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第一章 集合与函数概念 章末综合检测(人教A版必修1)


第一章

集合与函数概念 章末综合检测
(时间 90 分钟,满分 120 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2013· 湖北高考)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,4},则 B∩ ?UA=( ) B.{3,4} D.{2,3,4,5}

A.{2} C.{1,4,5}

【解析】 ∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},∴?UA={3,4,5}, ∴B∩?UA={2,3,4}∩{3,4,5}={3,4}. 【答案】 B 2.下列各组函数表示相等函数的是( x2-9 A.y= 与 y=x+3 x-3 B.y= x2-1 与 y=x-1 C.y=x0(x≠0)与 y=1(x≠0) D.y=2x+1(x∈Z)与 y=2x-1(x∈Z) 【解析】 A 中两个函数定义域不同;B 中 y= x2-1=|x|-1,所以两函数解析 式不同;D 中两个函数解析式不同,故选 C. 【答案】 C 3.设 M={1,2,3},N={e,g,h},从 M 至 N 的四种对应方式如下图所示,其中 是从 M 到 N 的映射的是( ) )

【解析】 A 选项中,元素 3 在 N 中有两个元素与之对应,故不正确;同样 B、 D 选项中集合 M 中也有一个元素与集合 N 中两个元素对应,故不正确;只有 C 选项

符合映射的定义. 【答案】 C 4. (2013· 天津高考)已知集合 A={x∈R||x|≤2}, B={x∈R|x≤1}, 则 A∩B=( A.(-∞,2] C.[-2,2] B.[1,2] D.[-2,1] )

【解析】 由已知得 A={x|-2≤x≤2},于是 A∩B={x|-2≤x≤1}. 【答案】 D x 5.函数 f(x)=|x|的图象是( )

A

B

C

D

?1,x>0 x ? 【解析】 由于 f(x)=|x|=? 所以其图象为 C. ? ?-1,x<0,

【答案】 C 6.下列函数是偶函数的是( A.y=x C.y= 1 x ) B.y=2x2-3 D.y=x2,x∈[0,1]

【解析】 A 选项是奇函数;B 选项为偶函数;C、D 选项的定义域不关于原点 对称,故为非奇非偶函数. 【答案】 B 7.(2012· 安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 )

B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

【解析】 A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),满足要求; B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),满足要求; C,f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),不满足要求; D,f(2x)=-2x=2f(x),满足要求.

【答案】 C 8.(2013· 重庆高考) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为( A.9 C.3 【解析】 = ?3-a??a+6?= -a2-3a+18= 9 B.2 3 2 D. 2 9? 81 ? -?a2+3a+4?+ 4
? ?

)

3? 81 ? -?a+2?2+ 4 ,
? ?

3 9 由于-6≤a≤3,∴当 a=-2时, ?3-a??a+6?有最大值2. 【答案】 B
?1? 9.函数 f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足 f(2x-1)<f?3?的 x 的取值范围 ? ?

是(

)
?1 2? A.?3,3? ? ? ?1 2? C.?2,3? ? ? ?1 2? B.?3,3? ? ? ?1 2? D.?2,3? ? ?

【解析】

?2x-1≥0 根据题意,得? 1 2 x - 1< ? 3,

1 2 解得2≤x<3,选 D.

【答案】 D 10.若函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x-1,则当 x<0 时,有( A.f(x)>0 C.f(x)· f(-x)≤0 【解析】 f(x)为奇函数,当 x<0 时,-x>0, ∴f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1,∴f(x)· f(-x)=-(x+1)2≤0. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 11.设集合 M={x|x 是小于 5 的质数},则 M 的真子集的个数为________. B.f(x)<0 D.f(x)-f(-x)>0 )

【解析】 由题意可知 M={2,3},∴M 的真子集有?,{2},{3}共 3 个. 【答案】 3 12. 如图, 函数 f(x)的图象是曲线 OAB, 其中点 O, A, B 的坐标分别为(0,0), (1,2), (3,1),则 f(f(3))的值等于________.

图1 【解析】 由图可知 f(3)=1,∴f(f(3))=f(1)=2. 【答案】 2 13.已知集合 A={x|x≥2},B={x|x≥m},且 A∪B=A,则实数 m 的取值范围是 ________. 【解析】 ∵A∪B=A,即 B?A,∴实数 m 的取值范围为[2,+∞). 【答案】 [2,+∞) 14.老师给出一个函数,请三位同学各说出了这个函数的一条性质: ①此函数为偶函数; ②定义域为{x∈R|x≠0}; ③在(0,+∞)上为增函数. 老师评价说其中有一个同学的结论错误,另两位同学的结论正确.请你写出一个 (或几个)这样的函数________. 【解析】 本题为开放型题目,答案不唯一,可结合条件来列举,如从基本初等 函数中或分段函数中来找.
? ?1-x,x>0 2 如:y=x2 或 y=? 或 y=-x . ?1+x,x<0, ? ?1-x,x>0 ? 2 【答案】 y=x2 或 y=? 或 y=-x (答案不唯一) ? ?1+x,x<0,

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|1≤x<4},B={x|3x-1<x+

5},求: (1)A∩B;(2)(?UA)∪B. 【解】 (1)由已知得:B=(-∞,3),A=[1,4),∴A∩B=[1,3). (2)由已知得:?UA=(-∞,1)∪[4,+∞),(?UA)∪B=(-∞,3)∪[4,+∞). 16.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1}, 且 B?A.求实数 m 的取值范围. 【解】 ∵B?A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. -3≤2m-1 ? ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4 ? ?2m-1<m+1,

解得-1≤m<2,

综上得,m 的取值范围为{m|m≥-1}. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 y=f(x)是二次函数,且 f(0)=8,f(x+1)-f(x)= -2x+1. (1)求 f(x)的解析式;(2)求证 f(x)在区间[1,+∞)上是减函数. 【解】 (1)设 f(x)=ax2+bx+c,∴f(0)=c,又 f(0)=8,∴c=8. 又 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c ∴f(x+1)-f(x) =[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c)=2ax+(a+b).
? ?2a=-2 结合已知得 2ax+(a+b)=-2x+1. ∴? ? ?a+b=1.

∴a=-1,b=2.∴f(x)=-x2+2x+8. (2)证明 设任意的 x1,x2∈[1,+∞)且 x1<x2,
2 则 f(x1)-f(x2)=(-x2 1+2x1+8)-(-x2+2x2+8) 2 =(x2 2-x1)+2(x1-x2)=(x2-x1)(x2+x1-2).

又由假设知 x2-x1>0,而 x2>x1≥1,∴x2+x1-2>0, ∴(x2-x1)(x2+x1-2)>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). ∴f(x)在区间[1,+∞)上是减函数. ax+b 18.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= 2 是定义在(-1,1)上的奇函数, x +1

?1? 2 且 f?2?=5. ? ?

(1)确定函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈(-1,1)时判断函数 f(x)的单调性,并证明; (3)解不等式 f(2x-1)+f(x)<0. -ax+b ax+b 【解】 (1)由题意可知 f(-x)=-f(x),∴ ,∴b=0. 2 =- 1+x 1+x2
?1? 2 ax x ∴f(x)= . 2. ∵f? ?= ,∴a=1. ∴f(x)= ?2? 5 1+x 1+x2

(2)f(x)在(-1,1)上为增函数. 证明 设-1<x1<x2<1,则 ?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 f(x1)-f(x2)= 2- 2= 2 1+x1 1+x2 ?1+x2 1??1+x2?
2 2 ∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,∴1-x1x2>0,1+x1 >0,1+x2 >0,



?x1-x2??1-x1x2? 2 <0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ?1+x2 1??1+x2?

∴f(x)在(-1,1)上为增函数. (3)∵f(2x-1)+f(x)<0,∴f(2x-1)<-f(x),又 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数, -1<2x-1<1 ? ? ∴f(2x-1)<f(-x),∴?-1<-x<1 ? ?2x-1<-x,
?

1 ∴0<x<3.

1? ? ∴不等式 f(2x-1)+f(x)<0 的解集为?0,3?.
?


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