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江西省南昌市2014-2015学年高二上学期期末终结性测试数学(文)试题及答案


2014—2015 学年度第一学期南昌市期末终结性测试卷

高二数学(文科甲卷)参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题目 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 C 8 A 9 A 10 D 11 B 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填写在横线上) 13.

1 ; 2

14. ?

?2 ; 4

15.1;

16. ①。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解:∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0. ∴方程 x2+2x-3m=0 的判别式 Δ=12m+4>0. ………………………………………5 分

∴原命题“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数根”为真命题.……………………7 分 又因原命题与它的逆否命题等价, 所以“若 m>0,则方程 x2+2x-3m=0 有实数根”的逆否命 题也为真命题………………10 分 18.解:由题意得 f '( x) ? 令 x ? 1 得 f '(1) ?

1 ? ln1 ? 2 f '(1) 即 f '(1) ? ?1 ……………………………………6 分 1 ln x ln e 1 ? 2 x 得 f ( e) ? ? 2e ? ? 2e , f (1) ? ?2 …………………10 分 所以 f ( x) ? x e e 1 由 f (e) ? f (1) ? ? 2e ? 2 ? 0 得 f (e) ? f (1) ………………………………………12 分 e 1 () 1 f ?( x) ? 3 x 2 ?1, 所以f ?(2) ?13, ………………………………………3 分 19.解: 2 所以所求的切线方程为y ? 6 ? 13( x ? 2)即 13x ? y ? 32 ? 0 ………………………6 分 (2)设切点为(x0 , x03 ? x0 ?16), f ?( x0 ) ? 3x02 ?1, …………………………………7 分
因为切线过原点,所以 ? ? x03 ? x0 ? 16 ? ? ? x0 ? 3x0 2 ? 1?,

1 ? ln x ? 2 f '(1) x2

…………………………………………4 分

所以切线方程为y ? ? x03 ? x0 ? 16 ? ? ? 3x0 2 ? 1? ( x ? x0 ) ……………………………9 分

所以2x03 ? ?16, 所以x0 ? -2,…………………………………………………………11 分 所以f ?(?2) ? 13, 所以所求的切线方程为y ? 13x,切点为(? 2, ? 26)………12 分 20.解:依题意:命 题 p: {x |1 ? x ? 5} 辿 {x |1 ? x ? a} ,即 a ? 5 ………………4 分 ? 命题 q: 6sin ? a ? 6 ,即 3 ? a ? 6 …………………………………………………8 分 6
因为 非 p 且 q 是真命题。所以 p 是假命题且 q 是真命题 ……………………………10 分 所以实数 a 的取值范围是 (??,5] (3,6) ? (3,5] …………………………………12 分 21.解: (1)由 S
2 2
A 1B 1A2 B2

? 2S

B1F 1B2 F2

.有 2a ? b ? 2 ? 2c ? b ,? a ? 2c

……………2 分

x2 y2 ? ? 1 . ………………4 分 4 3 (2)当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
解得 a ? 4, b ? 3 ,…… 3 分,故椭圆 C 的方程为
2 2 x12 y12 x2 y2 y ? y2 3 x ? x2 ? ? 1, ? ? 1 ,两式相减得: k ? 1 则 .…6 分 ?? ? 1 4 3 4 3 x1 ? x2 4 y1 ? y 2 y ? y2 3 ∵ P 是 AB 的中点,∴ 可得直线 m 的斜率为 k ? 1 ? ? ,………………10 分 x1 ? x2 4 3 3 当直线 m 的斜率不存在时,将 x=1 代入椭圆方程并解得 A(1, ) , B (1, ? ) , 2 2 这时 AB 的中点为 (1,0) ,∴x=1 不符合题设要求.…………………………………11 分 综上,直线 m 的方程为 3x ? 4 y ? 7 ? 0 ……………………………………………12 分 3 2 22.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ? m .∵函数有三个互不相同的零点,

3 2 ∴ x ? x ? x ? m ? 0 即 m ? ? x ? x ? x 有三个互不相等的实数根.
3 2

…………1 分

令 g ( x) ? ? x ? x ? x ,则 g?( x) ? ?3x ? 2x ? 1 ? ?(3x ?1)( x ? 1) .
3 2 2

令 g ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ?

1 1 ;令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? , …………2 分 3 3

∴ g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( , ??) 上均为减函数,在 ( ?1, ) 上为增函数, ∴ ? g ( x)?极小值 =g (?1) ? ?1 , ∴ m 的取值范围是 ( ?1,

1 3

1 3

? g ( x)?极大值 =g (
a 3

1 5 )? , 3 27

…………4 分 …………5 分 …………6 分

5 ). 27

2 2 (2)∵ f ?( x) ? 3 x ? 2a x ? a ? 3( x ? )( x ? a ) ,且 a ? 0 ,

a a 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? a ? x ? 时, f ?( x) ? 0 . 3 3 a a ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) ,单调递减区间为 ( ? a , ) .……7 分 3 3 a 当 a ? [3, 6] 时, ? [1, 2] , ?a ? ?3 . 3 又 x ?[?1, 2] ,∴ f ( x ) 的最大值为 f (?1) 和 f (2) 中的较大者 . ……… …………8 分
∴当 x ? ?a 或 x ? ∵ f (?1) ? f (2) ? 3 a2 ? 3 a ? 9 ? 0 ,∴ ? f ( x)?max ? f (?1) ? ?1 ? a ? a ? m .…… 9 分
2
2

要使得 f ( x) ? 1 对任意 x ?[?1, 2] 恒成立,即 ? f ( x)?max ? 1, 亦即 ?1 ? a ? a ? m ? 1 , 即当 a ? [3, 6] 时, m ? ?a ? a ? 2 恒成立.
2

…………10 分 …………11 分 …………12 分

∵ ?a ? a ? 2 在 a ? [3, 6] 上的最小值为 ?40 ,
2

∴ m 的 取值范围是 (??, ?40] .


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