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山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试 1月 数学理试题 Word版含答案

山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
2013 年 1 月 命题人: 孙 宁 王俊亮 1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数(Ⅰ) (Ⅱ) 、导数及其应用、三角 函数、数列、不等式、向量、立体几何

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、 选择题: 本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ? 为第二象限角, sin ? ? A. ?
24 25

3

B. ?

12 25

C.
x? x? 2?

5 12

,则 sin 2 ? ? ( D.
24 25



25

2.设全集 U ? R , A ? { x | 2

? 1}, B ? { x | y ? ln ?1 ? x ?} ,

U

则右图中阴影部分表示的集合为( A. { x | x ? 1} C. { x | 0 ? x ? 1}



B. { x | 1 ? x ? 2} D. { x | x ? 1} )

3.已知各项均为正数的等比数列{ a n }中, a1 a 2 a 3 ? 5, a 7 a 8 a 9 ? 10, 则 a 4 a 5 a 6 ? ( A. 5 2 4. 已知 a ? 2 B.7
?1? ,b ? ? ? ?2?
? 0.8

C.6

D.4 2

1.2

, c ? 2 log 5 2 ,则 a , b , c 的大小关系为(

) D .
b?a?c

A. c ? b ? a

B.

c?a?b

C.

b?c?a

5.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的 半径为 1,则该几何体的体积为( A. 24 ?
3? 2

) C. 24 ? ? D. 2 4 ?

B. 2 4 ?

?
3

?
2

6.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
20? 25? 100? 200?

A.

B.

C.

D.

-1-

?x ? y ? 5 ? 0 ? 7.已知 x、 y 满足 ? x ? 3 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?x ? y ? 0 ?

)

A.

5

B.

-5
? ?

C .
? ?

6

D.

-6 )

8.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? A.向左平移 B.向左平移 C.向左平移 D.向左平移
?
3

? 的图象,只要将 y ? sin x ( x ? R ) 的图象上所有的点( 3 ?

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1 2

?
6

倍,纵坐标不变

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变
?
4

9.已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x = 对称轴,则 ? =( A . ) B .

和x =

5? 4

是函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻的
3? 4

?
4

?
3

C .

?
2

D .

10.若正数 x , y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3 x ? 4 y 的最小值是( A.
24 5

)

B.
e ?e
x ?x ?x

28 5

C.

5

D. 6

11.函数 y ? ln

e ?e
x

的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D. )

12.设 m , n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( ... A.当 n ? ? 时, n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 “ B.当 m ? ? 时, m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 “ C.当 m ? ? 时, n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 “ D.当 m ? ? 时, n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 “

-2-

山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
第 II 卷(共 90 分)
二填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13.设函数 f 1 ? x ? ?
x 1? | x | , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? ? ? x 1? 2 | x | , f3 ? x ? ? f ? f2 ? x ?? ? ? ? x 1? 3| x |

2013 年 1 月

? ? 当 n ? 2 时, f n ? x ? ? f ? f n ?1 ? x ? ? ? ? ?

14.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ? x ? ? x ? 1 , 则 f ? 2013.5 ? =_______________. 15.已知 ? ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 若 ,
???? ??? ? G 为 ? ABC 的重心,则 A G ? B C ? 错误!未找到引用源。



16. 已 知 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 为 f ' ? x ? , 且 满 足 f ? x ? ? 2 xf ' ?1 ? ? ln x , 则 f ? x ? 在 点
M ( 1 ,f

? 1 处的切线方程为 ? )

三解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)
17.(本题满分 12 分) 设 ? ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,且 b sin A ? (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3, sin C ? 2 sin A ,求 a , c 的值.
3 a cos B .

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? cos(
π 3 ? x ) cos( π 3 ? x ) ? sin x cos x ? 1 4

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)求函数 f ? x ? 单调递增区间
-3-

19.(本题满分 12 分) 已知球的直径为 10cm , 求它的内接圆锥体积的最大值, 并求出此时圆锥的底面半径和高.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 是等差数列, {b n } 是等比数列,且 a1 ? b1 ? 2 , b4 ? 54 ,
a1 ? a 2 ? a 3 ? b2 ? b3 .

(1)求数列 { a n } 和 {b n } 的通项公式 (2)数列 { c n } 满足 c n ? a n bn ,求数列 { c n } 的前 n 项和 S n .

21.(本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 P A B ? 面 ABCD ,
PA ? PB ? AB ? 1 2 A D , ? BAD ? 60 , E , F 分别为 AD , PC 的中点.
0

(1)求证: EF / / 面 PAB (2)求证: EF ? 面 PBD (3)求二面角 D ? P A ? B 的余弦值

P F B

C

A

E

D

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ?1 ? a ? x ?
1 2 x ,a ? R
2

(1)当 0 ? a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)已知 f ? x ? ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的范围.

-4-

山东师大附中 2010 级高三第四次模拟考试 数学(理工类)
一选择题(每题 5 分,共 60 分) 2 3 4 题号 1 答案 A B A A 5 A 6 C 7 D 8 A 9 A 2013 年 1 月 10 C 11 C 12 C

二填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13. f n ? x ? ?
x 1? n | x |

14.

3 2

15. 4

16. x ? y ? 1 ? 0

三解答题
17.【解析】 (1)? b sin A ? 即得 tan B ?
3 ,? B ? 3 a cos B ,由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B --3 分

?
3

.---------------------------------------------------6 分

(2)? sin C ? 2 sin A ,由正弦定理得 c ? 2 a ,-------------------------8 分 ? 2 2 由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos B , 9 ? a ? 4 a ? 2 a ? 2 a cos ,---------10 分
3

解得 a ?

3 ,? c ? 2 a ? 2 3 .-----------------------------------------12 分稿源:konglei
π 3 ? x ) cos( π 3
3 2 1 2

18【解析】(Ⅰ)? f ( x ) ? cos( :

? x) ?

1 2

sin 2 x ?

1 4 --------1 分

?(

1 2

co s x ?

3 2

sin x )(

1 2

co s x ?

sin x ) ?

sin 2 x ?

1

4 ----------

2分
1 4

?

1 4

cos x ?
2

3 4

sin x ?
2

1 2

sin 2 x ?

1 4

?

1 ? cos 2 x 8

?

3 ? 3 cos 2 x 8

?

1 2

sin 2 x ?

----4 分

?

1 2

(cos 2 x ? sin 2 x ) ?

? ? ? cos ? 2 x ? ? ------------------6 分 2 4? ?
2

函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? ,-------------------7 分
2 2

函数 f ( x ) 的最大值为

-------------8 分

(II)由 2 k ? ? ? ? 2 x ? 得 k? ?
5 8

?
4

? 2 k ? , k ? z ------------------10 分

? ? x ? k? ?

?
8

, k ? z ------------------------11 分 5? 8 , k? ?

函数 f ( x ) 的 单调递增区间为 [ k ? ?

?
8

], k ? z ------------12 分

-5-

2 2 2 2 19【解析】设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,则 ? h ? 5 ? ? r ? 5 ? r ? 10 h ? h ----2 分 2

V锥 =

1 3

?r h ?
2

?
3

h ?10 h ? h
2

2

? ? 3 ?10 h

?

2

?h

3

? --------------------5 分

V '? h ? ?
h? 20 3

?

? 20 h ? 3 h ? ? 3

?
3

h ? 20 ? 3 h ? , 令 V ' ? h ? ? 0 ,

,------------7 分

? 20 ? ? 20 ? h ? ? 0, ,10 ? , V ' ? h ? ? 0 ? , V ' ? h ? ? 0; h ? ? 3 ? ? ? 3 ? 20 ? 20 ? ? 20 ? V ? h ? 在 ? 0, ? ? , 在 ? , ? ? ;当h ? 10 时,V ?h?最大 3 ? 3 ? ? 3 ?

---9 分
V m ax ? 4000 ? 81
20 3 ,r ? 10 2 3

,----------------------11 分

此时 h ?

--------------------------12 分

20. 【解析】(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q : 由 b4 ? b1q 3 ,得 q 3 ?
54 2 ? 27 ,从而 q ? 3

因此 b n ? b 1 ? q n ? 1 ? 2 ? 3 n ? 1

???????????????3 分

又 a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? b2 ? b3 ? 6 ? 18 ? 24 ,? a2 ? 8 从而 d ? a2 ? a1 ? 6 ,故 a n ? a 1 ? ( n ? 1 ) ? 6 ? 6 n ? 4 ???????????6 分 (Ⅱ) c n ? a n b n ? 4 ? ( 3 n ? 2 ) ? 3
0 1 2 n?1

令Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? ? ? (3n ? 5) ? 3
3T n ? 1 ? 3 ? 4 ? 3 ? 7 ? 3 ? ? ? ( 3 n ? 5 ) ? 3
1 2 3

n? 2

? (3n ? 2) ? 3
n

n?1

n?1

? ( 3 n ? 2 ) ? 3 ?????9 分

两式相减得
? 2T n ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3
1 2 3
n ?1

n?1

? (3n ? 2) ? 3

n

? 1? 3?

3( 3

n?1

? 1)

3?1

? (3n ? 2) ? 3 ? 1 ?
n

9(3

? 1)

? 3n ? 2) ? 3 (

n

2
? Tn ? 7 4 ? 3 (6 n ? 7 )
n

4

,又 S n ? 4T n ? 7 ? (6 n ? 7 ) ? 3

n

?????????12 分

-6-

20【解析】 (1) 取 P B的 中 点 , 连 F G ,由 题 设 F G / / B C , F G ?
P

1 2

B C -----1 分

? AE / / BC , AE ?

1 2

BC ? FG / /AE
F

AEFG是 平 行 四 边 形 ,所以 EF / / AG ---2 分
AE ? 面 PAB , EF ? 面 PAB ? EF / /面 PAB

G
B C

------------------------4 分
A E D

(2) ? ? PAB 是 等 边 三 角 形 , AG ? PB ----------------①
? A B D中 , A D ? 2 A B , ? B A D ? 60 , 由 余 弦 定 理
0

B D ? A B ? A D ? 2 A B ? A D ? cos 60 ? A D ? A B
2 2 2 0 2

2

所以 B D ? A B -------6 分

? ? A B D ? 90

0

面 PAB ? 面 ABCD , BD ? AB ? DB ? 面 PAB

DB ? AG -----------------------②--------------------------------------------------7 分

由 ①②可知, A G ? P B , A G ? B D ? A G ? 面 P B D
又 E F / / A G ,? E F ? 面 P B D -----------------------------------------------9 分

(3)取 P A 的中点 N , 连 B N , D N
? PAB 是 等 边 三 角 形 ? BN ? PA
? Rt?PBD ~Rt?ABD ? PD ? AD

P F

N

B

C

? AN ? PB ? ANB ? ? 是二面角 D ? P A ? B

的平面角 ----------------------------11 分
A

由 (2)知 B D ? 面 P A B , B D ? B N
在 Rt ? D BN 中 , BD ?
BD BN

E

D

3 AB ? 2 BN
5 5 5 5

tan ? ?

? 2, cos ? ?

即二面角 D ? P A ? B 的余弦值为

---------------12 分

解法二 (1)
? A B D中 , A D ? 2 A B , ? B A D ? 60 , 由 余 弦 定 理
0

B D ? A B ? A D ? 2 A B ? A D ? cos 60 ? A D ? A B
2 2 2 0 2

2

所以 B D ? A B

? ? A B D ? 90

0

-7-

面 PAB ? 面 ABCD , BD ? AB ? DB ? 面 PAB

z
P F

建系 { B A , B D , z } 令 AB ? 2
A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3 , 0 , P 1, 0, 3 , C ? 2, 2 3 , 0
??? ? 1 ??? ???? ? 1 3 EF ? AP ? DC ? ? 3, 0, 3 ? ? 3 , 0,1 2 2 2

??? ???? ?

?

? ?
?

? ?

?
?

?

?

?

?

B

C

因为平面 PAB 的法向量 n 2 ? ? 0,1, 0 ?
??? ?? ? ? EF ? n 2 ? 0 ? EF / / 面 PAB
???? ??? ? (2) B D ? 0, 2 3 , 0 , B P ? 1, 0, 3
A D

?? ?

x

E

?

?

?

?
??? ? AP ? ?1 , 0 ,

y

??? ???? ? ??? ??? ? ? E F ? B D ? 0, E F ? B P ? 0
??

EF ? BD , EF ? BP ? EF ? 面 PBD

(3) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?
?? ??? ? ? n1 ? A P ? ? x ? 3 z ? 0 ? 令x ? ? ?? ???? ? n1 ? A D ? ? 2 x ? 2 3 y ? 0 ? ?? ? 平面 PAB 的法向量 n 2 ? ? 0,1, 0 ?

?

, ? 3 A D ? ? ? 2, 2

????

3, 0

?

?? 3 所以 n1 ?

?

3 ,1,1

?

?? ?? ? 5 1 ,即二面角 D ? P A ? B 的余弦值为 cos ? n1 , n 2 ?? 5 5

22【解析】 f ?? x ? ? :

a x

? x ? ?1 ? a ? ?

x ? ?1 ? a ? x ? a
2

?

? x ? 1?? x ? a ?
x

x

-----2 分

(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时, f ?? x ?、 f ? x ? 的变化情况如下表:
x

?0, a ?
+ 单调递增

a

? a ,1 ?
单调递减

1 0 极小值

?1, ? ? ?
+ 单调递增

f ?? x ?
f ?x ?

0 极大值

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ?0 , a ?, ?1, ?? ? ,单调递减区间是 ? a ,1 ? ??????6 分 (Ⅱ)由于 f ?1 ? ? ? 是恒成立的,
1 2 ? a ,显然 a ? 0 时, f ?1 ? ? 0 ,此时 f ? x ? ? 0 对定义域内的任意 x 不

----------------------------------9 分
1 2 ? a ,此时

? 当 a ? 0 时,易得函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? ? 的极小值、也是最小值即是 f ?1 ? ? ?

只要 f ?1 ? ? 0 即可,解得 a ? ?

1

,? 实数 a 的取值范围是 ? - ? , ? .-----------14 分 2 2? ?
-8-

?

1?

-9-


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