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高三文科数学大题小练1:三角函数及解三角形(教师版)


高三文科数学大题小练 1:三角函数及解三角形(教师版)
1.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 的最大值是 3 ,最小值是

?1 ,且 f ( x) 的最小正周期为 ? ,并且函数 f ( x) 是偶函数
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0,

?

? 11 ? 37 ? ?? ) ,且 f ( ) ? , f ( ) ? ) 的值. ,求 f ( 2 2 5 2 13 2
?A ? k ? 3 ?A ? 2 ,解得 ? ?? A ? k ? ?1 ?k ? 1

【解析】 (1)? f ( x) 的最大值是 3 ,最小值是 1 ,? ?

? f ( x) 的最小正周期为 ? ,?

2?

? f ( x) 是偶函数,∴ f (? ) ? f ( ) , 4 4
∴ 2sin(?

?

?

? ? ,即 ? ? 2 ,? f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1

?

?

? ? ) ? 1 ? 2sin( ? ? ) ? 1 , ? sin ? ? sin ? ,即 sin ? ? 0 2 2

?

而 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? (2)? f ( ) ?

?

11 11 3 ,? 2 cos ? ? 1 ? ,即 cos ? ? 2 5 5 5 ? 37 37 12 ?f( )? ,? 2 cos ? ? 1 ? ,即 cos ? ? 2 13 13 13

?

2

,故 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

2

) ? 1 ? 2 cos 2 x ? 1 .

3 4 ? 12 5 ?? , ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? 1 ? ( )2 ? , sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? 2 5 5 13 13
3 12 4 5 56 ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65 ? ?? 56 177 ?f( ) ? 2 cos(? ? ? ) ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 65 65
2. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示, (1)求函数 y ? f ( x) 的解析表达式; (2)求函数 f ( x ) 的递减区间及零点; (3)若 x ? [ ?

?

24 2

,

?

] ,求函数 f ( x) 的最大值与最小值.

【解析】 (1)由已知,得 A ? 3 函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

4 7? ? ( ? ) ?? 3 12 6

?

2?

?

? ? ,即 ? ? 2 7? ? 7? ? ? ) ? ?3 ,即 sin(? ? ) ? 1 ) ? ?3 ,? 3sin( 6 6 12

由图象,知 f (

? 0 ? ? ? ? ,?? ?

?

6

?

?

2

,即 ? ?

?

3

所以函数 y ? f ( x) 的解析表达式为 f ( x) ? 3sin(2 x ? (2)因为 y ? sin x 的递减区间为 [

?
3

)

3? ? 2k? ] (k ? Z ) ,所以 2 2 ? ? 3? ? 7? ? 2k? , k ? Z ,得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 令 ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 3 2 12 12 ? 7? ? k? ] ( k ? Z ) 所以函数 f ( x ) 的递减区间为 [ ? k? , 12 12 ? ? 1 ? 令 f ( x) ? 0 ,得 sin(2 x ? ) ? 0 ,? 2 x ? ? k? , k ? Z ,即 x ? k? ? , k ? Z 3 3 2 6 1 ? (k ? Z ) 所以函数 f ( x ) 的零点为 k? ? 2 6 ? ? ? ? 4? , ] ,? 2 x ? ? [ , ] (3)? x ? [ ? 24 2 3 4 3 ? 2 k? ,

?

? 当 2x ?
当 2x ?

?

3

?
?

?

2

,即 x ?

?

12

时, f ( x) max ? 3sin

?

2

?3 ;

4? ? 4? 3 3 ,即 x ? 时, f ( x) min ? 3sin ?? 3 3 2 3 2 ? ? ? ? 1 2 3.已知向量 a ? (3sin x , 3) , b ? (cos x , cos x ? ) , f ( x) ? a ? b 2

?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)利用“五点法”作图画出函数 f ( x ) 在一个周期内 的简图; (3)将函数 f ( x ) 的图象进行怎样的变换可以得到函数 y ? sin x 的图象 【解析】 (1) f ( x) ? 3sin x cos x ? 3(cos x ? )
2

1 2

3 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin(2 x ? ) 2 2 6
所以,函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? (2)列表

2? ?? 2

x
2x ?

?

?
6

? 12
0

? 6 ? 2

5? 12

?

2? 3 3? 2

11? 12
2?

3 sin(2 x ? ) 6
一个周期内的图象如下

?

0

3

0

? 3

0

(3)由(1)得 f ( x) ? 3 sin(2 x ? 法 1.先将函数 f ( x ) 的图象向右平移

?
6

)

? 个单位,得到函数 y ? 3sin 2 x 的图象,再将其图 12

象横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)就得到了函数 y ? sin x 的图象 法 2. 先将函数 f ( x ) 的图象横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)就得到了 函数

y ? 3 sin( x?

?
6

) ,再将其图象向右平移

4.已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
6

? 个单位就得到了函数 y ? sin x 的图象 6

b 、c , ) ,?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、

f(

A ? 2 3 , ? )? 2 6 3

5f(

C ? B ? ? )? f( ? ) 2 6 2 12

(1)求证: sin C ? 5 cos C ;(2) 求 sin B ;(3)若 a ? 【解析】(1) ? f (

2 ,求 ?ABC 的面积.

A ? 2 3 A ? ? 2 3 2 ? )? ,? 3 sin[2( ? ) ? ] ? ,即 cos A ? 3 2 6 3 2 6 6 3
5 . 3

由 0 ? A ? ? ,得 sinA ? 1 ? cos 2 A ?

? 5f(

5 sin( ? C ) ? sin B ,即 5 cos C ? sin B ? sin( A ? C) ? sin A cos C ? cos Asin C 2

?

C ? B ? C ? ? B ? ? ? ) ? f ( ? ) ,? 15 sin[2( ? ) ? ] ? 3 sin[2( ? ) ? ] 2 6 2 12 2 6 6 2 12 6

? 5 cos C ?

5 2 cos C ? sin C ,即 sin C ? 5 cos C , tan C ? 5 3 3

(2)由(1)得, tan C ? 5 ? 0 ,得 0 ? C ?

?
2

,?sin C ? 0 , cos C ? 0

? ?sin C ? ? ?sin C ? 5 cos C ? 由? ,得 ? 2 2 ? ?sin C ? cos C ? 1 ?cos C ? ? ?
(3)由 a ?

30 6 ,于是 sin B ? 5 cos C ? 30 . 6 6 6

2 及正弦定理

a c ? ,得 c ? 3 . sin A sin C

所以△ABC 的面积为 S?ABC ?

1 1 30 5 ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 6 2


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