5 2 ? 32 ? 8 ? 2 7 2 ? 52 ? 8 ? 3 92 ? 72 ? 8 ? 4 ?????

1 4

2 6

3

? ?

n

观察上面的算式,你能发现什么规律,用代数式表示这个规律: 7、通过计算探索规律: 15 =225 可写成 100×1×(1+1)+25 252=625 可写成 100×2×(2+1)+25 352=1225 可写成 100×3×(3+1)+25 452=2025 可写成 100×4×(4+1)+25 ???? 752=5625 可写成 归纳、猜想得: (10n+5)2= 根据猜想计算:19952= 8、已知 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? 112+122+132+?+192=
1 n?n ? 1??2n ? 1? ,计算: 6 ;
2

9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式,有位学者提出:当 n 是自然数时,代数式 n2+n+41 所表示的是质数。请验证一下,当 n=40 时,n2+n+41 的值是什 么?这位学者结论正确吗?
8

9


相关文章:
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第十二讲:一元一次不等式(组)的应用(部分含答案)_学科竞赛_初中教育_教育专区。第十二讲:一元一次不等式(组...
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲义:第3讲:一元一次方程有关的问题(部分含答案) - www.czsx.com.cn 第三讲:与一元一次方程有关的问题 ...
...天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第一讲 和绝....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第一讲 和绝对值有关的问题(部分含答案) - 第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图: 数 二、 ...
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲义:第1讲 和绝对值有关的问题(部分含答案) - www.czsx.com.cn 第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识...
...天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第二讲:代数....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第讲:代数式的化简求值问题_学科竞赛_初中教育_教育专区。第二讲:代数式的化简求值问题一、知识链接 1. “...
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲义:第10讲:元一次方程组...2 y ? 5 ? 0 ,等式成立.所以 ? 是方 ? ?y ?1 x ? 2 y ? 5 ?...
...天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第九讲:与三....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第讲:与三角形有关的角(部分含答案) - 第九讲:与三角形有关的角 一、相关定理 (一)三角形内角和定理...
...天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第四讲:图形....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第讲:图形的初步认识 - 第四讲:图形的初步认识 一、相关知识链接: 1.认识立体图形和平面图形 我们常见的...
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲义:第2讲:代数式的化简求值问题(部分含答案) - www.czsx.com.cn 第二讲:代数式的化简求值问题 一、知识...
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中数学竞赛内部讲义:第4讲:图形的初步认识(部分含答案) - www.czsx.com.cn 第四讲:图形的初步认识 一、相关知识链接: 1....
...天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第七讲:平面....doc
【培优专讲】天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第讲:平面直角坐标系 - 第七讲:平面直角坐标系 一、知识要点: 1、特殊位置的点的特征 (1)各个象限的点...
天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第八讲:与三角....doc
天津市南大附中2013年初中竞赛内部讲义:第讲:与三角形有关的线段 - 第八讲:与三角形有关的线段 一、相关知识点 1.三角形的边 三角形三边定理:三角形两边...
更多相关标签: