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浙江省杭州外国语学校2012届高三10月月考 数学(理)试题

杭州外国语学校 2012 届高三 10 月检测试卷数学理科 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.请考生按规定用笔 将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知点 P ? sin

? ?

2? 2? , cos 3 3

? ? 落在角 ? 的终边上,则 tan ? ? ?
3 3
C. ?





A. ? 3

B.

3 3

D.

3

2、已知集合 P ? ?x, y ? y ? k , Q ? ?x, y ? y ? a ? 1 ,且 P I Q ? ? .那么 k 的取值范围是
x

?

?

?

?

( A. ?? ?,1? B. ?? ?,1? C. ?1,??? D. ?? ?,???



3、图中的阴影部分由底为 1 ,高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形所构成.设函数 S ? S ( a ) ( a ≥ 0 ) 是图中阴影部分介于平行线 y ? 0 及 y ? a 之间的那一部分的面积,则 函数 S ( a ) 的图象大致为 ( )
y
3 2 1

y=a
1 2 3

O
S(a) S(a)

x

S(a)

S(a)

O

1

2

3 a

O

1

2

3 a

A B C D ? ? 4、 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值是 4 , 最小值是 0, 最小正周期是 , 直线 x ?

O

1

2

3

a

O

1

2

3

a

2

3

是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是 A. y ? 4sin(4 x ? C. y ? 2sin(4 x ?





?

)?2 6 5、 ?ABC 的外接圆半径 R 和 ?ABC 的面积都等于 1,则 sin A sin B sin C ? 3

?

6

) )?2

B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin(4 x ?

? ?
3

)?2





-1-

A.

1 4

B.

3 2
1 6

C.

3 4

D.

1 2

6、设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f ( ) 的值为 (A) ? (
y



3 4

(B) ?

1 4

(C) ?

1 2

(D)

3 4
O

x K M L

(第 6 题图) 7、已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 32a1 , 则

5 3 D. 6 4 uu u r uu u r uuu r 8、设 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且 5 AP ? 2 AB ? AC ? 0 ,则 ?PAB 的面积与 ?ABC 的
B.

1 4 ? 的最小值为 m n 2 A. 3
面积之比为 A.





5 3

C.

( B.



1 5

2 5

C.

1 4

D.

3 5
; ③当 x ? [0, 2]

x ?2 ) ? 2 f () x 9、 已知函数 f ( x ) 满足: ①定义域为 R; ②任意的 x ? R , 有 f(
时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? 2 .记 ? ( x) ? f ( x) ?

x ( x ? [?8,8]) .
( D.8 )

根据以上信息,可以得到函数 ? ( x) 的零点个数为 A.15 B.10 C .9

10.已知 f ( x) ? bx ?1 为 x 的一次函数,

b 为不等于1 的常数, 且
)

(n ? 0) ?1 , 设 an ? g (n) ? g (n ?1)(n ? N * ) , 则数列 {an } 是 ( g (n) ? ? ? f [ g (n ? 1)] (n ? 1)
A. 等差数列 B.等比数列 C. 递增数列 D. 递减数列

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知向量 a ? (2,4) , b ? (1,1) .若向量 b ? (a ? ?b) ,则实数 ? 的值是 12.已知等差数列 {an } ,若 a1 ? 3 ,前三项和为 21 ,则 a4 ? a5 ? a6 = .

r

r

r

r

r



-2-

13.已知 ?ABC 的一个内角为 120? ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积 为_______________. 14.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,满足 f ( x ? 2) ? f (? x) ,且当 x ? [1, ??) 时, f ( x) ? x , 则满足 f (2 x) ? f ( x) 的 x 取值范围是 15.满足不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的所有整数解之和为 27 ,则实数 a 的取值范围是 16.设函数 f ( x ) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上的面积,已知函数 y ? sin nx 在 [0,

?
n

] 上的面积为

? 4? [ , ] 上的面积为 3 3

2 ( n ? N * ) ,则 y ? sin(3 x ? ? )? 1在 n



17.如图,线段 AB 长度为 2 ,点 A, B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半 轴上滑动,以线段 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD ,

uuu r uuu r BC ? 1 ,O 为坐标原点,则 OC ? OD 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ,x?R . 2

(1) 求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

、 C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且 c ? 3, f (C )? 0, 若 向 量 ( 2 ) 已 知 ?ABC 内 角 A、 B

u r r m ? (1,sin A) 与 n ? (2sin B) 共线,求 a、b 的值.

19.设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? (1)求 ?an ? 的通项; (2)令 bn ? 围。

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 2

11 1 ,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求满足不等式 Tn ? 的 n 的取值范 12 (n ? 1) log 1 an
2

-3-

20.已知向量 a ? ( x2 ? 3,1) , b ? ( x, ? y) , (其中实数 x 和 y 不同时为零) ,当 | x |? 2 时, 有 a ? b ,当 | x |? 2 时, a // b (1)求函数式 y ? f ( x) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (3)若对任意的 x ? (??, ?2] U[2, ??) ,都有 mx ? x ? 3m ? 0 ,求实数 m 的取值范围.
2

r

r

r

r

r

r

21.对数列 ?an ? ,规定 ??an ?为数列 ?an ? 的一阶等分数列,其中 ?an ? an?1 ? an (n ? N * ) 。 对自然数 k ,规定 ?k an 为数列 ?an ? 的 k 阶等分数列,其中

?

?

?k an ? ?k ?1an?1 ? ?k ?1an ? ?(?k ?1an ) 。
(1)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n 2 ? n(n ? N * ) ,试判断 ??an ? , ?2 an 是否为等差或 等比数列,为什么? (2)若数列 ?an ? 首项 a1 ? 1 ,且满足 ?2 an ? ?an?1 ? an ? ?2 n (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通 项公式及前 n 项和 S n 。

?

?

22.已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)讨论 f ( x) 的单调性;

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ?R . x

(2)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3)设函数 h( x) ?

x2 ? mx? 4 , 当 a ? 2 时,若存在 x1 ? (0,1) ,对于任意的 x2 ?[1, 2] ,

总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

-4-

参考答案: 1-5:CBCDD: 6-10:DDABB 14. 0 ? x ? 11. ?3 12. 57 13. 15 3

2 3

15. 7 ? a ? 8 16. ? ?

2 3

17. [1,3]

18. 解:(Ⅰ)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 6
∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . (Ⅱ)∵ ∵ ∵

?

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , 即 sin(2C ? ) ? 1 6 6 ? ? 11? ? ? ? 0 ? C ? ? , ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . 3 6 6 6 6 2

?

?

m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .
a b ? , s i nA s iB n
得 b ? 2a, ①∵

由正弦定理

c?3 ,由余弦定理,得

9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?

3





解方程组①②,得 ?

?a ? 3 . ?b ? 2 3

19.(1)解: (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 . 因为 an ? 0 ,所以 2 q
10 10

? 1, 解得 q ?
1 n ?1

1 1 n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. ,因而 a n ? a1 q 2 2

(2) bn ?

1 n(n ? 1)

Tn ? 1 ?

n ? 12 n ? N *
得 a ? b ? ( x2 ? 3) x ? y ? 0 ,

20. 解: (1)当 | x |? 2 时,由 a ? b

|2 ? 且x ? 0) (| x y ? x3 ? 3x ;
当 | x |? 2 时,由 a // b . 得y??

x x ?3
2

? x3 ? 3x, (?2 ? x ? 2且x ? 0) ? ∴ y ? f ( x) ? ? x .( x ? 2或x ? ?2) ? ? 3 ? x2

-5-

(2)当 | x |? 2 且 x ? 0 时, 由 y ' ? 3x2 ? 3 <0,解得 x ? (?1,0) 当 | x |? 2 时, y ' ?

(0,1) ,

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 ? x2 ? ?0 (3 ? x 2 )2 (3 ? x 2 )2

∴函数 f ( x ) 的单调减区间为(-1,0)和(0,1) (3)对 ?x ? (??, ?2] [2, ??) , 都有 mx ? x ? 3m ? 0
2

即 m( x2 ? 3) ? ? x ,

也就是 m ?

x 3 ? x2

对 ?x ? (??, ?2] [2, ??) 恒成立, 由(2)知当 | x |? 2 时,

f '( x) ?

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 ? x2 ? ?0 (3 ? x 2 )2 (3 ? x 2 )2

∴ 函数 f ( x ) 在 ( ? ?, ? 2] 和 [2,+?) 都单调递增

?2 2 ? 2 , f (2) ? ? ?2 3? 4 3? 4 x f ( x) ? ?0, 当 x ? ?2 时 3 ? x2
又 f ( ?2) ? ∴当 x ? (??, ?2] 时,

x ? 2 时, 有 ?2 ? f ( x) ? 0 , 0 ? f (x ) ? 同理可得,当 2

综上所述得,对 x ? (??, ?2] [2, ??) ,

f ( x) 取得最大值 2;∴实数 m 的取值范围为 m ? 2 .
21.(1) ?an ? 2n ? 2 为等差数列 (2) an ? n ? 2
n ?1

?2 an ? 2 既是等差又是等比数列

Sn ? (n ? 1 ? ) n2? 1
x?a , x2

22. 5. 解: (Ⅰ ) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ' ( x) ?

① 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增; ② 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;

-6-

故 f ( x) 在 (0,?a) 上单调递减,在 (?a,??) 上单调递增. (Ⅱ ) g ( x) ? ax ?

a ? 5 ln x , g ( x) 的定义域为 (0,??) x

g ' ( x) ? a ?

a 5 ax2 ? 5 x ? a ? ? x2 x x2

因为 g ( x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ? (0,??) , g ' ( x) ? 0

? ax2 ? 5x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5x ? a ?


5x ? 5x ? ?a?? 2 ? x ?1 ? x ? 1? max
2

5x 5 5 ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取等号, x ?1 x ? 1 2 x 5 所以 a ? 2
2

(Ⅲ )当 a ? 2 时, g ( x ) ? 2 x ? 由 g ' ( x) ? 0 得 x ?

2 2 x 2 ? 5x ? 2 ? 5 ln x , g ' ( x) ? x x2

1 或x?2 2 1 2

当 x ? (0, ) 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( ,1) 时, g ' ( x) ? 0 . 所以在 (0,1) 上, g ( x) max ? g ( ) ? ?3 ? 5 ln 2 而“ ?x1 ? (0,1) , ?x2 ? [1,2] ,总有 g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立”等价于 “ g ( x) 在 (0,1) 上的最大值不小于 h( x) 在 [1,2] 上的最大值”

1 2

1 2

h(1), h(2)} 而 h( x) 在 [1,2] 上的最大值为 max{

? 1 g ( ) ? h(1) ? ? 2 所以有 ? ? g ( 1 ) ? h ( 2) ? ? 2

?m ? 8 ? 5 ln 2 ?? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m ? ? m ? 8 ? 5 ln 2 ?? ?? 1 m ? ( 11 ? 5 ln 2 ) ?? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2m ? 2 ?
所以实数 m 的取值范围是 [8 ? 5 ln 2, ? ?)

-7-