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时间序列分析试卷及答案


第 1 页 共 7 页

时间序列分析试卷 1
一、
1.

填空题(每小题 2 分,共计 20 分)

ARMA(p, q) 模 型 _________________________________ , 其 中 模 型 参 数 为 ____________________。 设时间序列 ? X t ? ,则其一阶差分为_________________________。 设 ARMA (2, 1):

2. 3.

X t ? 0.5X t ?1 ? 0.4X t ?2 ? ?t ? 0.3?t ?1
则所对应的特征方程为_______________________。 4. 对于一阶自回归模型 AR(1): X t ? 10+? X t ?1 ? ? t ,其特征根为_________,平稳域是 _______________________。 5. 6. 设 ARMA(2, 1): X t ? 0.5X t ?1 ? aX t ?2 ? ? t ? 0.1? t ?1 ,当 a 满足_________时,模型平稳。 对 于 一 阶 自 回 归 模 型 ______________________。 对于二阶自回归模型 AR(2): MA(1):

X t ? ? t ? 0.3? t ?1 , 其 自 相 关 函 数 为

7.

X t ? 0.5X t ?1 ? 0.2X t ?2 ? ? t
则模型所满足的 Yule-Walker 方程是______________________。 8. 设时间序列 ? X t ? 为来自 ARMA(p,q)模型:

X t ? ?1 X t ?1 ? L ? ?p X t ? p ? ?t ? ?1?t ?1 ? L ? ?q? t ?q
则预测方差为___________________。 9. 对于时间序列 ? X t ? ,如果___________________,则 X t ~ I ? d ? 。

10. 设时间序列 ? X t ? 为来自 GARCH(p,q)模型,则其模型结构可写为_____________。

得分

二、(10 分)设时间序列 ? X t ? 来自 ARMA ? 2,1? 过程,满足

?1 ? B ? 0.5B ? X ? ?1 ? 0.4B ? ?
2 t

t

,

其中 ?? t ? 是白噪声序列,并且 E ?? t ? ? 0,Var ?? t ? ? ? 。
2

第 2 页 共 7 页

(1) 判断 ARMA ? 2,1? 模型的平稳性。 (5 分) (2) 利用递推法计算前三个格林函数 G0 , G1 , G2 。 (5 分) 三、(20 分)某国 1961 年 1 月—2002 年 8 月的 16~19 岁失业女性的月度数 据经过一阶差分后平稳( N = 500 ) ,经过计算样本其样本自相关系数

得分

? } 的前 10 个数值如下表 ? k } 及样本偏相关系数 {? {? kk
k 1 -0.47 -0.47 2 0.06 -0.21 3 -0.07 -0.18 4 0.04 -0.10 5 0.00 -0.05 6 0.04 0.02 7 -0.04 -0.01 8 0.06 -0.06 9 -0.05 0.01 10 0.01 0.00

?k ?

? ? kk


(1) 利用所学知识,对 { X t } 所属的模型进行初步的模型识别。 (10 分) (2) 对所识别的模型参数和白噪声方差 ? 给出其矩估计。 (10 分)
2

得分

四、(20 分)设 { X t } 服从 ARMA(1, 1)模型:

X t ? 0.8 X t ?1 ? ? t ? 0.6? t ?1
其中 X100 ? 0.3, ?100 ? 0.01 。 (1) (2) 给出未来 3 期的预测值; (10 分) 给出未来 3 期的预测值的 95%的预测区间( u0.975 ? 1.96 ) 。 (10 分)

得分

五、(10 分)设时间序列 { X t } 服从 AR(1)模型:

X t ? ? X t ?1 ? ? t ,其中 {? t } 为白噪声序列, E ?? t ? ? 0,Var ?? t ? ? ? 2 ,

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 为来自上述模型的样本观测值,试求模型参数 ? , ? 2 的极大似然估计。
得分
六、(20 分)证明下列两题:

(1)

设时间序列 ?xt ? 来自 ARMA ?1,1? 过程,满足

xt ? 0.5xt ?1 ? ? t ? 0.25? t ?1 ,

第 3 页 共 7 页
2 其中 ? t ~ WN 0, ? , 证明其自相关系数为

?

?

? 1, ? ? k ? ? 0.27 ?0.5 ? k ?1 ?
(2)

k ?0 k ? 1 (10 分) k?2

若 X t ~ I( 0 ) , Yt ~ I(0 ) ,且 ? X t ? 和 ?Yt ? 不相关,即 cov ( X r , Ys ) ? 0, ?r , s 。试

证明对于任意非零实数 a 与 b ,有 Zt ? aX t ? bYt ~ I (0) 。 (10 分)

时间序列分析试卷 2
七、 填空题(每小题 2 分,共计 20 分)

1. 2. 3.

设时间序列 ? X t ? ,当__________________________序列 ? X t ? 为严平稳。 AR(p)模型为_____________________________,其中自回归参数为______________。 ARMA(p,q) 模 型 _________________________________ , 其 中 模 型 参 数 为 ____________________。 设时间序列 ? X t ? ,则其一阶差分为_________________________。 一阶自回归模型 AR(1)所对应的特征方程为_______________________。 对 于 一 阶 自 回 归 模 型 AR(1) , 其 特 征 根 为 _________ , 平 稳 域 是 _______________________。 对于一阶自回归模型 MA(1),其自相关函数为______________________。 对于二阶自回归模型 AR(2): X t ? ?1 X t ?1 ? ?2 X t ?2 ? ? t ,其模型所满足的 Yule-Walker 方程 是___________________________。

4. 5. 6. 7. 8.

9.




?







?Xt ?
? p







ARMA(p,q) ,? t 则 ?







X t ? ?1

Xt L 1?

??

X

t

? ? pL 1 ? ? ? t1 ?

?预 ? ?测q 方 t 差 q 为

___________________。 10. 设时间序列 ? X t ? 为来自 GARCH(p, q)模型,则其模型结构可写为_____________。

得分

八、(20 分)设 ? X t ? 是二阶移动平均模型 MA(2),即满足

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Xt ? ? t ? ?? t-2 ,
其中 ?? t ? 是白噪声序列,并且 E ?? t ? ? 0,Var ??t ? ? ? 2 (1) 当 ? 1 =0.8 时,试求 ? X t ? 的自协方差函数和自相关函数。 (2) 当 ? 1 =0.8 时,计算样本均值 (X1 ? X2 ? X3 ? X4 ) 4 的方差。

得分

九、(20 分)设 { X t } 的长度为 10 的样本值为 0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,

0.92,0.78,0.86,0.72,0.84,试求 (1) 样本均值 x 。

?1 , ? ?2 。 ?1 , ?? 2 和自相关函数值 ? (2) 样本的自协方差函数值 ?
(3) 对 AR(2)模型参数给出其矩估计,并且写出模型的表达式。 十、(20 分)设 { X t } 服从 ARMA(1, 1)模型:

得分

X t ? 0.8 X t ?1 ? ? t ? 0.6? t ?1
其中 X100 ? 0.3, ?100 ? 0.01 。 (1) (2) 给出未来 3 期的预测值; 给出未来 3 期的预测值的 95%的预测区间。 十一、 (20 分)设平稳时间序列 { X t } 服从 AR(1)模型: X t ? ?1 X t ?1 ? ? t , 其中 {? t } 为白噪声, E ?? t ? ? 0,Var ??t ? ? ? ,证明:
2

得分

Var ( X t ) ?

?2 1 ? ?12

时间序列分析试卷 3
十二、 单项选择题(每小题 4 分,共计 20 分)

11.

X t 的 d 阶差分为

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(a) ?d X t =X t ? X t ?k (c) ?d X t =?d ?1 X t ??d ?1 X t ?1 12. 记 B 是延迟算子,则下列错误的是 (a) B ? 1
0

(b) ?d X t =?d ?1 X t ??d ?1 X t ?k (d) ?d X t =?d ?1 X t -1 ??d ?1 X t ?2 (b) B ? c ? X t ? =c ? BX t ? c ? X t ?1
d (d) ? =X t ? X t ? d ? ?1 ? B ? X t d

(c) B ? X t ? Yt ? =X t ?1 ? Yt ?1

13. 关于差分方程 X t ? 4X t ?1 ? 4X t ?2 ,其通解形式为 (a) c1 2t ? c2 2t (c) ? c1 ? c2 ? 2
t

(b) ? c1 ? c2t ? 2 (d) c ? 2
t

t

14. 下列哪些不是 MA 模型的统计性质 (a) E ? X t ? ? ? (c) ?t, E ? X t ? ? ?, E ??t ? ? 0
2 q 2 (b) Var ? X t ? ? 1 ? ?1 ? L ? ?1 ?

?

?

(d) ?1 ,K ,?q ? 0

15. 上面左图为自相关系数,右图为偏自相关系数,由此给出初步的模型识别 (a)MA(1) (b)ARMA(1, 1) (c)AR(2) (d)ARMA(2, 1) 十三、 填空题(每小题 2 分,共计 20 分) 1. 在下列表中填上选择的的模型类别

得分

2. 3. 4.

时间序列模型建立后,将要对模型进行显著性检验,那么检验的对象为___________, 检验的假设是___________。 时间序列模型参数的显著性检验的目的是____________________。 根据下表,利用 AIC 和 BIC 准则评判两个模型的相对优劣,你认为______模型优于

第 6 页 共 7 页

______模型。

5.

时间序列预处理常进行两种检验,即为_______检验和_______检验。 十四、 (10 分)设 {? t } 为正态白噪声序列, E ?? t ? ? 0,Var ?? t ? ? ? 2 ,时 间序列 { X t } 来自

得分

X t ? 0.8 X t ?1 ? ? t ? ? t ?1
问模型是否平稳?为什么? 十五、 (20 分)设 { X t } 服从 ARMA(1, 1)模型:

得分

X t ? 0.8 X t ?1 ? ? t ? 0.6? t ?1
其中 X100 ? 0.3, ?100 ? 0.01 。 (3) (4) 给出未来 3 期的预测值; (10 分) 给出未来 3 期的预测值的 95%的预测区间( u0.975 ? 1.96 ) 。 (10 分) (20 分) 下列样本的自相关系数和偏自相关系数是基于零均值的平 稳序列样本量为 500 计算得到的(样本方差为 2.997)

得分

十六、

ACF: 0:340; 0:321; 0:370; 0:106; 0:139; 0:171; 0:081; 0:049; 0:124; 0:088; 0:009; 0:077 PACF: 0:340; 0:494; 0:058; 0:086; 0:040; 0:008; 0:063; 0:025; 0:030; 0:032; 0:038; 0:030
根据所给的信息,给出模型的初步确定,并且根据自己得到的模型给出相应的参数估计,要求写 出计算过程。

得分

十七、 (10 分)设 { X t } 服从 AR (2)模型:

X t ? ?1 X t ?1 ? ?2 X t ?1 ? ? t
其中 {? t } 为正态白噪声序列, E ?? t ? ? 0,Var ?? t ? ? ? ,假设模型是平稳的,证明其偏自相
2

关系数满足

?? k ? 2 ?kk ? ? 2 ?0 k ?3

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