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广东省汕头市东厦中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


东厦中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高一级数学科试卷
出卷: 教研组长: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、设全集 U= x ? Z ? 2 ? x ?4 , A ? ??1,0? , B ? ?0,1,2?,则 (CU A) ? B ? ( A、 ?0? B、

?

?



?? 2,?1?

C、 ? 1,2?

D、 ?0,1,2?

2. 下列五个写法:① ?0? ??0,1, 2?; ② ? ? ?0?; ③ ?0,1,2? ? ?1,2,0?; ④0 ??; ⑤0 ? ? ? ?. 其中正确 写法的个数为 .. A.1 B.2 C.3 ) C f ( x) ? log2 x ) D f ( x) ? 2x
2

( D.4



3. 若幂函数 f ( x ) 的图象过点 (2,8) ,则( A

f ( x) ? x 3

B

f ( x) ? (2 2 ) x

4. 下列四组函数中,表示相等函数的一组是( A. f ( x) ? x 0 , g ( x) ? 1 C. f ( x) ?

B. f ( x) ? x, g ( x) ? lg10x D. f ( x ) ? ) D. f ? x ? ?

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1

x 2 , g ( x) ? x

5. 下列函数中,在其定义域内是减函数的是( A. f ? x ? ? 2
x

B. f ? x ? ? ln x )
1 2

C. f ? x ? ? log 1 x
3

1 x

6. 下列函数是偶函数的是:( A. y ? x B. y ? x

C. y ? 2 x ? 3
2

D. y ? x , x ? [0,1]
2

7. 若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A、 f (? 3 ) ? f (?1) ? f (2) 2 C、 f (2) ? f (?1) ? f (? 3 ) 2 8. 下列各式错误的是 A. 3
0.8

)

B、 f (?1) ? f (? 3 ) ? f (2)
2

D、 f (2) ? f (? 3 ) ? f (?1)
2

? 30.7

B. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6
-1-

C. 0.75

?0.1

? 0.750.1

D. log2

3 ? log3 2
a ,则实数 a 的值为 4

9. 函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 A.

1 4

B.

3 4

C. 或

1 4

5 4

D.

3 5 或 4 4

10. 函数 f ? x ? ? ex ? x ? 2 的零点所在的一个区间为 A. ? ?2, ?1? 11. 函数 y ? B. ? ?1,0? ) C. ? 0,1? D. ?1, 2 ?

lg | x | 的图象大致是( x

y

y

y

y

O
A. 12. 若函数 y ? A. ? 0, ?
2

x

O
B.

x

O
C.

x

O
D. )

x

mx ? 1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( mx ? 4mx ? 3
B. ? 0, ?

? ?

3? 4?

? ?

3? 4?

C. ?0, ? 4

? 3? ? ?

D. ?0, ? 4

? 3? ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.函数 f ( x) ?

lg( x ?1) 的定义域是 x ?1

?1 1 ? ,x ?1 14.设 f ( x) ? ? x ,则 f ( f ( )) ? 2 ?2 x , x ? 1 ?
15.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 3 的图像恒过定点 P ,则 P 的坐标是 .

16. 已 知 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f ( x) 在 [0 , + ?) 上 是 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式

f ( lo g 4 x) ? 0 的解集是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)计算以下式子的值: (1)
3

1 ?1 (?4) ? ( ) 0 ? 0.252 ? ( ) ?4 ; 2 2
3

1

-2-

(2) log3 81? lg 20 ? lg 5 ? 4

log4 2

? log5 1 .

18.(本小题 12 分)设 A ? (??,4) ,函数 g ( x) ? 求: ⑴ B ; ⑵ A ? B , A ? B , CR ( A ? B)

x 2 ? 2 x ? 3 的定义域为集合 B 。

19.(本小题 12 分)已知函数 f (x)= (1)求 a 的值;

ax 2 +4 ,且 f (1)=5 . x

(2)判断 f (x) 的奇偶性,并加以证明; (3)判断函数 f (x) 在[2,+ ? )上的单调性,并加以证明.

20. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x x ? m , x ? R.且f (4) ? 0 (1)求实数 m 的值. (2)作出函数 f ( x) 的图象,并根据图象写出 f ( x) 的单调区间 (3)若方程 f ( x) ? k 有三个实数解,求实数 k 的取值范围。 O

y

x

-3-

21.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿场售 价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的 抛物线段表示。 (Ⅰ)写出图一表示的 市场售价与时间的函数 关系式 p ? f (t ) ; 写出图二表示的种 植成本与时间的函数关 系式 Q ? g (t ) ; (Ⅱ)认定市场售 价减去种植成本 h(t ) 为 纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? 2 (注:市场售价各种植成本的单位:元/10 ㎏,时间单位:天)

?2 x ? b 22. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数。 (Ⅰ)求 a , b 的值;(Ⅱ)若对任意 2 ?a 2 2 的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

东厦中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高一级数学科试卷 答案 出卷: 教研组长: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

-4-

1、设全集 U= x ? Z ? 2 ? x ?4 , A ? ??1,0? , B ? ?0,1,2?,则 (CU A) ? B ? ( A、 ?0? B、

?

?

)C

?? 2,?1?

C、 ? 1,2?

D、 ?0,1,2?

2. 下列五个写法:① ?0? ??0,1, 2?; ② ? ? ?0?; ③ ?0,1,2? ? ?1,2,0?; ④0 ??; ⑤0 ? ? ? ?. 其中正确 写法的个数为 .. A.1 B.2 C.3 )A C f ( x) ? log2 x )D D f ( x) ? 2x 2 D.4 3. 若幂函数 f ( x ) 的图象过点 (2,8) ,则( A ( )B

f ( x) ? x 3

B

f ( x) ? (2 2 ) x

4. 下列四组函数中,表示相等函数的一组是( A. f ( x) ? x 0 , g ( x) ? 1 C. f ( x) ?

B. f ( x) ? x, g ( x) ? lg10x D. f ( x ) ? )C D. f ? x ? ?

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1

x 2 , g ( x) ? x

5. 下列函数中,在其定义域内是减函数的是( A. f ? x ? ? 2x B. f ? x ? ? ln x )C
1 2

C. f ? x ? ? log 1 x
3

1 x

6. 下列函数是偶函数的是:( A. y ? x B. y ? x

C. y ? 2 x ? 3
2

D. y ? x , x ? [0,1]
2

7. 若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A、 f (? 3 ) ? f (?1) ? f (2) 2 C、 f (2) ? f (?1) ? f (? 3 ) 2 8. 下列各式错误的是 C A. 3
0.8

)D

B、 f (?1) ? f (? 3 ) ? f (2)
2

D、 f (2) ? f (? 3 ) ? f (?1)
2

? 30.7
?0.1

B. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6 D. log2

C. 0.75

? 0.750.1
x

3 ? log3 2

9. 函数 f ( x) ? a A.

a 则实数 a 的值为 D (a ? 0且a ? 1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 , 4 3 4
C. 或

1 4

B.
x

1 4

5 4

D.

3 5 或 4 4

10. 函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间为 C

-5-

A. ? ?2, ?1? 11. 函数 y ?

B. ? ?1,0? )D

C. ? 0,1?

D. ?1, 2 ?

lg | x | 的图象大致是( x

y

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x

O
C.

x

O
D. )D

x

mx ? 1 12. 若函数 y ? 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( 2 mx ? 4mx ? 3
A. ? 0 , ? 4

? ?

3? ?

B. ? 0, ?

? ?

3? 4?

C. ?0, ? 4

? 3? ? ?

D. ?0, ? 4

? 3? ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.函数 f ( x) ?

lg( x ?1) 的定义域是 x ?1

?? 1,1? ? ?1,???
4

?1 1 ? ,x ?1 14.设 f ( x) ? ? x ,则 f ( f ( )) ? 2 ?2 x , x ? 1 ?

15.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 3 的图像恒过定点 P ,则 P 的坐标是

.(2,3)

16. 已 知 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 f ( x) 在 [0 , + ?) 上 是 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式

f ( lo g 4 x) ? 0 的解集是

. ? ,4 ?

?1 ? ?4 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)计算以下式子的值: (1)
3

1 ?1 (?4) ? ( ) 0 ? 0.252 ? ( ) ?4 ; 2 2
3
log4 2

1

(2) log3 81? lg 20 ? lg 5 ? 4 17、解:(1)原式= ? 4 ? 1 ? (2)原式= log33
4

? log5 1 .

1 ? ( 2 ) 4 =-3; ……5 分 2

? lg(20? 5) ? 2 ? 0 ? 4 ? 2 ? 2 ? 8 ……10 分
x 2 ? 2 x ? 3 的定义域为集合 B 。
-6-

18.(本小题 12 分)设 A ? (??,4) ,函数 g ( x) ?

求: ⑴ B ; ⑵ A ? B , A ? B , CR ( A ? B) 解:⑴要使函数 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 有意义,则须 x ? 2 x ? 3 ? 0 -----1 即 ( x ? 3)(x ? 1) ? 0 -----2
2

? x ? ?1或x ? 3 -----3 ? B ? {x | x ? ?1或x ? 3} ⑵ A ? B ? (??,4) ? {x | x ? ?1或x ? 3} ? {x | x ? ?1或3 ? x ? 4} A ? B ? (??,4) ? {x | x ? ?1或x ? 3} ? R CR ( A ? B) ? ?? 1,3? ? ?4,???
19.(本小题 12 分)已知函数 f (x)= (1)求 a 的值; (2)判断 f (x) 的奇偶性,并加以证明; (3)判断函数 f (x) 在[2,+ ? )上的单调性,并加以证明. 19.解:(1)依条件有 f (1) ? a ? 4 ? 5 ,所以 a ? 1 (2) f (x) 为奇函数. 证明如下: 由(1)可知 f ( x) ? …………2 分

------4 ---------7 ----------10 ----------12

ax 2 +4 ,且 f (1)=5 . x

x2 ? 4 ,显然 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) …………3 分 x

对于任意的 x ? (??,0) ? (0, ??) ,有 ? x ? (??,0) ? (0, ??) , 所以 f (? x) ?

( ? x) 2 ? 4 x2 ? 4 ?? ? ? f ( x) …………4 分 ?x x

故函数 f (x) 为奇函数. …………5 分 (3) f (x) 在[2,+ ? )上是增函数. 证明如下: 任取 x1 , x2 ?[2, ??) 且 x1 ? x2 ………………6 分 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2 2 x12 ? 4 x2 ? 4 x12 x2 ? x1 x2 ? 4 x2 ? 4 x1 ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 4) ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

…………10 分

? 2 ? x1 ? x2 ,? x1 x2 ? 4 , x1 ? x2 ? 0 . 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f (x) 在[2,+ ? )上是增函数. 20. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x x ? m , x ? R.且f (4) ? 0 (1)求实数 m 的值. (2)作出函数 f ( x) 的图象,并根据图象写出 f ( x) 的单调区间

……11 分

…………12 分 y

O

-7-x

(3)若方程 f ( x) ? k 有三个实数解,求实数 k 的取值范围。 20.解:(1)? f (4) ? 0

?m ? 4

(1 分)

?x 2 ? 4x , x ? 4 (2) f ( x) ? x x ? 4 ? ? (3 分)图象(6 分) 2 ?? x ? 4x , x ? 4
函数在 (??,2), (4,??)上单调递增 , 在( 2,4)上单调递减。 (9 分) (3)方程 f ( x) ? k 的解的个数等价于函数 y ? f ( x) 与函数 y ? k 的图像有多少个交点 由图可知 k ? (0,4) (12 分)

21.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿场售 价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的 抛物线段表示。 (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价 与时间的函数关系式 p ? f (t ) ; 写出图二表示的种植成本与 时间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (Ⅱ) 认定市场售价减去种 植成本 h(t ) 为纯收益, 问何时上 市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价各种植成本 2 的单位:元/10 ㎏,时间单位:天) 21. 解:(I)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

(II)设 t 时刻的纯收益为 h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t),即

当 0≤t≤200 时,配方整理得

-8-

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间[200,300]上的最大值 87.5。 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从二月 一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大。

?2 x ? b 是奇函数。 (Ⅰ)求 a , b 的值;(Ⅱ)若对任意 2 x ?1 ? a 的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
22. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? 22.解:(Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 a?2 a ? 2 x ?1 1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 x 1? 2 1 1 ?? ? x (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1 为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0
等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,
2 2 因 f ( x ) 为 减 函 数 , 由 上 式 推 得 : t ? 2t ? k ? 2t . 即 对 一 切 t ? R 有 :

3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 ? 2x 1 ? 22t ? k 解法二: 由 (Ⅰ) 知 f ( x) ? . 又由题设条件得: ? ? 0, 2 2 2 ? 2 x ?1 2 ? 2t ?2t ?1 2 ? 22t ?k ?1 2 2 2 2 即: (22t ?k ?1 ? 2)(1 ? 2t ?2t ) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(1 ? 22t ?k ) ? 0 ,
整理得

1 3 2 1 ? 2t ?2t

2

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

-9-


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