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高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切公式的应用素材北师大版必修4

两角和与差的正切公式的应用
两角和正切公式为 tan( ? + ? )=

? tan ? ? tan ? ( ? , ? , ? + ? ≠k ? + ),它 2 1 ? tan ? tan ?

是解决正切函数问题的基本公式,应用非常广泛,下面举例说明. 一、正用 指正向运用公式,用于求正切的两角和或可转化为求两角和问题.

例 1.不查表求 tan75 ? ,tan15 ? 的值.

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为 良友,以 经验为 参谋, 以小心 为兄弟 ,以希 望为哨 兵。

tan 45? ? tan 30? 解:tan75 ? = tan(45 ? +30 ? )= = 1 ? tan 45? tan 30?

1?

3 3 = 3 ? 3 =2+ 3 . 3 3? 3 1? 3

3 tan 45? ? tan 30? 3 = 3 ? 3 =2- 3 . tan15 ? = tan(45 ? -30 ? )= = 1 ? tan 45? tan 30? 3 3? 3 1? 3 1?
例 2.若 tan( ? + ? )=

2 ? 1 ? ,tan( ? - )= ,求 tan( ? + )的值。 5 4 4 4

分析:注意已知角与所求角的关系,则可发现 ( ? +

? + 化为( ? + ? )-( ? - ),从而求得 tan( ? + )的值.
? )=tan[( ? + ? ) 4 2 1 ? ? tan(? ? ? ) ? tan( ? ? ) ? 4 = 5 4 = 3 . -( ? - )]= ? 2 1 22 4 1 ? tan(? ? ? ) tan( ? ? ) 1 ? ? 4 5 4 ? 例 3.已知 A、B 都为锐角,证明:A+B= 的充要条件是(1+tanA)(1+tanB)=2。 4
解:tan( ? + 证明:先证充分性 由(1+tanA)(1+tanB)=2, 即 1+ tanB + tanA + tanAtanB =2, 得 tanB + tanA =1- tanAtanB, ∴tan(A+B)=

? 4

? 4

? 4

? ? )+( ? - )= ? + ? ,所以可将 4 4

tan A ? tan B ? =1.又由 A、B 都为锐角,得 0<A+B< ? ,∴A+B= . 1 ? tan A tan B 4

再证必要性

1

由 A+B=

? tan A ?tan B ,得 tan(A+B)=1,即 =1,∴tanB + tanA =1- tanAtanB,即 1+ tanB 1 ? tan A tan B 4

+ tanA + tanAtanB =2,整理,得(1+tanA)(1+tanB)=2。 点评:读者可用类似的方法证明以下命题:

3? ,则(1-tan ? )(1-tan ? )=2; 4 5? (2)若 ? + ? = ,则(1+tan ? )(1+tan ? )=2; 4 7? (3)若 ? + ? = ,则(1-tan ? )(1-tan ? )=2. 4
(1)若 ? + ? = 说明:利用本例结论很容易求出(1+tan1 ? )(1+tan2 ? )(1+tan3 ? ) ? … ? (1+tan44 ? )(1+ tan45 ? )的值,请同学们一试(答案:2 二、逆用 逆用公式是指从右往左用公式,即单角往复角转化.往往伴随着常数三角化的运用,如 1= tg45° 等,特别是解决“ 例 4.求下列各式的值 (1)
23

).

1 ? tan ? ”型问题. 1 tan ?

tan11?2? ? tan 48?58? 3 ? tan15? ;(2) . 1 ? tan11?2? tan 48?58? 1 ? 3 tan15?

解:(1)原式=tan(11 ? 2 ? +48 ? 58? )=tan60 ? = 3 。 (2) 原式=

tan 60? ? tan15? =tan(60 ? -15 ? )=tan45 ? =1. 1 ? tan 60? tan15?

例 5.化简下列各式: (1)

tan 2 52.5? ? tan 2 7.5? tan(? ? ? ) ? tan ? ; (2) . 1 ? tan 2 52.5? tan 2 7.5? 1 ? tan(? ? ? ) tan ?

解:(1)原式= tan[( ? - ? )+ ? ]=tan ? . (2) 原 式 =

tan 52.5? ? tan 7.5? tan 52.5? ? tan 7.5? × =tan(52.5 ? -7.5 ? ) 1 ? tan 52.5? tan 7.5? 1 ? tan 52.5? tan 7.5?

an(52.5 ? +7.5 ? )=tan45 ? tan60 ? = 3 . 三、变形应用 公式 tan( ? ? ? )=

tan ? ? tan ? 的变形公式有以下两种: 1 tan ? tan ?

2

(1)tan ? ? tan ? = tan( ? ? ? )(1 (2)1 tan ? tan ? =

tan ? tan ? )

tan ? tan ? . tan(? ? ? )

例 6.求下列各式的值 (1)tan11 ? (1+ tan34 ? )+tan34 ? ; (2)tan70 ? +tan50 ? -

3 tan70 ? tan50 ? .

(3)tan29 ? tan43 ? + tan29 ? tan18 ? +tan18 ? tan43 ? . 解: (1) 原式= tan11 ? + tan11 ? tan34 ? + tan34 ? =( tan11 ? + tan34 ? )+ tan11 ? tan34 ? = tan(11 ? +34 ? )(1- tan11 ? tan34 ? )+ tan11 ? tan34=tan45 ? (1- tan11 ? tan34 ? )+ tan11 ? tan34 =1- tan11 ? tan34 ? + tan11 ? tan34=1. (2) 原 式 = tan(70 ? +50 ? )(1-tan70 ? tan50 ? )tan120 ? (1-tan70 ? ? tan50 ? )- 3 tan70 ? tan50 ? =- 3 (1-tan70 ? tan50 ? )- 3 tan70 ? tan50 ? =- 3 + 3 tan7 0 ? ? tan50 ? - 3 tan70 ? tan50 ? =- 3 . (3) 原 式 = tan29 ? tan43 ? + tan18 ? (tan29 ? +tan43 ? )=tan29 ? tan43 ? + tan18 ? tan(29 ? +43 ? ) (1- tan29 ? tan43 ? )=tan29 ? tan43 ? + tan18 ? tan72 ? (1tan29 ? tan43 ? )= tan29 ? tan43 ? + tan18 ? cot18 ? (1- tan29 ? tan43 ? )= tan29 ? tan43 ? +1- tan29 ? tan43 ? =1. 例 7.已知 A+B+C=k ? (k∈Z),求证:tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC. 证明: 由 A+B+C=k ? , 得 A+B= k ? -C (k∈Z), ∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1- tanAtanB) +tanC= tan(k ? -C)(1- tanAtanB) +tanC= -tanC(1- tanAtanB) +tanC= tanAtanBtanC. 说明:1.当 n=2k(k∈Z)时,tan(n ? - ? )= tan(2k ? - ? )=-tan ? ;当 n=2k+1(k∈Z)时, tan(n ? - ? )= tan(2k ? + ? - ? +)= tan( ? + ? )=-tan ? ; 综上可知,当 n ∈ Z 时,有 tan(n ? - ? ) =-tan ? ,同理可得当 n∈Z 时,有 tan(n ? + ? )=tan ? 。 2.当一个三角函数式中既含有 tan ? ? tan ? ,又含有 tan ? tan ? 时,就可用公式 tan( ? ? ? )=

3 tan70 ? tan50 ? =

tan ? ? tan ? 的变形公式进行化简。 1 tan ? tan ?
3

四、活用 在数学解题中,常会碰到形如“

x? y ”的结构,这时可活用两角和的代换,就能使比 1 ? xy

较隐蔽关系显现出来,从而实现难题巧解.

5 =tan 8? ,求 b 的值. 15 a a cos ? b sin 5 5 ? ? ? b a sin ? b cos tan ? 5 5= 5 a , 分析 由 联想到两角和的正切公式, 便有以下解法. ? ? b ? a cos ? b sin 1 ? ? tan 5 5 a 5 ? b tan ? 5 a =tan 8? ,令 b =tan ? ,则 解:由题设,得 b ? 15 a 1 ? ? tan a 5
例8 已知非零实数 a,b 满足

a sin

?

5

? b cos

?

?

?

tan

?
5

? tan ?

1 ? tan ? ? tan

?
5

=tan

8? , 15

8? ? ? tan 15 5 =tan ? 8? ? ? ? = 3 . 即 tan ? = ? ? 8? ? ? 15 5 ? 1 ? tan ? tan 15 5 b 故 = 3. a tan
练习

1 ,tan ? =-2,0° < ? <90° ,90° < ? <180° ,求 ? + ? 的值. 3 tan 53? ? tan 7? 2、⑴计算 的值. 1 ? tan 53? tan 7? 1 ? tan 75 ? ⑵ 计算 的值. 1 ? tan 75 ?
1、已知 tan ? = 3、 tan20 ? tan40 ? 3tan20 tan40 的值是
0 0 0


0

4、化简 (1 ? tan1 )(1 ? tan2 )(1 ? tan3 )?(1 ? tan43 )(1 ? tan44?) 参考答案 1、分析 解此类题的一般步骤是:⑴求出 ? + ? 的某一三角函数值;⑵确定 ? + ? 所 在范围.由于已知条件给出是正切,故可优先考虑用正切的和角公式.

4

解:由 tan ? =

1 ,tan ? =-2,得 3

1 ?2 tan ? ? tan ? 3 tan( ? + ? )= = =-1, 1 ? tan ? tan ? 1 ? 1 × ?2 ? ? 3
又 0° < ? <90° ,90° < ? <180° , ∴ 90° < ? + ? <270° . 而在 90° 与 270° 之间只有 135° 的正切值等于-1, ∴ . ? + ? =135°

2、解:⑴逆用公式,得

t a n ?5 ? 3 t? a n 7 =tan(53° +7° )=tan60° = 3. 1 ? t a n ?5 3 t? a n 7
⑵∵1=tan45° , ∴

1 ? tan 75? tan 45? ? tan 75? = =tan(45° +75° )=tan120° =- 3 . 1 ? tan 75? 1 ? tan 45? tan 75?

3、解

tan20? ? tan40? ? 3tan20?tan40?

=tan(20° +40° )(1-tan20° tan40° )+ 3 tan20° tan40° = 3. 4、分析:因为 1? ? 44 ? ? 45 ? , 2? ? 43? ? 45? ,…, 22 ? ? 23 ? ? 45 ? ,所以由变形 公式(5)可得 (1 ? tan1?)(1 ? tan44?) = (1 ? tan2?)(1 ? tan43?) =…=

(1 ? tan22?)(1 ? tan23?) =2,即可化简本题.
解:由变形公式(5),得 原式= [(1 ? tan1 )(1 ? tan44 )] ? [(1 ? tan2 )(1 ? tan23 )] ? ??
0 0 0 0

[(1 ? tan220 )(1 ? tan230 )] = 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 22 . ? ?? ??
22 个 2

5