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2018-2019学年数学人教A版选修4-5优化练习:第四讲+达标检测+Word版含解析

2018-2019 学年达标检测 时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 用数学归纳法证明“对任意 x>0 和正整数 n, 都有 xn+xn-2+xn-4+…+
n-2+ n≥n+1”时,需要验证的使命题成立的最小正整数值

1 + xn-4

1

x

1 x

n0 应为(

)

A.n0=1 C.n0=1,2

B.n0=2 D.以上答案均不正确

1 解析:当 n0=1 时,x+x≥2 成立,故选 A. 答案:A 2.从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶,每步只能跨上 1 级或 2 级,走完这 n 级 台阶共有 f(n)种走法,则下面的猜想正确的是( A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3) B.f(n)=2f(n-1)(n≥2) C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2) D. f(n)=f(n-1) f(n-2)(n≥3) ?n,n=1,2, 解析:分别取 n=1,2,3,4 验证,得 f(n)=? ?f?n-1?+f?n-2?,n≥3. 答案:A 3.设凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形的对角形的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1 B.f(n)+n D.f(n)+n-2 ) )

解析:凸 n+1 边形的对角线的条数等于凸 n 边形的对角线的条数,加上多的那 个点向其他点引的对角线的条数(n-2)条,再加上原来有一边成为对角线,共有 f(n)+n-1 条对角线,故选 C. 答案:C 4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,n∈N+能被 9 整除”,利用归纳假 设证 n=k+1,只需展开( )

A.(k+3)3 C.(k+1)3

B.(k+2)3 D.(k+1)3+(k+2)3

解析:n=k 时,式子为 k3+(k+1)3+(k+2)3, n=k+1 时,式子为(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3, 故只需展开(k+3)3. 答案:A 5.下列说法中正确的是( )

A.若一个命题当 n=1,2 时为真,则此命题为真命题 B.若一个命题当 n=k 时成立且推得 n=k+1 时也成立,则这个命题为真命题 C.若一个命题当 n=1,2 时为真,则当 n=3 时这个命题也为真 D.若一个命题当 n=1 时为真,n=k 时为真能推得 n=k+1 时亦为真,则此命 题为真命题 解析:由完全归纳法可知,只有当 n 的初始取值成立且由 n=k 成立能推得 n=k +1 时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C 项均不全面. 答案:D 6.平面内原有 k 条直线,它们的交点个数记为 f(k),则增加一条直线 l 后,它们 的交点个数最多为( A.f(k)+1 C.f(k)+k+1 ) B.f(k)+k D.k· f(k)

解析:第 k+1 条直线与前 k 条直线都相交且有不同交点时,交点个数最多,此 时应比原先增加 k 个交点. 答案:B 7.用数学归纳法证明 34n+1+52n+1(n∈N+)能被 8 整除时,若 n=k 时,命题成立, 欲证当 n=k+1 时命题成立,对于 34(k+1)+1+52(k+1)+1 可变形为( A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1) B.34×34k+1+52×52k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1) 解析:由 34(k+1)+1+52(k+1)+1=81×34k+1+25×52k+1+25×34k+1-25×34k+1 =56×34k+1+25(34k+1+52k+1). )

答案:A 8.数列{an}的前 n 项和 Sn=n2· an(n≥2),而 a1=1 通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 等于( 4 A. ?n+1?2 1 C. n 2 -1 ) B. 2 n?n+1? 1 2n-1

D.

1 2 解析:由 a2=S2-S1=4a2-1 得 a2=3= 2×3 1 1 2 由 a3=S3-S2=9a3-4a2 得 a3=2a2=6= . 3×4 3 1 2 2 由 a4=S4-S3=16a4-9a3 得 a4=5a3=10= ,猜想 an= . 4×5 n?n+1? 答案:B 9.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+)时, 从 k 到 k+1,左边需要增加的代数式为( A.2k+1 2k+1 C. k+1 )

B.2(2k+1) D. 2k+3 k+1

解析:当 n=k 时左边的最后一项是 2k,n=k+1 时左边的最后一项是 2k+2, 而左边各项都是连续的,所以 n=k+1 时比 n=k 时左边少了(k+1),而多了 (2k+1)· (2k+2).因此增加的代数式是 答案:B 10.把正整数按如图所示的规律排序,则从 2 018 到 2 020 的箭头方向依次为 ( ) ?2k+1??2k+2? =2(2k+1). k+1

A.↓→ C.↑→

B.→↓ D.→↑

解析:由 2 018=4×504+2,而 an=4n 是每一个下边不封闭的正方形左上顶点 的数,故应选 D.

答案:D n4+n2 11.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2= 2 ,则当 n=k+1 时左端应 在 n=k 的基础上加上( A.k2 B.(k+1)2 ?k+1?4+?k+1?2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 解析:∵当 n=k 时,左端=1+2+3+…+k2, 当 n=k+1 时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2, 故应选 D. 答案:D 12.若 k 棱柱有 f(k)个对角面,则 k+1 棱柱的对角面的个数为( A.2f(k) C.f(k)+k B.f(k)+k-1 D.f(k)+2 ) )

解析:如图所示是 k+1 棱柱的一个横截面,显然从 k 棱柱到 k+1 棱柱,增加了从 Ak+1 发出的对角线 k-2 条,即相应对角面 k-2 个, 以及 A1Ak 棱变为对角线(变为相应的对角面).故 f(k+1)=f(k)+(k-2)+1=f(k)+k-1. 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 1 1 1 1 13 . 已 知 n 为 正 偶 数 , 用 数 学 归 纳 法 证 明 1 - 2 + 3 - 4 + … + = n+1 1 1? ? 1 2?n+2+n+4+…+2n?时,若已假设 n=k(k≥2 为偶数)时命题为真,则还需要 ? ? 用归纳假设再证 n=________时等式成立. 解析:∵n=k 为偶数,∴下一个偶数为 n=k+2. 答案:k+2

14. 在数列{an}中, a1=1, 且 Sn, Sn+1,2S1 成等差数列, 则 S2, S3, S4 分别为________, 猜想 Sn=________. 解析:S1=1,2Sn+1=Sn+2S1. 3 当 n=1 时,2S2=S1+2=3,S2=2; 7 当 n=2 时,2S3=S2+2,S3=4; 15 当 n=3 时,2S4=S3+2,S4= 8 . 2n-1 猜想 Sn= n-1 . 2 3 7 15 答案:2、4、 8 2n-1 2n-1

1 ? ? 1 ? 1?? ? 15.设 f(n)=?1+n??1+n+1?…?1+n+n?,用数学归纳法证明 f(n)≥3.在“假设 ? ?? ? ? ? n=k 时成立”后,f(k+1)与 f(k)的关系是 f(k+1)=f(k)· ________. 解析:当 n=k 时, 1 ? ? 1 ? 1?? ? f(k)=?1+k??1+k+1?…?1+k+k?; ? ?? ? ? ? 当 n=k+1 时,f(k+1) 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? =?1+k+1??1+k+2?…?1+2k+2?, ? ?? ? ? ? 1 ?? 1 ? k ? 所以应乘?1+2k+1??1+2k+2?· . ? ?? ? k+1 1 ?? 1 ? k ? 答案:?1+2k+1??1+2k+2?· ? ?? ? k+1 16. 有以下四个命题: (1)2n>2n+1(n≥3). (2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1). (3)凸 n 边形内角和为 f(n)=(n-1)π(n≥3). (4)凸 n 边形对角线条数 f(n)= n?n-2? 2 (n≥4).

其中满足“假设 n=k(k∈N+, k≥n0)时命题成立, 则当 n=k+1 时命题也成立. ” 但不满足“当 n=n0(n0 是题中给定的 n 的初始值)时命题成立”的命题序号是

________. 解析:当 n 取第一个值时经验证(2),(3),(4)均不成立,(1)不符合题意,对于(4) 假设 n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,则当 n=k+1 时命题不成立.所以(2)(3) 正确. 答案:(2)(3) 三、解答题(本大题共有 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(12 分)用数学归纳法证明对于整数 n≥0,An=11n+2+122n+1 能被 133 整除. 证明:(1)当 n=0 时,A0=112+12=133 能被 133 整除. (2)假设 n=k 时,Ak=11k+2+122k+1 能被 133 整除. 当 n=k+1 时, Ak+1=11k+3+122k+3=11· 11k+2+122· 122k+1 =11· 11k+2+11· 122k+1+(122-11)· 122k+1. =11· (11k+2+122k+1)+133· 122k+1. ∴n=k+1 时,命题也成立. 根据(1)(2),对于任意整数 n≥0,命题都成立. xn 1 1 18.(12 分)设{xn}是由 x1=2,xn+1= 2 +x (n∈N+)定义的数列,求证:xn< 2+n.
n

证明:(1)当 n=1 时,x1=2< 2+1,不等式成立. 1 (2)假设当 n=k(k≥1)时,不等式成立,即 xk< 2+ k,那么,当 n=k+1 时,xk+1 xk 1 = 2 +x . k 1 xk 2 1 由归纳假设,xk< 2+ k,则 2 < 2 +2k, 1 xk> 1 2 . ∵ x k> 2,∴ < 1 xk 2 . 2+ k 1

xk 1 2 1 2 1 1 ∴xk+1= 2 +x < 2 +2k+ 2 = 2+2k≤ 2+ . k + 1 k 即 xk+1< 2+ 1 . k+1

1 ∴当 n=k+1 时,不等式 xn< 2+n成立. 1 综上,得 xn< 2+n(n∈N+). 19.(12 分)证明:tan α· tan 2α+tan 2α· tan 3α+…+tan(n-1)α· tan nα= tan nα tan α -n(n≥2,n∈N+). 证明:(1)当 n=2 时,左边=tan α· tan 2α, tan 2α 2tan α 1 右边= tan α -2= · -2 1-tan2α tan α 2 = -2 1-tan2α 2tan2α tan α· 2tan α = =tan α· tan 2α=左边,等式成立. 2 = 1-tan α 1-tan2α (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即 tan kα tan α· tan 2α+tan 2α· tan 3α+…+tan(k-1)α· tan kα= tan α -k. 当 n=k+1 时, tan α· tan 2α+tan 2α· tan 3α+…+tan(k-1)α· tan kα+tan kα· tan(k+1)α tan kα = tan α -k+tan kα· tan(k+1)α tan kα[1+tan α· tan?k+1?α] = -k tan α 1 ? tan?k+1?α-tan α ? ?[1+tan(k+1)α ·tan α ]-k =tan α? tan α? ?1+tan?k+1?α· 1 =tan α[tan(k+1)α -tan α ]-k tan?k+1?α = tan α -(k+1), 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)和(2)知,当 n≥2,n∈N+时等式恒成立. 20.(12 分)数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N+). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1. 3 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=2. 7 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=4. 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4, 15 ∴a4= 8 . 2n-1 由此猜想 an= n-1 (n∈N+). 2 (2)证明:当 n=1 时,a1=1,结论成立. 2k-1 假设 n=k(k≥1 且 k∈N )时,结论成立,即 ak= k-1 , 2
*

那么 n=k+1(k≥1 且 k∈N+)时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1. 2k-1 2+ k-1 2 2+ak 2k+1-1 ∴2ak+1=2+ak,∴ak+1= 2 = = 2k . 2 这表明 n=k+1 时,结论成立, 2n-1 所以 an= n-1 (n∈N+). 2 21.(13 分)在平面内有 n 条直线,每两条直线都相交,任何三条直线不共点,求 证:这 n 条直线分平面为 n2+n+2 个部分. 2

12+1+2 证明:(1)当 n=1 时,一条直线把平面分成两部分,而 f(1)= =2,所以 2 命题成立. (2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,即 k 条直线把平面分成 f(k)= k2+k+2 个部分. 2

则当 n=k+1 时,即增加一条直线 l,因为任何两条直线都相交,所以 l 与 k 条 直线都相交,有 k 个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这 k 个交点不同于 k 条直线的交点,且 k 个交点也互不相同,如此 k 个交点把直线 l 分成 k+1 段, 每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加了 k+1 个平面部分.

k2+k+2 k2+k+2+2k+2 所 以 f(k + 1) = f(k) + k + 1 = +k+1= = 2 2 ?k+1?2+?k+1?+2 . 2 所以当 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知当 n∈N+时,命题成立, 即平面上通过同一点的 n 条直线分平面为 n2+n+2 个部分. 2

xn?x2 n+3? 22.(13 分)设 x1>0,x1≠1,且 xn+1= 2 ,n∈N+.用数学归纳法证明:如果 3xn+1 0<x1<1,则 xn<xn+1. 证明:用数学归纳法证明: 如果 0<x1<1,则 0<xn<1. x1?x2 1+3? (1)n=1 时,x2= 2 , 3x1+1 因为 0<x1<1,所以(x1-1)3<0.
3 2 则有 x1 +3x1<3x1 +1,

故 x2=

3 x1?x2 1+3? x1+3x1 = 2 <1. 2 3x1+1 3x1+1

故 n=1 时命题成立. (2)当 n=k(k≥1)时命题成立, 即 0<xk<1,(xk-1)3<0. 也有 x3 k +3xk 3 2 xk +3xk<3xk +1,即 2 <1. 3xk +1

3 xk?x2 k +3? xk +3xk 故 xk+1= 2 = 2 <1. 3xk +1 3xk +1

且 xk+1>0. 由(1)、(2)知 n∈N+时命题都成立. xn?x2 n+3? xn-xn+1=xn- 2 3xn+1
3 3x3 n+xn-xn-3xn = 2 3xn +1

2xn?xn+1??xn-1? = <0,于是 xn<xn+1. 2 3xn +1

没有平日 的失败 ,就没 有最终 的成功 。重要 的是分 析失败 原因并 吸取教 训。