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高中数学必修2-3第一章1.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理


第一章 计数原理________

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.问题导航 (1)什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理? (2)分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系? 2.例题导读 (1)例 1、 例 2 分别利用了分类加法计数原理与分步乘法计数原理, 请试做教材 P6 练习 1 题. (2)例 3、例 4 表明分类加法计数原理、分步乘法计数原理的区别与应用,学会使用树形 图分析题意,请试做教材 P6 练习 2 题.

1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中 有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=________m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=________m×n 种不同的方法.

1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都 不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.从甲地到乙地有两类交通方式:坐飞机和乘轮船,其中飞机每天有 3 班,轮船有 4 班.若李先生从甲地去乙地,则不同的交通方式共有( )

A.7 种 B.9 种 C.10 种 D.12 种 答案:A 3.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一 套,则不同的配法种数为( ) A.7 B.12 C.64 D.81 答案:B 4.加工某个零件分三道工序,第一道工序有 5 人可以选择,第二道工序有 6 人可以选 择,第三道工序有 4 人可以选择,从中选 3 人每人做一道工序,则选法有________种. 答案:120

两个计数原理的联系与区别 (1)联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的共同点是把一个原始的事件分解成若干个分 事件来完成,它们都是关于做一件事的不同方法种数的问题. (2)区别 分类加法计数原理 区别一 完成一件事,共有 n 类方法,关键词是 “分类” 每类方法都能独立完成这件事,且每类 方法得到的都是最后结果,只需一种方 法就可以完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立 的 分步乘法计数原理 完成一件事,共有 n 个步骤,关键词是 “分步” 任何一步都不能独立完成这件事,缺少 任何一步都不能完成这件事,只有各个 步骤都完成了,才能完成这件事 各步之间是关联的、 独立的, “关联”确 保不遗漏, “独立”确保不重复

区别二

区别三

分类加法计数原理 高三(一)班有学生 50 人,其中男生 30 人,女生 20 人;高三(二)班有学生 60 人, 其中男生 30 人,女生 30 人;高三(三)班有学生 55 人,其中男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三(一)班、(二)班或(三)班中任选一名学生担任校学生会主席,共有多少种不同 的选法? (2)从高三(一)班、(二)班男生中或高三(三)班女生中任选一名学生担任学生会体育部部 长,共有多少种不同的选法? [解] (1)从三个班中任选一名学生,共有三类办法:

第一类办法,从高三(一)班中任选一名学生,有 50 种不同的方法; 第二类办法,从高三(二)班中任选一名学生,有 60 种不同的方法; 第三类办法,从高三(三)班中任选一名学生,有 55 种不同的方法. 由分类加法计数原理,不同的选法共有 N=50+60+55=165 种. (2)共有三类办法: 第一类办法,从高三(一)班男生中任选一名学生,有 30 种不同的方法; 第二类办法,从高三(二)班男生中任选一名学生,有 30 种不同的方法; 第三类办法,从高三(三)班女生中任选一名学生,有 20 种不同的方法. 由分类加法计数原理,不同的选法共有 N=30+30+20=80 种. 用分类加法计数原理解题应注意以下问题: (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎样才 算完成这件事. (2)分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏,但也不能重复、交叉. (3)若完成某件事情有 n 类办法,则它们两两的交集为空集,并集为全集.

1.(1)某学生去书店,发现 2 本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有( ) A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 解析:选 C.分两类:买 1 本或买 2 本书,各类购买方式依次有 2 种、1 种,故购买方式 共有 2+1=3 种. (2)从高三年级的四个班中共抽出 22 人,其中一、二、三、四班分别为 4 人、5 人、6 人、7 人,他们自愿组成数学课外小组,选其中一人为组长,有多少种不同的选法? 解:分四类: 从一班中选一人,有 4 种选法; 从二班中选一人,有 5 种选法; 从三班中选一人,有 6 种选法; 从四班中选一人,有 7 种选法. 共有不同选法 N=4+5+6+7=22 种.

分步乘法计数原理 已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点, 问:(1)点 P 可表示平面上多少个不同的点? (2)点 P 可表示平面上第二象限内多少个不同的点? [解] (1)确定平面上的点 P(a,b),可分两步完成:第一步确定 a 的值,有 6 种不同方 法;第二步确定 b 的值,也有 6 种不同方法.根据分步乘法计数原理,得到点 P 可表示平 面上不同的点共有 6×6=36 个. (2)确定平面上第二象限内的点 P(a, b), 可分两步完成: 第一步确定 a 的值, 由于 a<0, 所以有 3 种不同方法;第二步确定 b 的值,由于 b>0,所以有 2 种不同方法.由分步乘法 计数原理,得到点 P 可表示平面上第二象限内不同的点共有 3×2=6 个. [互动探究] 在本例条件下,求 P 可表示多少个不在直线 y=x 上的点?

解:点 P(a,b)在直线 y=x 上的充要条件是 a=b. 因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素, 共有 6 种取法, 即在直线 y=x 上的点有 6 个. 结合(1)得,不在直线 y=x 上的点共有 36-6=30 个. 利用分步乘法计数原理应注意: (1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的. (2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的,但也不能重复、交叉. (3)若完成某件事情需 n 步,则必须且只需依次完成这 n 个步骤后,这件事情才算完成. 扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 分步乘法计数原理

2.(1)从 6 名学生中选取 1 名学生会主席,1 名学习部长,有________种不同的选法. 解析: 分两步: 第 1 步学生会主席有 6 种选法; 第 2 步学习部长有 5 种选法, 故共有 6×5 =30 种不同的选法. 答案:30 (2)某商店现有甲种型号电视机 10 台,乙种型号电视机 8 台,丙种型号电视机 12 台, 从这三种型号的电视机中各选 1 台检验,有多少种不同的选法? 解:从这三种型号的电视机中各选 1 台检验可分三步完成: 第一步,从甲种型号中选 1 台,有 10 种不同的选法; 第二步,从乙种型号中选 1 台,有 8 种不同的选法; 第三步,从丙种型号中选 1 台,有 12 种不同的选法. 根据分步乘法计数原理,不同的选法共有 10×8×12=960 种.

两个计数原理的综合应用 现有高一学生 50 人,高二学生 42 人,高三学生 30 人,组成冬令营. (1)若从中选 1 人作总负责人,共有多少种不同的选法? (2)若每年级各选 1 名负责人,共有多少种不同的选法? (3)若从中推选两人作为中心发言人, 要求这两人要来自不同的年级, 则有多少种选法? [解] (1)从高一选 1 人作总负责人有 50 种选法; 从高二选 1 人作总负责人有 42 种选法; 从高三选 1 人作总负责人有 30 种选法.由分类加法计数原理,可知共有 50+42+30=122 种选法. (2)从高一选 1 名负责人有 50 种选法;从高二选 1 名负责人有 42 种选法;从高三选 1 名负责人有 30 种选法.由分步乘法计数原理,可知共有 50×42×30=63 000 种选法. (3)①高一和高二各选 1 人作中心发言人,有 50×42=2 100 种选法;②高二和高三各选 1 人作中心发言人, 有 42×30=1 260 种选法; ③高一和高三各选 1 人作中心发言人, 有 50×30 =1 500 种选法.故共有 2 100+1 260+1 500=4 860 种选法. 两个计数原理解题的思路: (1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然 后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.

(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分 析更直观、清楚,便于探索规律. (3)混合问题一般是先分类再分步.

3.现有 5 幅不同的国画,2 幅不同的油画,7 幅不同的水彩画. (1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法? 解:(1)分为三步:国画、油画、水彩画分别有 5 种、2 种、7 种不同的选法,根据分步 乘法计数原理,共有 5×2×7=70 种不同的选法. (2)分为三类: 第一类是一幅选自国画, 一幅选自油画. 由分步乘法计数原理知, 有 5×2 =10 种不同的选法; 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有 5×7=35 种不同的选法; 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有 2×7=14 种不同的选法,所以共有 10+ 35+14=59 种不同的选法.

易错警示

因分不清是分类还是分步而致误

某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语,3 人会日 语,从中选出会英语和会日语的各一人,有多少种不同的选法? [解] 依题意得既会英语又会日语的有 7+3-9=1 人, 则 6 人只会英语, 2 人只会日语. 第一类:从只会英语的 6 人中选一人,有 6 种方法,此时选一人会日语,有 2+1=3 种方法. 由分步乘法计数原理可得 N1=6×3=18 种. 第二类:从既会英语又会日语的人中选一人,有 1 种方法,此时选一人会日语,有 2 种方法. 由分步乘法计数原理可得 N2=1×2=2 种. 综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有 N=N1+N2=18+2=20 种. [错因与防范] (1)本题易忽视了既会英语,又会日语的人的双重性,当从 7 个会英语的 人中选出的 1 人是既会英语又会日语的, 他就不可以再参加会日语的选取, 因此选会日语的 人时,只有 2 种选法了. (2)解答此类问题, 首先必须弄清是“分类”还是“分步”, 其次要搞清“分类”或“分 步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独立完成这件事,避免计 数的重复或遗漏.

4.体育场南侧有 4 个大门,北侧有 3 个大门,某人到该体育场晨练,则他进、出门的 方案有( ) A.12 种 B.7 种 C.14 种 D.49 种 解析:选 D.要完成进、出门这件事,需要分两步, 第一步进体育场,第二步出体育场, 第一步进门有 4+3=7 种方法; 第二步出门也有 4+3=7 种方法,

由分步乘法计数原理知进、出门的方案有 7×7=49 种.

1.从 A 地到 B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发 3 次,火 车发 4 次,轮船发 2 次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( ) A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 C.3×4×2=24 D.以上都不对 解析:选 B.分三类:第一类,乘汽车,从 3 次中选 1 次有 3 种走法;第二类,乘火车, 从 4 次中选 1 次有 4 种走法;第三类,乘轮船,从 2 次中选 1 次有 2 种走法.所以,共有 3 +4+2=9 种不同的走法. 2.已知 x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则 x· y 可表示不同的值的个数为( ) A.8 B.12 C.10 D.9 解析:选 D.分两步: 第一步,在集合{2,3,7}中任取一个值,有 3 种不同的取法; 第二步,在集合{-3,-4,8}中任取一个值,有 3 种不同取法. 故 x· y 可表示 3×3=9 个不同的值. 3.从 2,3,5,7,11 中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母,则可产生不同 的分数的个数是________,其中真分数的个数是________. 解析:产生分数可分两步:第一步,产生分子有 5 种方法;第二步,产生分母有 4 种方 法,共有 5×4=20 个分数.产生真分数,可分四类:第一类,当分子是 2 时,有 4 个真分 数,同理,当分子分别是 3,5,7 时,真分数的个数分别是 3,2,1,共有 4+3+2+1=10 个真分数. 答案:20 10 x2 y2 4.设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),a∈{1,2,3,4,5,6,7},b∈{1,2,3,4, a b 5},这样的椭圆共有多少个? 解:依题意按 a,b 的取值分为 6 类, 第一类:a=2,b=1; 第二类:a=3,b=1,2; 第三类:a=4,b=1,2,3; 第四类:a=5,b=1,2,3,4; 第五类:a=6,b=1,2,3,4,5; 第六类:a=7,b=1,2,3,4,5. 由分类加法计数原理得: 这样的椭圆共有 1+2+3+4+5+5=20 个.

[A.基础达标] 1.甲盒中有 3 个不同的红球,乙盒中有 5 个不同的白球,某同学要在甲盒或乙盒中摸 1 个球,则不同的方法有( ) A.3 种 B.5 种 C.8 种 D.15 种

解析:选 C.分两类,在甲盒中摸球有 3 种,在乙盒中摸球有 5 种,则不同的方法有 3 +5=8 种. 2.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有( ) A.24 种 B.16 种 C.12 种 D.10 种 解析:选 C.完成该任务可分为四类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图, 从第 1 个入口进入时,有 3 种行车路线;同理,从第 2 个,第 3 个,第 4 个入口进入时,都 分别有 3 种行车路线,由分类加法计数原理可得共有 3+3+3+3=12 种不同的行车路线, 故选 C.

3.某班小张等 4 位同学报名参加 A,B,C 三个课外活动小组,每位同学限报其中一个 小组,且小张不能报 A 小组,则不同的报名方法有( ) A.27 种 B.36 种 C.54 种 D.81 种 解析:选 C.小张的报名方法有 2 种,其他 3 位同学各有 3 种,所以由分步乘法计数原 理知共有 2×3×3×3=54 种不同的报名方法. 4. 如果 x, y∈N, 且 1≤x≤3, x+y<7, 则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( ) A.15 B.12 C.5 D.4 解析:选 A.利用分类加法计数原理. 当 x=1 时,y=0,1,2,3,4,5,有 6 个. 当 x=2 时,y=0,1,2,3,4,有 5 个. 当 x=3 时,y=0,1,2,3,有 4 个. 据分类加法计数原理可得,共有 6+5+4=15 个. 5.从集合{1,2,3,4,5}中任取 2 个不同的数,作为方程 Ax+By=0 的系数 A,B 的 值,则形成的不同直线有( ) A.18 条 B.20 条 C.25 条 D.10 条 解析:选 A.第一步,取 A 的值,有 5 种取法;第二步,取 B 的值,有 4 种取法,其中 当 A=1,B=2 时与 A=2,B=4 时是相同的方程;当 A=2,B=1 时与 A=4,B=2 时是相 同的方程,故共有 5×4-2=18 条. 6.三个车队分别有 4 辆、5 辆、6 辆车,现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任 务,设不同的抽调方案数为 n,则 n 的值为________. 解析:不妨设三个车队分别为甲、乙、丙,则分 3 类,①甲、乙各一辆共 4×5=20 种; ②甲、丙各一辆共 4×6=24 种;③乙、丙各一辆共 5×6=30 种,由分类加法计数原理知: 20+24+30=74 种. 答案:74 7.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中 虚数有________个. 解析:第一步取 b 的数,有 6 种方法,第二步取 a 的数,也有 6 种方法,根据分步乘法 计数原理,共有 6×6=36 个.

答案:36 8.已知 a∈{-1,2,3},b∈{0,3,4,5},r∈{1,2},则(x-a)2+(y-b)2=r2 表示 的不同的圆共有________个. 解析:圆的方程由三个量 a,b,r 确定,a,b,r 分别有 3 种、4 种、2 种选法,由分步 乘法计数原理,表示不同的圆的个数为 3×4×2=24. 答案:24 9.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个. (1)从中任意取出一个球,有多少种不同的取法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法? 解:(1)由分类加法计数原理得, 从中任取一个球共有 8+7=15 种取法. (2)由分步乘法计数原理得, 从中任取两个不同颜色的球共有 8×7=56 种取法. 10.已知集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和 在 B 中任取一元素 n,组成数对(m,n),问:(1)有多少个不同的数对?(2)其中所取两数 m >n 的数对有多少个? 解:(1)∵集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和 在 B 中任取一元素 n,组成数对(m,n),先选出 m 有 5 种结果,再选出 n 有 5 种结果,根据 分步乘法计数原理知共有 5×5=25 个不同的数对. (2)在(1)中的 25 个数对中所取两数 m>n 的数对可以分类来解,当 m=2 时,n=1,有 1 种结果;当 m=4 时,n=1,3,有 2 种结果;当 m=6 时,n=1,3,5,有 3 种结果;当 m =8 时,n=1,3,5,7,有 4 种结果;当 m=10 时,n=1,3,5,7,9,有 5 种结果.综 上所述共有 1+2+3+4+5=15 个不同的数对. [B.能力提升] 1.设集合 A={-1,0,1},集合 B={0,1,2,3},定义 A*B={(x,y)|x∈A∩B,y ∈A∪B},则 A*B 中元素个数是( ) A.7 B.10 C.25 D.52 解析:选 B.A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},x 有 2 种取法,y 有 5 种取法.由 分步乘法计数原理得 2×5=10,故选 B. 2.满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对 (a,b)的个数为( ) A.14 B.13 C.12 D.10 解析:选 B.当 a=0 时,关于 x 的方程为 2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0, 1),(0,2)均满足要求;当 a≠0 时,Δ=4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(- 1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综 上,满足要求的有序数对共有 13 个,故选 B. 3.如图,从 A→C 有________种不同的走法.

解析:分为两类,不过 B 点有 2 种方法,过 B 点有 2×2=4 种方法,共有 4+2=6 种

方法. 答案:6 4.在由 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共有 ________个. 解析:由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数共有 5×5×4×3=300 个, 其中能被 5 整除的分为两类,末位是 5 的有 4×4×3=48 个,末位是 0 的有 5×4×3=60 个,故不能被 5 整除的有 300-48-60=192 个. 答案:192 5.某节目中准备了两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信 箱中有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星, 再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? 解:抽奖过程分三步完成,考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中,故可分两种情形 考虑,分两大类: (1)幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有 30×29×20 =17 400 种结果. (2)幸运之星在乙箱中抽,同理有 20×19×30=11 400 种结果. 因此共有不同结果 17 400+11 400=28 800(种). 6.已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},若 a,b,c∈M,则: (1)y=ax2+bx+c 可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2+bx+c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数. 解:(1)a 的取值有 5 种情况,b 的取值有 6 种情况,c 的取值有 6 种情况,因此 y=ax2 +bx+c 可以表示 5×6×6=180 个不同的二次函数. (2)y=ax2+bx+c 的图象开口向上时,a 的取值有 2 种情况,b、c 的取值均有 6 种情况, 因此 y=ax2+bx+c 可以表示 2×6×6=72 个图象开口向上的二次函数.


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