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【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修一课件第2章2.2.1.1对数与对数运算

第二章
基本初等函数(Ⅰ)

2.2

对数函数

2.2.1

对数与对数运算

第1课时 预习篇

对数

巩固篇

课堂篇
课时作业 提高篇

学习目标
1.记住对数的定义,会进行指数式与对数式的互化; 2.记住对数的性质,会利用对数的性质解答问题.

重点难点
重点:对数的概念及对数的性质; 难点:对数概念的理解及对数性质的应用.

预习篇01
新知导学

对数的概念

1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么 x 叫 做 以a为底N的对数 的底数,N叫做真数. ,记作x=logaN,其中a叫做对数

对数与指数间的关系: 当a>0,a≠1时,ax=N? x=logaN .

2.两种重要对数 (1)常用对数:以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10N记为 lgN . (2)自然对数:以无理数 e(e=2.71828…)为底的对数称 为自然对数,并把logeN记为 lnN .

1.在对数概念中,为什么规定a>0且a≠1呢? 提示:(1)若a<0,则N取某些数值时,logaN不存在,为 此规定a不能小于0. (2)若a=0,则当N≠0时,logaN不存在, 当N=0时,则logaN有无数个值,与函数定义不符,因 此,规定a≠0.

(3)若a=1,当N≠1时,则logaN不存在,当N=1时, 则logaN有无数个值,与函数定义不符, 因此,规定a≠1.

2.任意式子ax=N都可以直接化为对数式吗? 提示:并非任意式子ax=N都可以直接化为对数式,如 (-3)2=9就不能直接写成log(-3)9,只有符合a>0,a≠1且 N>0时,才有ax=N?x=logaN. 3.能否将ax=N与x=logaN理解为“互为逆运算”? 提示:能.在关系式ax=N中,已知a和x求N的运算称 为求幂运算;而如果已知a和N求x就是对数运算,两个式子 实质相同而形式不同,互为逆运算.

对数的基本性质

1.对数的性质 (1)
负数和零 没有对数;

(2)loga1= 0 (a>0,且a≠1); (3)logaa= 1 (a>0,且a≠1).

2.对数恒等式 = N .

4.为什么零与负数没有对数? 提示:因为x=logaN(a>0,且a≠1)?ax=N(a>0,且 a≠1),而a>0且a≠1时,ax恒大于0,即N>0,故0和负数没 有对数.

5.你知道式子 吗?

=N(a>0,a≠1,N>0)为什么成立

提示:此式称为对数恒等式.设ab=N,则b=logaN, ∴ab= =N.

(1)对数式logaN=b可看做一种记号,表示关于b的方程 ab=N(a>0,a≠1)的解;也可以看做一种运算,即已知底为 a(a>0,a≠1),幂为N,求幂指数的运算.因此,对数式 logaN=b又可看做幂运算的逆运算. (2)在对数的运算法则中,各个字母都有一定的取值范 围(M>0,N>0,a>0,a≠1),只有当式子中所有的对数符 号都有意义时,等式才成立.

课堂篇02
合作探究

指数式与对数式的互化

【例1】 指数式:

将下列指数式化为对数式,对数式化为

1 (1)3 =9;
-2

?1?- (2)?4? 2=16; ? ?

【解析】

本题主要考查指数式与对数式的互化.在

利用ax=N?x=logaN进行互化时,要分清各字母分别在指 数式和对数式中的位置.

【解】

1 1 (1)因为3 =9,所以log39=-2.
-2

通法提炼 指数运算与对数运算是一对互逆运算,在对数式logaN =x与指数式ax=N?a>0,且a≠1?的互化过程中,要特别注 意a,x,N的对应位置.

将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式. (1)54=625;(2) =-3;

1 -2 (3)(4) =16;(4)log101000=3.

解析:由对数的定义知,ab=N?b=logaN.(a>0,且 a≠1,N>0)

解:(1)∵54=625,∴log5625=4; 1- (2)∵log1 8=-3,∴(2) 3=8;
2

1 -2 (3)∵(4) =16,∴log1 16=-2; 4 (4)∵log101000=3,∴103=1000.

对数求值

【例2】

求下列各式的值.

【解】

1m (1)设log 81=m,则(3) =81,
1 3

1 -4 1 m 1 -4 又∵81=3 =(3) ,∴(3) =(3) .
4

∴m=-4,即log1 81=-4.
3

(2)设lg0.001=n,则10n=0.001. 又∵0.001=10-3,∴10n=10-3. ∴n=-3,即lg0.001=-3.

(3)设

=p,则( 5-2)p= 5+2.

1 又∵ 5+2= =( 5-2)-1, 5-2 ∴( 5-2)p=( 5-2)-1,∴p=-1. ∴ =-1.

通法提炼 求对数式logaN的值的步骤: ?1?设logaN=m;?2?将logaN=m写成指数式am=N;?3? 将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.

求下列对数的值: 1 (1)log28;(2)log9 ;(3)ln e;(4)lg1. 9

解:(1)设log28=x,则2x=8=23. ∴x=3.∴log28=3. 1 1 x (2)设log9 =x,则9 = =9-1,∴x=-1. 9 9 1 ∴log99=-1. (3)ln e=1. (4)lg1=0.

对数基本性质的应用

【例3】

计算:

(1)log2(log55);

【解析】

解答本题可利用对数的性质及对数恒等式

alogaN=N来化简求值.

【解】

(1)原式=log21=0;

通法提炼 ?1?对数的基本性质常用来化简或求值,应用时注意底 数的恰当选用. ?2?对数恒等式注意事项:①两底相同,即幂底与对数 底相同;②对数的系数必须是1.

(1)已知log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0,求x+y的 值.

解:(1)∵log2(log3(log4x))=0, ∴log3(log4x)=1,∴log4x=3. ∴x=43=64.同理可得y=24=16. ∴x+y=80.

提高篇03
自我超越

——易错警示系列—— 忽视对数的底数的取值范围 【典例1】 【错解】 已知logx9=2,求x的值. ∵logx9=2,∴x2=9,∴x=± 3.

【正解】

∵logx9=2,∴x2=9,∴x=± 3.

又∵x>0,且x≠1,∴x=3.

【错因分析】 根. 【总结】

错解中,忽视了底数a>0,导致出现增

解决有关对数问题,首先要明确对数的底

数是不等于1的正数,真数是正数,否则容易出现错解,如 本题.

(1)logx25=2,则x=________.

解析:x2=25(x>0),x=5.
答案:5

(2)在对数式b=loga-2(5-a)中,实数a的取值范围是 ( ) A.a>5或a<2 C.2<a<3或3<a<5 B.2<a<5 D.3<a<4

列出底数和真数 解析: 对数的概念 → 满足的条件 求解不等式组得 → a的取值范围 ?a-2>0 ? 由题意得?a-2≠1 ?5-a>0 ?

,解得2<a<3或3<a<5.

答案:C

温 馨 提 示

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温 馨 提 示

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