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第二讲 古希腊数学


第二讲 古希腊数学

论证数学的发端

? 古代希腊的地理范围,包括希腊半岛、爱琴

海诸岛和小亚细亚西部沿海地带
? 希腊数学一股指从公元前600年至公元600年 间,活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿 与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及 非州北部的数学家们创造的数学。 大批游历 埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回 了从那里收集的数学知识,在古代希腊城邦 社会特有的唯理主义气氛中,这些经验的算 术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结 构的论证数学体系。

泰勒斯与爱奥尼亚学派
? 现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯(约 公元前625一前547)。泰勒斯出生于小亚 细亚(今土耳其)西部爱奥尼亚地方的米 利都城,他领导的爱奥尼亚学派据说开 了希腊命题证明之先河。 关于泰勒斯并 没有确凿的传记资科留传下来。但是以 下命题记载却流传至今,使泰勒斯获得 了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美 名。

? 普洛克鲁斯在《评注》其他地方再次根 据欧多谟斯的著作介绍说泰勒斯曾证明 了下列四条定理: ? 1。圆的直径将圆分为两个相等的部分; ? 2。等腰三角形两底角相等; ? 3。两相交直线形成的对顶角相等; ? 4。如果一三角形有两角、一边分别与 另一三角形的对应角、边相等,那么这 两个三角形全等。 传说泰勒斯还证明了 现称“泰勒斯定理”的命题:半圆上的 圆周角是直角。

毕达哥拉斯学派第一次数学危机
? 毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572~497年)出 生于靠爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛.青年时代, 毕达哥拉斯曾就学于泰勒斯.以后他曾到亚洲 和埃及旅行,特别是在埃及,他学到了很多数 学知识.约在公元前530年,毕氏返回到故里, 并建立了毕达哥拉斯学派。致力于哲学与数学 的研究,相传“哲学”(意为“智力爱好”)和 “数学”(意为“可 学到的知识”)这两个词正 是毕达哥拉斯本人所创。 ? 大约在公元前五世纪末传说由希帕苏斯 (Hippasus)发现了不可通约量的存在,这对毕 氏学派的“一切量均可通约”的观念是一个莫 大的打击.数学史上把这称为第一次数学危

雅典时期的希腊数学
? 1、伊利亚学派(芝诺); ? 2、原子论学派 ? 3、诡辩学派; ? 4、雅典学院(柏拉图学派); ? 5、亚里士多德学派;

1、三大几何问题
? (1)化圆为方,即作一个与给定的圆面积 相等的正方形。 ? (2)倍立方体,即求作一立方体,使其体 积等于已知立方体的两倍。 ? (3)三等分角,即分任意角为三等分。

2、无限性概念的早期探索
希腊人在理性数学活动的早期,已经接触 到了无限性、连续性等深刻的概念,对 这些概念的探讨,也是雅典时期希腊数 学的特征之一。

3、逻辑演绎结构的倡导
? 雅典时期,数学中的演绎化倾向有了实质性 的进展,这主要应归功于柏拉图、亚里士多 德和他们的学派。 柏拉图出身贵族名门,以 万贯家财开设雅典学院。学院虽以哲学研究 为主,但柏拉图认为数学是一切学问的基础。 柏拉图本人虽末得到很多具体的数学成就, 但对数学研究的方法却颇多贡献。普洛克鲁 斯将分析法与归谬法归功于柏拉图。柏拉图 给出了许多几何定义,并坚持数学知识作演 绎整理。

二、黄金时代—亚历山大学派

? 从公元前338年希腊诸邦被马其领控制,至公 元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒 密王国的三百余年,史称希腊数学的“黄金 时代”。 这一时期希腊数学的中心从雅典转 移到了亚历山大城。公元前300年左右,亚历 山大兴建艺术宫(博物馆)和图书馆,提倡学术, 罗致人才,使亚历山大成为希腊文化的首府, 那里学者云集,先后出现了欧几里得、阿基 米德和阿波罗尼奥斯三大数学家,他们的成 就标志了古典希腊数学的颠峰。

1、欧几里得与几何《原本》
? “原本” 原意是指一学科中具有广泛应用的 最重要的定理。欧几里得在这本原著中用公 理法对当时的数学知识作了系统化、理论化 的总结。全书共分13卷,包括有5条公理、5 条公设、119个定义和465条命题,构成了历 史上第一个数学公理体系。 第1卷作为全书之 首,给出了一些最基本的定义,如“点是没 有部分的”;“线是没有宽度的长”;“面 是只有长度和宽度的”;等等。接下来我们 一起来看看他的公理和公设。

? 公设: (1)假定从任意一点到任意一 点可作一直线; (2)一条有限直线可 不断延长; (3)以任意中心和直径可 以画圆; (4)凡直角部彼此相等; (5)若一直线落在两直线上所构成的 同旁内角和小于两直角,那么把两直线 无限延长,它们将在同旁内角和小于两 直角的一侧相交。

? 公理: (1)等于同量的量彼此相等; (2)等量加等量,和相等; (3)等量 减等量,差相等; (4)彼此重合的图 形是全等的; (5)整体大于部分。 欧 几里得以这些基本定义、公设和公理作 为全书推理的出发点。

? 欧几里得《原本》可以说是数学史上的 第一座理论丰碑。它最大的功绩,是在 于数学中演绎范式的确立,这种范式要 求一门学科中的每个命题必须是在它之 前已建立的一些命题的逻辑结论,而所 有这样的推理链的共同出发点,是一些 基本定义和被认为是不证自明的基本原 理—公设或公理。这就是后来所谓的公 理化思想。

2、阿基米德的数学成就
? 阿基米德(公元前287一前212)出生于西西里岛 的叙拉古,早年曾在亚历山大城跟过欧几里 得的门生学习,后来虽然离开了亚历山大, 但仍与那里的师友保持着密切联系。他的许 多成果都是通过与亚历山大学者的信而保存 下来。因此,阿基米德通常被看成是亚历山 大学派的成员。 阿基米德著述极为丰富,内 容涉及数学、力学及天文学等,其中流传于 世的有: (1)《圆的度量》;

? (2)《抛物线求积》; (3)《论螺线》; (4)《论球和圆柱》; (5)《论劈锥曲 面和旋转椭球》; (6)《引理集》; (7)《处理力学问题的方法》; (8) 《论平面图形的平衡或其重心》; (9) 《论浮体》; (10)《砂粒计数》; (11)《牛群问题》。

? 阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积 计算相关的问题。 (1)在《圆的度量》中, 阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公 式。他从圆内接正三角形出发,边数逐次加 倍,计算到正96边形而得到圆周率 的近似 于22/7; (2)在《论球和圆柱》中,阿基米 德运用穷竭法证明了与球的面积和体积有关 的公式; (3)发现了浮力定律并用它来解决 了皇冠难题; (4)与欧几里得相比,阿基米 德可以说是一位应用数学家。 “给我一个支 点,我就可以移动地球!”这就是著名的杠杆 原理的生动体现。

3、阿波罗尼奥斯与圆锥曲线 论
? 阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学。 但他最重要的数学成就是在前人工作的基础 上创立了相当完美的圆锥曲线理论。《圆锥 曲线论》就是这方面的系统总结。这部以欧 几里得严谨风格写成的巨著对圆锥曲线研究 所达到的高度,直至17世纪笛卡儿、帕斯卡 出场之前,始终无人能够超越。 阿波罗尼奥 斯第一次从一个对顶(直圆或斜圆)锥得到所有 的圆锥曲线,并给以正式的命名,现在通用 的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。

? 《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何 的最高成就。 阿波罗尼奥斯用纯几何的 手段得到了今日解析几何的一些主要结 论,这是令人惊叹的。但另一方面,这 种纯几何的形式,不仅使这部著作本身 晦涩难懂,同时也使其后数千年间的几 何学裹足不前。几何学中的新时代,要 到17世纪,笛卡儿等人起来打破希腊式 的演绎传统后才得以来临

三、亚历山大后期和希腊数 学的衰落
? 崛起于意大利半岛中部的罗马民族,在公元 前1世纪完全征服希腊各国而夺得了地中海地 区的霸权,并建立了强大的罗马帝国。唯理 的希腊文明从此被务实的罗马文明所取代。 罗马统治下的亚历山大城,由于希腊文化的 惯性影响以及罗马统治者对那里的自由研究 的宽松态度,在相当长—段时间内仍然维持 着学术中心的地位,并产生了一批杰出的数 学家和数学著作.通常把从公元前30年到公 元6世纪的这—段时期,称为希腊数学的“亚 历山大后期”。

三角学与托勒密
? 托勒密(约100~170)是古希腊天文学家、

地理学家和数学家,长期在亚历山大进 行天文观测.他继承和发展了希帕克斯 和梅内劳斯在三角和天文方面的工作, 完成了系统的三角学著作《数学汇编》

二、代数学与丢番图
? 第一次系统地提出代数符号的是丢番图 (Diophantus,约公元246~330年)生平不 详.他是希腊化了的巴比伦人.主要理论著 作《算术》是古代数学典籍之一,该书共十 三篇,很可惜的是现在仅存前六篇. ? “过路人!这里埋葬着丢番图,他的童年占 一生的1/6,过了1/12以后他开始长胡子,再 过1/7以后结了婚,婚后5年得子,可惜儿子只 活到父亲年龄的一半,丧子4年以后老人也渡 完了风烛残年”.

三、海伦的几何学


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