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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,含答案)_图文

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2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(文史类)
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.复数的 Z ? ?1? 2i i为虚数单位 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?

?

2.设点 P ? x, y ? , 则“x ? 2且y ? ?1 ”是“点P在直线l : x ? y ?1 ? 0上”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A.2 B.3 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.4 D.6

3.若集合 A=?1,2,3?,B= ?1,3,4?,则A ? B 的子集个数为 4.双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于 A.

1 2

B.

2 2

C. 1

D. 2

2 5.函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是

?

?

?x ? y ? 2 ? 则z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 6.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1, ? y ? 0, ?
A. 4和3
x y

B. 4和2

C. 3和2

D. 2和0

7.若 2 ? 2 ? 1, 则x ? y的取值范围是 A. ? 0, 2? B. ? ?2,0? C.

??2, ???

D.

? ??, ?2?

8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个 正整数 n 后, 输出的S ? ?10,20? , 那么n的值为 A.3 B.4 C.5 D.6

1

?? ? ? ?? ? ? 的 图 像 向 右 平 移 ? 2? ? 2 ? 3? g ? x 的图像, 若 ? ? x, ? g 的图像都经过点 ? , ?,则?的值可以是 f 0 ? P ? ? x ? 2 ? ? 5? 5? ? ? A. B. C. D. 3 6 2 6 ??? ? ??? ? 10.在四边形 ABCD中, ? ?1, 2 ? , BD ? ? ?4, 2 ? , 则该四边形的面积为 AC
9 . 将 函 数 f ? x ? ? s i ? x2 ? ? ? ? n ? A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10 11.已知 x与y 之间的几组数据如下表:

? ? ? ??

后得到函数

x
y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

? ? ? 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y ? bx ? a, 若某同学根据上表

中的前两组数据?1,0? 和? 2,2? 求得的直线方程为 y? ? b?x ? a?, 则以下结论正确的是 ? ? ? ? ? ? ? ? A. b ? b?, a ? a? B. b ? b?, a ? a? C. b ? b?, a ? a? D. b ? b?, a ? a?
12.设函数 f ? x ?的定义域为R,x0 ? x0 ? 0? 是f ? x ?的极大值点,以下结论 一定正确的是 A. ?x ? R, f ? x ? ? f ? x0 ? B. ? x0是f ? ? x ?的极小值点 C. ? x0是-f ? x ?的极小值点

D. ?x0是-f ? ?x ?的极小值点 第 II 卷(非选择题 共 60 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?2 x3 , x ? 0, ? ? ? ?? ? 13.已知函数 f ? x ? ? ? ? 则f ? f ? ? ? ? ? ? 4 ?? ?? tan x, 0 ? x ? , ? 2

.

14.利用计算机产生 0 ? 1之间的均匀随机数a, 则时间“3a ?1 ? 0 发生的概率为 15.椭圆

.

P:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,焦距为2c. a 2 b2 y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆P的一个交点M 满足?MF1F2 ? 2?MF2F1 , 则该椭圆的离心率等于

.

16.设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足: (i) T ? ? f ( x ) x ? S ; (ii)对任意 x1 , x2 ? S ,当x1 ? x2时,恒有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 那么称这两个集合“保序同构” ,现给出以下 3 对集合: ① A ? N, B ? N ;
?

?

? ? ③ A ? ? x 0 ? x ? 1? , B ? R.

② A ? x ?1 ? x ? 3? , B ? x ?8 ? x ? 10? ;

其中, “保序同构”的集合对的序号是_______。 (写出“保序同构”的集合对的序号) 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17. (本小题满分 12 分)

已知等差数列 an ? 的公差 d =1,前 n 项和为 Sn . (I)若 1, a1 , a3成等比数列,求 a1 ; (II)若 S5 ? a1a9,求a1的取值范围。

?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 P ? ABCD中,PD ? 平面ABCD,AB // DC,

AB ? AD, BC ? 5, DC ? 3, AD ? 4, ?PAD ? 60?. ???? (I)当正视方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写
出演算过程) ; (II)若 M 为 PA 的中点,求证:求 DM // 平面PBC; (III)求三棱锥 D ? PBC 的体积。

3

19. (本小题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名。为研究工人的日平均生产量是 否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产 件数分为 5 组: ?50, 60 ? , ?60, 70 ? , ? 70,80 ? , ? ? ?

?80,90 ? , ?90,100 ? 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。 ? ?
(I)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组” 工人的概率; (II)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ,请你根据已知条件完成列联表,并判断是 否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附:x 2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 ) n1?n2?n?1n?2
2

n(ad ? bc)2 (注:此公式也可以写成k ? ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( x2 ? k )
k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

4

20. (本小题满分 12 分) 如图, 抛物线 E : y 2 ? 4x 的焦点为 F, 准线 l 与 x 轴的交点为 A。 C 在抛物线 E 上, C 为圆心, CO 点 以 为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N。 (I)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (II)若 AF
2

? AM ?AN ,求圆 C 的半径。

5

21.(本小题满分 12 分) 如图,在等腰直角 OPQ 中, ?POQ ? 900 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上. (I)若 OM ? 5 ,求 PM 的长; (II)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 300 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面积 最小?并求出面积的最小值。

6

22.(本小题满分 14 分)
已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(I)若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (II)求函数 f ? x ? 的极值; (III)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点,求 k 的最大值。

?

?

7

8

9

10

11

12


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