当前位置:首页 >> 数学 >>

【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:4-2平面向量基本定理及坐标表示

第四章 平面向量

第二节 平面向量基本定理及坐标表示

考纲导学 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1→ → → 1.已知向量OA=(1,-2),OB=(-3,4),则2AB等于( A.(-2,3) C.(2,3) B.(2,-3) D.(-2,-3)

)

1→ 1 → → → 解析:依题意得AB=OB-OA=(-4,6), AB= (-4,6)=(- 2 2 2,3),选 A.

答案:A

2.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若 a+b 与 4b-2a 平行, 则实数 x 的值是( A.-2 C .1 ) B.0 D.2

解析:依题意得 a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2), ∵a+b 与 4b-2a 平行, ∴3(4x-2)=6(x+1), 由此解得 x=2, 选 D.

答案:D

3. 已知向量 a=(1,2), b=(1,0), c=(3,4). 若 λ 为实数, (a+λb) ∥c,则 λ=( 1 A. 4 C .1 ) 1 B. 2 D.2

解析: 可得 a+λb=(1+λ, 2), 由(a+λb)∥c 得(1+λ)×4-3×2 1 =0,∴λ=2.

答案:B

4.下列各组向量中,能作为基底的是(

)

①a=(1,2),b=(2,4) ②a=(1,1),b=(-1,-1) ③a=(2, -3),b=(-3,2) ④a=(5,6),b=(7,8). A.①② B.②③ C.③④ D.②④

解析:对于①,显然 b=2a,对于②,b=-a,故①②不能作 为基底;对于③,因为 2×2-(-3)×(-3)≠0,所以 a,b 不共线, 故③能作为基底;对于④,因为 5×8-6×7≠0,所以 a,b 不共 线,故④能作为基底.综上应选 C.
答案:C

5.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+ b)∥c,则 m=__________.
解析: a+b=(2-1, -1+m)=(1, m-1), 由(a+b)∥c, 得 1×2 -(m-1)×(-1)=0,即 m=-1.

答案:-1

1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个①______向量,那么对于这一 平面内的任意向量 a, 有且只有一对实数 λ1, λ2, 使 a=②__________. 我们把不共线的向量 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一 组③______.

2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴④______的两个单 位⑤______i、j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有且只有一 对实数 x,y,使得 a=⑥__________,则有序数对(x、y)叫做向量 a 的坐标,记作⑦__________,其中 x,y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上 的坐标,a=(x,y)叫做向量 a 的坐标表示,相等的向量其⑧______ 相同,⑨______相同的向量是相等向量.

3.平面向量的坐标运算 → 10 __________________, (1)已知点 A(x1, y1), B(x2, y2), 则AB=○ → |AB|=?______________________. (2) 已 知 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) , 则 a + b = ? __________________ , a - b = ? ______________ , λa = ? ____________,a∥b(b≠0)的充要条件是?__________________.

(3) 非 零 向 量 a = (x , y) 的 单 位 向 量 为 ? ____________ 或 ? __________________. (4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b??________________.

答案: ①不共线 xi+yj ⑦a=(x,y)

②λ1e1+λ2e2 ⑧坐标

③基底

④平行

⑤向量



⑨坐标 ?(x1+x2, y1+y2) ? 1 ?± 2 2 x +y

⑩(x2-x1, y2-y1)

? ?x2-x1?2+?y2-y1?2

(x1-x2, y1-y2) ?(λx1, λy1) (x,y) ?x1=x2 且 y1=y2

a ?x1y2-x2y1=0 ?± |a|

1.基底的不唯一性 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的 选取不唯一,平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 e1,e2 线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.

2.向量坐标与点的坐标区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位 置被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y), → 但应注意其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变即O1A1=OA=(x, → y),但O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.

考点一

平面向量基本定理



1

如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, M, N 分别为 DC,

→ → → → BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 c,d 表示AB,AD.

→ → 解析:设AB=a,AD=b. 因为 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN=2b,DM=2a. 1 ? ?c=b+2a 因而? ?d=a+1b 2 ? 2 ? ?a=3?2d-c?, ?? ?b=2?2c-d?, 3 ?

→ 2 → 2 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3

【师说点拨】 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式, 再通过向量的运算 来解决.

变式探究 1

→ 1→ 如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一 3

→ → 2→ 点,若AP=mAB+11AC,则实数 m 的值为__________.

→ → 解析:设|BP|=y,|PN|=x, x → → → → 1→ 则AP=AN+NP= AC- BN,① 4 x+y y → → → → → AP=AB+BP=AB+ BN,② x+y x → y → → ①×y+②×x 得AP= AB+ AC, x+y 4?x+y? y 2 8 3 令 = ,得 y= x,代入得 m= . 3 11 4?x+y? 11
3 答案:11

考点二 例 2

平面向量的坐标运算 → 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,

→ → → → BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M,N 的坐标及向量MN的坐标.

解析:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,- 15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),
? ?-6m+n=5, ∴? ? ?-3m+8n=-5, ? ?m=-1, 解得? ? ?n=-1.

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20), ∴M 的坐标为(0,20). → → → 又CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N 的坐标为(9,2), → ∴MN=(9-0,2-20)=(9,-18).

【师说点拨】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法 则进行的. 若已知有向线段两端点的坐标, 则应先求出向量的坐标, 解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用.

变式探究 2 1 3 2a-2b=( )

(1)已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量

A.(-2,-1) C.(-1,0)

B.(-2,1) D.(-1,2)

→ (2)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB=(2,4), → → AC=(1,3),则BD=( A.(-2,-4) C.(3,5) ) B.(-3,-5) D.(2,4)

?1 1? 3 ?3 3? 1 解析:(1) a=?2,2?, b=?2,-2?, 2 ? ? 2 ? ?

1 3 故 a- b=(-1,2). 2 2 → → → → → → → → → (2)由题意得 BD= AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB= AC - → 2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
答案:(1)D (2)B

考点三 例 3

平面向量共线的坐标表示 平面内给定三个向量 a=(3,2), b=(-1,2), c=(4,1). 回

答下列问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求 d.

解析:(1)a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k), 2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 3+4k 2+k ∴ = 2 . -5 16 ∴6+8k=-10-5k.∴k=- . 13 (2)d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4), ∵(d-c)∥(a+b),

x-4 y-1 ∴ = ,即 y-1=2(x-4).① 2 4 又|d-c|=1,∴ ?x-4?2+?y-1?2=1.② 1 把①代入②,得 5(x-4)2=1,∴x=4± . 5 ? ?x=4+ 5, 5 ? ∴? ? 2 5 y= +1 ? 5 ? ? ?x=4- 5, 5 ? 或? 2 5 ? y=- +1. ? 5 ?

5 2 5 5 2 5 ∴d=(4+ 5 , 5 +1)或 d=(4- 5 ,- 5 +1).

【师说点拨】向量引入坐标后,用坐标来表示向量平行,实际 上是一种解析几何(或数形结合)的思想, 其实质是用代数(主要是方 程)计算来代替几何证明,这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算.

变式探究 3

(1)(2013· 陕西卷)已知向量 a=(1,m),b=(m,2), )

若 a∥b,则实数 m 等于( A.- 2 C.- 2或 2 B. 2 D.0

(2)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三个顶点 A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点 D 的坐标为__________.

解析:(1)∵a∥b,∴1×2=m×m,解得 m=± 2. → → (2)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,∴DC=2AB. 设点 D 的坐标为(x,y),则 → DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), → AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
? ?4-x=2, ∴? ? ?2-y=-2, ? ?x=2, 解得? ? ?y=4,

故点 D 的坐标为(2,4).

答案:(1)C

(2)(2,4)

?方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法 则,将向量进行分解.

2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算 法则是运算的关键, 通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问 题处理,从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题. 3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合 思想的运用.

?失误与防范 1.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完 全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小. 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示 x1 y1 成x =y ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0. 2 2 同时,a∥b 的充要条件也不能错记为 x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0 等.

1.(2014· 北京卷)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b= ( ) A.(5,7) C.(3,7) B.(5,9) D.(3,9)

解析:因为 a=(2,4),b=(-1,1),所以 2a-b=(2×2-(-1), 2×4-1)=(5,7),选 A.
答案:A

→ 2. (2014· 揭阳二模)已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3), 若AB=3a, 则点 B 的坐标为( )

A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14)

→ 解析:设点 B 的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y-5).
? ? ?x+1=6, ?x=5, → 由AB=3a, 得? 解得? ? ? ?y-5=9, ?y=14.

答案:D

→ → 3.(2015· 许昌模拟)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC, → → → 点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于( A.(-2,7) C.(2,-7) B.(-6,21) D.(6,-21) )

→ → → → → → 解析:BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)= (-6,21).
答案:B

4.(2013· 广东卷)设 a 是已知平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分 解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μc; ③给定向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c,使 a=λb+μc.

④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb +μc. 上述命题中的向量 b、c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则 真命题的个数是( A.1 C .3 B.2 D.4 )

解析:本题考查向量基础知识与综合应用.对于①,由向量的 三角形加法法则可知其正确.由平面向量基本定理知②正确,对于 ③, 可设 e 与 b 是不共线单位向量, 则存在实数 λ, y 使 a=λb+ye, 若 y>0,则取 μ=y,c=e,若 y<0,则取 μ=-y,c=-e,故③正 确.④显然错误,可举反例:λ=μ=1,b 与 c 垂直,此时 a 的模必 须为 2才成立.
答案:C

5.(2013· 北京卷)已知点 A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区 → → → 域 D 由所有满足AP=λAB+μAC(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点 P 组成,则 D 的面积为________.
→ → → 解析:设P(x,y),由 AP =λ AB +μ AC 知(x-1,y+1)=λ(2,1) 2x-y-3 2y-x+3 +μ(1,2),则λ= ,μ= .由1≤λ≤2,0≤μ≤1得 3 3
? ?6≤2x-y≤9, ? ? ?-3≤2y-x≤0,

满足条件的P(x,y)用可行域表示如下(阴影部

分).

? ?2x-y-9=0, 由? ? ?x-2y-3=0 ? ?2x-y-9=0, 由? ? ?x-2y=0,

得 M(5,1),

得 N(6,3),

∴|MN|= ?6-5?2+?3-1?2= 5, 而 2x-y-6=0 与 2x-y-9=0 的距离为 |-6+9| 3 3 ,∴所求面积为 × 5=3. 2 2= 5 5 2 +?-1?
答案:3

基础训练 训练案·课时作业(点击进入)


相关文章:
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习课时作业4-2平....doc
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习课时作业4-2平面向量基本定理及坐标表示 - 课时作业 24 平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 1.(2014宜昌模拟)若...
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:1-1集合.ppt
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:1-1集合 - 必考部分 第一章 集合与函数 第一节 集合 考纲导学 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、...
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习课时作业4-4平....doc
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习课时作业4-4平面向量的应用举例 - 课时作业 26 平面向量的应用举例 一、选择题 1.(2014益阳模拟)在△ABC 中,∠C=...
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习课时作业4-1平....doc
【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习课时作业4-1平面向量的概念及其线性运算_高考_高中教育_教育专区。【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习课时作业4-1平面...
...轮复习课后练习:4.2 平面向量基本定理及坐标表示].doc
【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:4.2 平面向量基本定理及坐标表示] - .2 平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 3 1 1 1.设 a=(sinx, ),b=...
...高考数学 4.2 平面向量基本定理及坐标表示练习.doc
【师说 高中全程复习构想】(新课标)高考数学 4.2 平面向量基本定理及坐标表示练习_数学_高中教育_教育专区。【师说 高中全程复习构想】(新课标)高考数学 4.2 平面...
【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想练....doc
【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想练习第平面向量-1_高考_高中教育_教育专区。【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想练习第四...
...复习构想课件:4.2 平面向量基本定理及坐标表示.ppt
【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:4.2 平面向量基本定理及坐标表示_数学_高中教育_教育专区。4.2 平面向量基本定理及坐标表示 考点梳理 1...
高考数学一轮练之乐 1.4.2平面向量基本定理及坐标表示 文.doc
【师说系列】2014 届高考数学一轮练之乐 1.4.2 平面向量基本定理 及坐标表示 文一、选择题 3 1 1 1.设 a=(sinx, ),b=( , cosx),且 a∥b,则锐角 x...
...届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件:选修4-4坐标....ppt
2019精选教育【师说系列】届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件:选修4-4坐标...射线 OX 称为极轴. 设 M 是平面上任一点,ρ 表示 OM 的长度,θ 表示以...
【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想课....ppt
【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想课件:10-6二项式定理_数学_高中教育_教育专区。第十章 统计与概率 第六节 二项式定理 考纲导学 1.能用计数...
2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件:4.2平面向....ppt
2014届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件:4.2平面向量坐标表示_六年级其它课程_其它课程_小学教育_教育专区。 考点 串串 讲 1.平面向量坐标表示 (1)在...
【师说系列】2014届高考数学一轮复习讲义 4.1平面向量....ppt
【师说系列】2014届高考数学一轮复习讲义 4.1平面向量的概念及线性运算课件 北师大版_教学案例/设计_教学研究_教育专区。 考点串串讲 1.对向量的正确理解 (1)...
【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想课....ppt
【师说】2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想课件:11-2复数_数学_高中...⑦___(a,b,c,d∈R). 4.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复...
...一轮练之乐 1.4.2平面向量基本定理及坐标表示 文.doc
【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.4.2平面向量基本定理及坐标表示 文_教学案例/设计_教学研究_教育专区。【师说系列】2014 届高考数学一轮练之乐 1.4.2...
【师说系列】高考数学一轮练之乐 1.4.4平面向量的应用 文.doc
【师说系列】 2014 届高考数学一轮练之乐 1.4.4 平面向量的应用 文一、
高考数学向量试题选讲资料.doc
高考数学向量试题选讲资料_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。一、考察向量的基本运算及平面向量基本定理 uur 1(2010 全国卷 2 理数)(8)VABC 中,点 D 在 AB 上...
人教A版文科数学一轮复习平面向量的应用专题精选课时习....doc
人教A版文科数学一轮复习平面向量的应用专题精选课时...若存在,求出这样的 B,C 的坐标;若不存在,说明...【师说】2016高考人教数... 9页 免费 ...
2014届高考数学一轮轻松突破复习1.4.1平面向量的概念及....doc
2014届高考数学一轮轻松突破复习1.4.1平面向量的概念及线性运算文 - 【名师精讲】2014 届高考数学一轮轻松突破 1.4.2 平面向量基本定理 一、选择题 及坐标表示 ...
【师说】2016高考语文大一轮全程复习构想课件:第七章 ....ppt
【师说】2016高考语文大一轮全程复习构想课件:第七章 语言文字运用 第七讲 图