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2015年高二下学期期末考试数学(理科)试题


2015 年高二下学期期末考试数学(理科)试题
第I卷(选择题共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项是符合要求的,请将正确的选项涂写在答题卡上。 ) 1、已知随机变量 X~B(6,0.4),则当 η =-2X+1 时,D(η )=( A.-1.88 B.-2.88 ). D.(105,115] C.5.76 D.6.76 ).

2、 已知一次考试共有 60 名同学参加,考生成绩 X~N(110,52),据此估计,大约有 57 人的分数所在的区间为( A.(90,100] B.(95,125] C.(100,120] 2x 3、曲线 f(x)=e 在点(0,1)处的切线方程为( ) 1 A.y= x+1 2 B.y=-2x+1 C.y=2x+1

D.y=2x-1

4.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系,随机抽取了部分工人,得到如下列表: 文化程度与月收入列表 月收入 2000 元以下 高中文化以上 高中文化及以下 总计 10 20 30
2

(单位:人) 总计 55 50 105

月收入 2000 元及以上 45 30 75

由上表中数据计算得 K =

105 ? ?10 ? 30 ? 20 ? 45 ? 55 ? 50 ? 30 ? 75

0.10 2.706

2

? 6.109,请根据下表,估计有多大把握

认为“文化程度与月收入有关系” (

P(K2>k) k

0.50 0.455

0.40 0.70 8 B.99%

0.25 1.323

0.15 2.072

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.00 1 10.8 3

A.1%

C.2.5%

D.97.5%

5、 1 ? x

?

? ?1? x ? 的展开式中 x 的系数是(
6 4

) D .4

A.-4 B.-3 C.3 6、下列命题中,正确的命题个数 ( ) 相关性;

①用相关系数 r 来判断两个变量的相关性时,r 越接近 0,说明两个变量有较强的 ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变; ③设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ >1)=p,

-1-

1 则 P(-1<ξ ≤0)= -p; 2 ④回归直线一定过样本点的中心( x , y ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) D.180 )

7、某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个 班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为( A.60 B.90
10

C.120

8、二项展开式(2x-1) 中 x 的奇次幂项的系数之和为(

1+310 A. 2

1-310 B. 2

310-1 C. 2

1+310 D.- 2

9、一个电路如图所示, C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合的 1 概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是( 2 A.
9 16

) D.
3 16

B.

7 16

C.

13 16

10 、 函 数 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 函 数 , 对 任 意 实 数 x 都 有

f ( x) ? f (2 ? x) 成 立 . 若 当

x ? 1 时 , 不 等 式 ( x ? 1) ? f ?( x) ? 0 成 立 , 设


4 a ? f (0.5) , b ? f ( ) , c ? f (3) ,则 a , b , c 的大小关系是 ( 3
A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填写在试题的横 线上。 )

lim 11 y ? f ( x)在x ? x0处可导,且 ? x ?0
12、若 n 为正偶数,则 7 余数是________.
n

f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ? 1, 则f ?( x0 ) ? ____ ?x
2

+Cn·7

1

n -1

+Cn·7

n-2

+?+Cn ·7 被 9 除所得的

n-1

13、四个不同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共 有________种(用数字作答). 14、从编号为 1,2,??10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,已知选出 4 号球的 条件下,选出球的最大号码为 6 的概率为________. 15、已知函数 f(x)=x
3

+2x -ax+1 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则

2

实数 a 的取值范围是________.

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤。

1 ? ?3 x ? ? ? 16、 (本小题满分 12 分)已知在 2 3 x ? 的展开式中,第 6 项为常数项. ?
(1)求 n; (2)求含 x2 项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

n

17.(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明:
1 1 1 1 n +1 当 n≥2,n∈N+时,(1- )(1- )(1- )?(1- 2)= . 4 9 16 n 2n

18. (本小题满分 12 分)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学. 在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同 的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学, 到希望小学进行支教活动 (每 位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期 望.

19、 (本小题满分 12 分)甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出 的概率为 0.6 , 被甲或乙解出的概率为 0.92 , (1) 求该题被乙独立解出的概率; (2)
-3-

求解出该题的人数 ? 的数学期望和方差.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? 9 x ? 2, 若x ?

1 是f ( x) 2 的一个极

3x ? 值点,且 f ( x) 的图像在 x ? 1处的切线与直线
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式及单调区间
?1 ? x ? ? , 2? ? 4 ? 都有 (Ⅱ)若对任意的

y ? 1 ? 0 平行,

f ( x) ? t 2 ? 2t ? 1 成立,求函数 g (t ) ? t 2 ? t ? 2

的最值

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x3+ax2-3x(a∈R). (1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x= 是函数 f(x)的极值点,求函数 f(x)在[-a,1]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图 象恰有 3 个交点?若存在,请求出 b 的取值范围;若不存在,请说明理由.

-4-

数学答案
一、选择题: 1、答案:C 解析:由已知 D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则 D(η )=4D(X)=4×1.44=5.76. 2、答案:C 解析:∵X~N(110,5 ),
∴μ =110,σ =5.=0.95≈P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=P(100<X≤120).∴X∈(100,120] 3、 3、【解析】 y′=e ·(2x)′=2e .∴k=2,∴切线方程为 y-1=2(x-0),即 y=2x+1.故选 C.【答案】 C
2x 2x

2

4、答案:D
5、答案:B 6、【解析】 ①错误,r 越接近 0,说明两个变量有较弱的相关性;②正确,据公式易知,将一 1- ξ > 2 1 2 组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差不变,一般地, E(aξ +b)=aEξ +b ,D(aξ +b) =a Dξ (a,b 为常数);③正确,据正态分布的对称性易得 P(-1<ξ ≤0)=
2



- p ;④正确,回归直线一定过样本点的中心 ( x , y ) ,这个作为一个性质考生应理解并熟记 它.综上可知共有 3 个正确命题,故选 C.【答案】 C
2 C4 1 2 ? C4 种,把这两组人安 2 A2 2

7、解析:把新转来的 4 名学生平均分两组,每组 2 人,分法有

1 2 2 排到 6 个班中的某 2 个中去,有 A62 种方法,故不同的安排种数为 A6 C4 ,故选答案B. 2
8、解析:选 B.设(2x-1) =a0+a1x+a2x +?+a10x ,令 x=1,得 1=a0+a1+a2+?+a10,再令 x=-1,得 3 =a0-a1+a2-a3+?-a9+a10,两式相减可得 a1+a3+?+a9= 9、解析:选 C.
10 10 2 10

1-3 ,故选 B. 2

10

-5-

10、【答案】:A【解析】因为对任意实数 x 都有 f ( x) ? f (2 ? x) 成立,所以函数的图象关于

x ? 1 对称,又由于若当 x ? 1 时,不等式 ( x ? 1) ? f ?( x) ? 0 成立,所以函数在 ?1, ?? ? 上单调

4 b? f( ) 3? 3 ? a ? f ? 0.5? ? f ? 递减,所以 ? ? ? f ? 3? ?2?
二、填空题: 11、答案: -

1 3
n n n n n
1

12、 【解析】 原式=(7+1) -Cn=8 -1=(9-1) -1=9 -Cn·9
-1

n-1

+Cn·9

2

n-2

-?+Cn ·9(-1)

n-1

n

+(-1) -1,又 n 为正偶数,(-1) -1=-2=-9+7,故余数为 0

n

n

【答案】 0

13、答案:42

14、【解析】

令事件 A={选出的 4 个球中含 4 号球},

B={选出的 4 个球中最大号码为 6}.
依题意知 n(A)=C9=84,n(AB)=C4=6,∴P(B|A)=
3 2

n AB 6 1 1 = = .【答案】 n A 84 14 14

15、 -1<a<7

[解析] 易知 f′(x)=3x +4x-a.因为函数在区间(-1, 1)上恰有一个极值点,
2

2

所以 g(x)=3x +4x-a=0 在区间(-1, 1)上只有一个解, 故有 g(-1)·g(1)<0? (-1-a)(7 -a)<0? -1<a<7.
三、解答题:

16、解

(1)通项公式为 Tr+1=Cnx

r

n-r? 1?r

?- ? 3 ? 2?

x

?

2 3

1?r x r? =Cn?- ? ? 2?

n?2r 3

,∵第 6 项为常数项,

∴r=5 时,有 (2)令

n-2r
3

=0,即 n=10.

n-2r
3

1?2 45 1 2 ? =2,得 r= (n-6)=2,∴所求的系数为 C10?- ? = . 2 ? 2? 4

10-2r ? ? 3 ∈Z, (3)根据通项公式,由题意得? 0≤r≤10, ? ?r∈N, 令 10-2r 3 =k (k∈Z),则 10-2r=3k,即 r=5- k. 3 2

∵r∈N,∴k 应为偶数.∴k 可取 2,0,-2,即 r 可取 2,5,8. ∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为

-6-

1?2 2 1?5 1?8 -2 2 ? 5 ? 8 ? C10?- ? x ,C10?- ? ,C10?- ? x . ? 2? ? 2? ? 2? 17、略

(1)49/60 (2) x P 0 1/6 1 1/2 2 3/10 3 1/30

19、解: (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A, B 设甲独立解出此题的概率为 P 1 ,乙为 P 2

则 P( A) ? P 1 ? 0.6, P( B) ? P 2
P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? (1 ? P 1 )(1 ? P 2) ? P 1?P 2 ?P 1P 2 ? 0.92 ? 0.6 ? P2 ? 0.6 P2 ? 0.92 则0.4 P2 ? 0.32即P2 ? 0.8 (2) P (? ? 0) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P (? ? 1) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44 P (? ? 2) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48

?的概率分布为 :
?
0 0.08

1
0.44

2
0.48

P

E? ? 0 ? 0.08 ? 1 ? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4 D? ? (0 ? 1.4) 2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4) 2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4) 2 ? 0.48 ? 0.1568? 0.0704? 0.1728? 0.4 或利用D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 ? 2.36 ? 1.96 ? 0.4
20. (1)增区间 (-∞, 1/2) (3/2, +∞) 减区间 (1/2, 3/2) (2)g(t)max=10 g(t)min=-9/4 21.(1)a≥0.(2)f(x)在[-a,1]上的最大值是 f(-3)=18.(3)满足条件的 b
-7-

存在,其取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).

-8-


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