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2018-2019学年数学人教A版选修4-5优化练习:第二讲+达标检测+Word版含解析

2018-2019 学年达标检测 时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.用分析法证明不等式的推论过程一定是( A.正向、逆向均可进行正确的推理 B.只能进行逆向推理 C.只能进行正向推理 D.有时能正向推理,有时能逆向推理 解析:在用分析法证明不等式时,是从求证的不等式出发,逐步探索使结论成立 的充分条件,故只能进行逆向推理. 答案:B 2.已知 a>2,b>2,则有( A.ab≥a+b C.ab>a+b 解析:作商比较法. ) B.ab≤a+b D.ab<a+b a+b 1 1 = + ,又 a>2,b>2, ab b a )

a+b 1 1 1 1 1 1 ∴a<2,b<2,∴ ab <2+2=1. 答案:C 3 3 3.用反证法证明命题“如果 a<b,那么 a> b”时,假设的内容应是( 3 3 A. a= b 3 3 3 3 C. a= b且 a> b 3 3 B. a< b 3 3 3 3 D. a= b或 a< b )

3 3 3 3 3 3 3 3 解析: a与 b的大小关系包括 a> b, a= b, a< b, 3 3 3 3 ∴应假设的内容为 a= b或 a< b. 答案:D 4.已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的 大小关系是( )

A.c≥b>a C.c>b>a 解析:∵c-b=(a-2)2≥0,∴c≥b. 由题中两式相减,得 b=a2+1, 1? 3 ? ∴b-a=a2-a+1=?a-2?2+4>0, ? ? ∴b>a,∴c≥b>a. 答案:A

B.a>c≥b D.a>c>b

5.已知 a>b>c>0,A=a2ab2bc2c,B=ab+cbc+aca+b,则 A 与 B 的大小关系是( A.A>B C.A=B 解析:∵a>b>c>0,∴A>0,B>0. A aaaabbbbcccc a-b a-c b-c b-a c-a c-b ∴B=abacbcbacacb=a a b b c c ?a? ?a? ?b? =?b?a-b?c?a-c? c?b-c. ? ? ? ? ? ? a ∵a>b>0,∴b>1,a-b>0. ?a? ∴?b?a-b>1. ? ? ?b? ?a? 同理? c?b-c>1,? c?a-c>1. ? ? ? ? A ∴B>1,∴A>B. 答案:A 6.若 0<x<y<1,则( A.3y<3x C.log4 x<log4 y ) B.logx3<logy3 ?1? ?1? D.?4?x<?4?y ? ? ? ? B.A<B D.不确定

)

解析:∵y=3x 在 R 上是增函数,且 0<x<y<1, ∴3x<3y,故 A 错误. ∵y=log3 x 在(0,+∞)上是增函数且 0<x<y<1, ∴log3 x<log3 y<log3 1=0,

1 1 ∴0>log x>log y,∴logx3>logy3,故 B 错误. 3 3 ∵y=log4 x 在(0,+∞)上是增函数且 0<x<y<1, ∴log4 x<log4 y,故 C 正确. ?1? ∵y=?4?x 在 R 上是减函数,且 0<x<y<1, ? ? ?1? ?1? ∴?4?x>?4?y,故 D 错误. ? ? ? ? 答案:C 7.设 a、b、c∈R,且 a、b、c 不全相等,则不等式 a3+b3+c3≥3abc 成立的一 个充要条件是( ) B.a,b,c 全为非负实数 D.a+b+c>0

A.a,b,c 全为正数 C.a+b+c≥0

解析:a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)= 1 2 2 2 2 2 2(a+b+c)[(a-b) +(b-c) +(a-c) ],而 a、b、c 不全相等?(a-b) +(b-c) +(a-c)2>0. ∴a3+b3+c3-3abc≥0?a+b+c≥0. 答案:C 8.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( A.18 C.2 3 B.6 4 D.2 3 )

解析:3a+3b≥2 3a· 3b=2· 3a+b=2×3=6(当且仅当 a=b=1 时,等号成立). 答案:B 3 3 3 9.要使 a- b< a-b成立,a,b 应满足的条件是( A.ab<0 且 a>b B.ab>0 且 a>b C.ab<0 且 a<b D.ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 3 3 3 解析: a- b< a-b )

3 3 3 3 ?a-b+3 ab2-3 a2b<a-b? ab2< a2b, 3 3 ∴当 ab>0 时,有 b< a,即 b<a. 3 3 当 ab<0 时,有 b> a,即 b>a. 答案:D 10. 已知 a, b, c, d 都是实数, 且 a2+b2=1, c2+d2=1.则 ac+bd 的范围为( A.[-1,1] C.(-1,3] 解析:因为 a,b,c,d 都是实数, a2+c2 b2+d2 a2+b2+c2+d2 所以|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤ 2 + 2 = =1. 2 所以-1≤ac+bd≤1. 答案:A 11.在△ABC 中,A,B,C 分别为 a,b,c 所对的角,且 a,b,c 成等差数列, 则 B 适合的条件是( π A.0<B≤4 π C.0<B≤2 a+c 解析:∵b= 2 , a2+c2-b2 ∴cos B= 2ac ?a+c?2 ? a2+c2-? ? 2 ? = 2ac 3a2-2ac+3c2 = 8ac 3a 3c 1 3 1 1 =8c+8a-4≥2· 8-4=2, π? ? ∵余弦函数在?0,2?上为减函数, ? ? ) π B.0<B≤3 π D.2<B<π B.[-1,2) D.(1,2] )

π ∴0<B≤3,选 B. 答案:B 5 ? 1 ? 12.若 a∈?π,4π?,M=|sin α|,N=|cos α|,P=2|sin α+cos α|, ? ? Q= 1 2sin 2α,则它们之间的大小关系为( )

A.M >N>P>Q C.M >P>Q>N

B.M >P>N>Q D.N>P>Q>M

5π? ? 解析:∵α∈?π, 4 ?,∴0>sin α>cos α,∴|sin α|<|cos α|, ? ? 1 1 1 ∴P=2|sin α+cos α|=2(|sin α|+|cos α|)>2(|sin α|+|sin α|)=|sin α|=M, 排除 A、 B、 C,故选 D 项. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13. 设 a= 3- 2, b= 6- 5, c= 7- 6, 则 a, b, c 的大小顺序是________. 解析:a-b= 3- 2- 6+ 5= 3+ 5-( 2+ 6), 而( 3+ 5)2=8+2 15,( 2+ 6)2=8+2 12, ∴ 3+ 5> 2+ 6.∴a-b>0,即 a>b. 同理可得 b>c.∴a>b>c. 答案:a>b>c 14 .用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角 ”时的反设是 ________. 解析:三角形的内角中钝角的个数可以为 0 个,1 个,最多只有一个即为 0 个或 1 个,其对立面是“至少两个”. 答案:三角形中至少有两个内角是钝角 15.已知 a,b,c,d 都为正数,且 S= 则 S 的取值范围是________. 解析:由放缩法,得 a a a < < ; a+b+c+d a+b+c a+c a b c d + + + , a+b+c b+c+d c+d+a a+b+d

b b b < < ; a+b+c+d b+c+d d+b c c c < < ; a+b+c+d c+d+a c+a d d d < < . a+b+c+d d+a+b d+b 以上四个不等式相加,得 1<S<2. 答案:(1,2) 16. 请补全用分析法证明不等式“ac+bd ≤ ?a2+b2??c2+d2?”时的推论过程:要证明 ac+bd≤ ?a2+b2??c2+d2?, ①______________________________________________________________, 只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 即要证:a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2, 即要证:a2d2+b2c2≥2abcd. ②________________________________________________________________. 解析: 对于①只有当 ac+bd≥0 时, 两边才能平方, 对于②只要接着往下证即可. 答案:①因为当 ac+bd≤0 时,命题显然成立,所以当 ac+bd≥0 时 ②∵(ab-bc)2≥0,∴a2d2+b2c2≥2abcd, ∴命题成立 三、解答题(本大题共有 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(12 分)求证:a2+b2+3≥ab+ 3(a+b). 证明:∵a2+b2≥2ab, a2+3≥2 3a,b2+3≥2 3b; 将此三式相加得 2(a2+b2+3)≥2ab+2 3a+2 3b, ∴a2+b2+3≥ab+ 3(a+b). ?a+mb?2 a2+mb2 ?≤ 18.(12 分)已知 m>0,a,b∈R,求证:? . 1+m ? 1+m ? 证明:因为 m>0,所以 1+m>0.

?a+mb?2 a2+mb2 ?≤ 所以要证? , 1+m ? 1+m ? 即证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0. 而(a-b)2≥0 显然成立, ?a+mb?2 a2+mb2 ?≤ 故? . 1+m ? 1+m ? 19.(12 分)已知 a>b>0,试比较 解析:∵a>b>0,∴ a2-b2 a-b 与 的大小. a2+b2 a+b

a2-b2 a-b >0. 2 2>0, a +b a+b

a2-b2 a2+b2 ?a2-b2??a+b? 又∵ = a-b ?a2+b2??a-b? a+b ?a+b?2 a2+b2+2ab = 2 = a +b2 a2+b2 =1+ 2ab >1, a +b2
2

a2-b2 a-b ∴ 2 > . a +b2 a+b 20.(12 分)若 0<a<2,0<b<2,0<c<2, 求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a,不能同时大于 1. 证明:假设三数能同时大于 1, 即(2-a)b>1,(2-b)c>1,(2-c)a>1 ?2-a?+b 那么 ≥ ?2-a?b>1, 2 ① ?2-b?+c 同理 >1, 2 ② ?2-c?+a >1, 2

③ 由①+②+③得 3>3, 上式显然是错误的, ∴该假设不成立, ∴(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a 不能同时大于 1. 21.(13 分)求证:2( n+1-1)<1+ 证明:∵ ∴1+ 1 1 1 + +…+ <2 n(n∈N+). 2 3 n

1 2 > =2( k+1- k),k∈N+, k k+ k+1

1 1 1 + +…+ 2 3 n

>2[( 2-1)+( 3- 2)+…+( n+1- n)] =2( n+1-1). 又 1 2 < =2( k- k-1),k∈N+, k k+ k-1 1 1 1 + +…+ 2 3 n

∴1+

<1+2[( 2-1)+( 3- 2)+…+( n- n-1)] =1+2( n-1)=2 n-1<2 n. 故原不等式成立. 22.(13 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+2n, 数列{bn}的前 n 项和 Tn=2-bn. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
2 (2)设 cn=an · bn,证明当 n≥3 时,cn+1<cn.

解析:(1)∵Sn=2n2+2n, ∴当 n≥2 时,Sn-1=2(n-1)2+2(n-1), ∴an=Sn-Sn-1=4n(n≥2). 当 n=1 时,S1=4,符合上式. ∴数列{an}的通项公式为 an=4n. 又∵Tn=2-bn,∴当 n≥2 时,Tn-1=2-bn-1, ∴bn=Tn-Tn-1=2-bn+bn-1-2,

即 2bn=bn-1. bn 1 ∴ = . bn-1 2 而 T1=b1=2-b1,∴b1=1. ?1?n-1 ?1?n-1 ?2? =?2? . ∴数列{bn}的通项公式为 bn=1· ? ? ? ? ?1?n-1 ?1?n-1 ?2? =16n2· ?2? , (2)证明:由(1),知 cn=(4n)2· ? ? ? ? ?1?n ?2? . ∴cn+1=16(n+1)2· ? ?
2?1?n ?2? 16 ? n + 1 ? cn+1 1? ? ? 1? ?1+n?2. ∴ c = = 2? ? n ?1? 16n2?2?n-1 ? ?

1 4 当 n≥3 时,1+n≤3< 2, cn+1 1 ∴ c <2×( 2)2=1, n 又由 cn=a2 bn 可知,cn+1 和 cn 均大于 0, n· ∴cn+1<cn.

没有平日 的失败 ,就没 有最终 的成功 。重要 的是分 析失败 原因并 吸取教 训。