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解析几何立体几何基本知识点20180116

高中解析几何知识点总结
第一部分:直线与圆
基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关 系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③.掌握圆的标准方程和一般方程. ④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题.
1 直线方程的五种形式

点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , (斜率存在) 斜截式: y ? kx ? b 两点式: (斜率存在)

y ? y1 x ? x1 ? ,(不垂直坐标轴) y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b
(不垂直坐标轴,不过原点)

截距式:

一般式: Ax ? By ? C ? 0 2.直线与直线的位置关系: (1)有斜率的两直线 l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2; 有: ①l1∥l2 ? k1=k2 且 b1≠b2;②l1⊥l2 ? k1·k2=-1; ③l1 与 l2 相交 ? k1≠k2 ④l1 与 l2 重合 ? k1=k2 且 b1=b2。 有:①l1∥l2 ? A1B2-A2B1=0;且

(2)一般式的直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 B1C2-B2C1≠0 ②l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0 A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0。 3.点与直线的位置关系: 点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ? ③l1 与 l2 相交 ? A1B2-A2B1≠0

④l1 与 l2 重合 ? A1B2-

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 两点间距离公式: | PP 1 2 |?
4、直线系方程 ① 过 直 线 l1 : A1x+B1y+C1=0 , l2 : A2x+B2y+C2=0 交 点 的 直 线 系 方 程 为 : A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ∈ R)(除 l2 外)。 ②过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (其中不包括直线 x ? x0 ) ③和直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程为 Ax ? By ? C ' ? 0 (C ? C ') ④和直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程为 Bx ? Ay ? C ' ? 0

5.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标) 等. 6.圆的方程 (1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 r 为圆的半径,(a,b)为圆心。 (2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圆心为 ( ?
1 D2 ? E 2 ? 4F 2
D E , ? ) ,半径为 2 2

7. 点 P(x0,y0)与圆的位置关系: 代入方程 f ( x) ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (或 f ( x) ? x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F )看符号. ①点 P 在圆上 ? f ( x0 , y0 ) ? 0 ②点 P 在圆外

? f ( x0 , y0 ) ? 0 ③点 P 在圆内 ? f ( x0 , y0 ) ? 0
8.直线与圆的位置关系:相离、相切和相交。有两种判断方法:(用几何法更具有直 观性) (1)代数法(判别式法):Δ>、=、<0 时分别相离、相交、相切。 (2)几何法,圆心到直线的距离 d>、=、<r 时相离、相交、相切。 9.切线方程: 圆 x2 ? y 2 ? r 2 上点 M(x0,y0)的切线方程: x0 x ? y0 y ? r 2 (或

x0 ( x ? x0 ) ? y0 ( y ? y0 ) ? 0 )

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上点 M(x0,y0)的切线方程:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=0.(或

( x0 ? a)( x ? x0 ) ? ( y0 ? b)( y ? y0 ) ? 0 )
10、弦长求法:(1)几何法:弦心距 d,圆半径 r,弦长 l,则 d2+(l/2)2=r2. (2)解析法:用韦达定理,弦长公式。 11.圆与圆的位置关系:看|O1O2|与 r1+r2 和|r1-r2|的大小关系。特别提示:解直线与 圆的问题,要尽量充分地利用平面几何中圆的性质,利用几何法解题要比解析方法来得 简捷. 12.点(线、圆)与圆的距离的最值问题

dmin ? 心距 ? 半径 ? d ? r; dmax ? 心距 ? 半径 ? d ? r
心距指点(直线或圆心)与圆心之间的距离

第二部分:圆锥曲线
椭圆图象及几何性质:

中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

中心在原点,焦点在 y 轴上
y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

B2 图 形 P A1 y B2 O F2 B1 A2 P x

y F2 A2 x A1

F1

O F1 B1





A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) B1 (0,?b), B2 (0, b)

A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,? a ), B2 (0, a )

对称轴 焦 焦 点 距

x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a

F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)

F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

离心率 通 径

e?

c (0 ? e ? 1) (离心率越大,椭圆越扁) a
2b 2 ? 2ep ( p 为焦准距) a

焦半径

| PF1 |? a ? ex 0 | PF2 |? a ? ex 0

| PF1 |? a ? ey 0 | PF2 |? a ? ey 0

关于椭圆知识点的补充: 1、椭圆的标准方程:

x2 y 2 ① 焦点在 x 轴上的方程: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0); a b 2 y x2 ② 焦点在 y 轴上的方程: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0); a b
③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx2+ny2=1(m>0,n>0); 2、椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的 轨迹。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; 2b 3、 通径: ; a 5、
2

4、点与椭圆的位置关系;

x2 y 2 ? ? 2 ? 1 焦点三角形的面积:b2tan (其中∠F1PF2=?); 2 2 a b

2 2 6、弦长公式:|AB|= (1 ? k ) [( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ;

7、 椭圆在点 P(x0,y0)处的切线方程:

x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b

8、直线与椭圆的位置关系: 凡涉及直线与椭圆的问题,通常设出直线与椭圆的方程,将二者联立,消去 x 或 y,得到关于 y 或 x 的一元二次方程,再利用根与系数的关系及根的判别式等知 识来解决,需要有较强的综合应用知识解题的能力。

双曲线的图象及几何性质:
中心在原点,焦点在 x 轴上
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

中心在原点,焦点在 y 轴 上
y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

标准方程

P 图 形 P F 1 A1 y x O A2 F2

Fy 2 B2 O B1 F1 x

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径

A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 ( ? 2ep a

y??
p 为焦准距)

a x b

P 在左支 | PF1 |? ? a ? ex 0
| PF 2 |? a ? ex 0

P 在下支 | PF1 |? ? a ? ey 0 | PF 2 |? a ? ey 0 P 在上支
| PF1 |? a ? ey 0 | PF2 |? ?a ? ey 0

焦半径

P 在右支
| PF1 |? a ? ex 0 | PF2 |? ?a ? ex 0

关于双曲线知识点的补充:
1、

双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的
轨迹。 注意:

| PF1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF1 |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;

2、 双曲线的标准方程 ①焦点在 x 轴上的方程:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0); a 2 b2

y 2 x2 ②焦点在 y 轴上的方程: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0); a b
③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx2-ny2=1(m·n<0); ④双曲线的渐近线:改 1 为 0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线:
2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解 2 2 2 2

a

b

a

b

得到。
2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; 2 a b a b

②与双曲线

4、等轴双曲线: 为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2 b2 5、几个概念:①焦准距: ; c 2b2 ②通径: ; a

③等轴双曲线 x2-y2=? (?∈R,?≠0):渐

x2 y 2 ? 2 近线是 y=±x,离心率为: 2 ;④ 2 ? 2 ? 1 焦点三角形的面积:b cot (其中∠ 2 a b
F1PF2=?);
2 2 2 2 2 ⑤弦长公式:|AB|= (1 ? k ) [( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ;⑥注意;椭圆中:c =a -b ,而在双

曲线中:c =a +b ,
2 2 2

6、直线与双曲线的位置关系:讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法: ①代数法:②、数形结合法。

抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 焦点在 x 轴 上, 开口向右 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点在 x 轴上, 开口向左
y 2 ? ?2 px

焦点在 y 轴上, 开口向上

焦点在 y 轴上, 开口向下

x 2 ? 2 py
y x P F O x

x 2 ? ?2 py

l
图 形 O

y P x F

P F

y O

l

l
P

y O F

x

l
顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径 焦点弦
| PF |?| x0 | ? p 2
x?? p 2
x? p 2

O(0,0)

x轴
p F ( ,0 ) 2

y轴
F (? p ,0) 2
p F (0, ) 2

p F (0,? ) 2

e ?1
y?? p 2
y? p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

x1 ? x 2 ? p ?

2 p (当 ? ? ? 时,为 2 p ——通径) 2 sin 2 ?

关于抛物线知识点的补充: 1、定义: 2、几个概念: ① p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,故 p 为正数; 1 ② 焦点的非零坐标是一次项系数的 ; 4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同,一次项的系数符号决定抛物线的开口方 向。 ④ 通径:2p

3、如: AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的弦, M 是 AB 的中点, l 是抛物线 的准线, MN ? l , N 为垂足, BD ? l , AH ? l , D , H 为垂足,求证: (1) HF ? DF ; (2) AN ? BN ; N (3) FN ? AB ; (4)设 MN 交抛物线于 Q ,则 Q 平分 MN ; D

l

H Q O

y

A M F B E

x

(5)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 y1 y2 ? ? p 2 , x1 x 2 ?

1 2 p ; 4

(6) 1 ? 1 ? 2 ;
| FA | | FB | p

(7) A, O, D 三点在一条直线上 (8)过 M 作 ME ? AB , ME 交 x 轴于 E ,求证: | EF |? 1 | AB | ,
2

| ME |2 ?| FA | ? | FB | ;

高中立体几何知识点总结
一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体; 2 旋转体

(二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征
1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 图 1-1 棱柱

1.2 棱柱的分类

棱柱
底面是四边形 底面是矩形

四棱柱 长方体

底面是平行四边形 底面是正方形

平行六面体

侧棱垂直于底面

直平行六

面体

正四棱柱

棱长都相等

正方体

性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;

1.3 棱柱的面积和体积公式

S直棱柱侧 ? ch ( c 是底周长, h 是高)

S 直棱柱表面 = c·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h
2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义

(1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这 些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是 底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: S正棱椎 ? 体积: V棱椎 ?

1 ch ' ( c 为底周长, h ' 为斜高) 2
D O A

P

1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3

C H B

正四面体: 对于棱长为 a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 对棱间的距离为
2 a (正方体的边长) 2 2 a 的正方体问题。 2

正四面体的高

2 6 a ( ? l正方体体对角线 ) 3 3

正四面体的体积为

1 2 3 a ( V正方体 ? 4V小三棱锥 ? V正方体 ) 3 12
1 1 l正方体体对角线 : l正方体体对角线 ) 6 2

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 1 : 3 ( ?

3 、棱台的结构特征

3.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间 的部分称为棱台。 3.2 正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 4.1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的 曲面所围成的几何体叫圆柱。 4.2 圆柱的性质 (1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆; (2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 4.3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩 形。 4.4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r2 V 圆柱 = S 底 h = πr2h 5、圆锥的结构特征

5.1 圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的 直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫做圆锥。 5.2 圆锥的结构特征 (1) 平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面 直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; (2)轴截面是等腰三角形;
图 1-5 圆锥

(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和: l2 = r2 + h2 5.3 圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径 的扇形。 6、圆台的结构特征 6.1 圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间 的部分称为圆台。 6.2 圆台的结构特征 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆; ⑵ 圆台的截面是等腰梯形; ⑶ 圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究。 6.3 圆台的面积和体积公式 S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径) S 圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l

V 圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h 为圆台的高) 7 球的结构特征 7.1 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转 体叫做球体。空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成 的几何体称为球体。 7-2 球的结构特征 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面; ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r2 = R2 – d2 ★7-3 球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合,包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路 是: ⑴ 根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形; ⑵ 找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后做出剖面 图; ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题; ⑷ 注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线; 球外切正方体,球直径等于正方体的边长。 7-4 球的面积和体积公式 S 球面 = 4 π R2 (R 为球半径) V 球 = 4/3 π R3

(三)空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 圆柱的表面积 : S ? 2? rl ? 2? r 2 圆锥的表面积: S 圆台的表面积: S

? ? rl ? ? r 2

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2
2

球的表面积: S ? 4? R
扇形的面积公式 S扇形 ? 弧度)

n? R 2 1 1 ? lr = ? r 2 (其中 l 表示弧长, r 表示半径, ? 表示 360 2 2

空间几何体的体积 柱体的体积 : V ? S底 ? h
1 锥体的体积 : V ? S 底 ? h 3

1 台体的体积 : V ? (S上 ? 3
球体的体积: V ?

S 上 S下 ? S 下 ) ? h

4 ? R3 3

(四)空间几何体的三视图和直观图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。 ★画三视图的原则: 正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样 注:球的三视图都是圆;长方体的三视图都是矩形

直观图:斜二测画法 斜二测画法的步骤: (1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2)平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3)画法要写好 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成 图

二 、点、直线、平面之间的关系
(一)、立体几何网络图:
⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 三垂线逆定 理 ⑺ 线线垂直 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ ⒁ 面面垂直 面面平行

1、线线平行的判断: (1)、平行于同一直线的两直线平行。 (2)、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 (3)、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (4)、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断: (1)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直。 (2)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条 斜线的射影垂直。 (3)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断: (1)、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行。 (2)、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理:

性质定理:

★判断或证明线面平行的方法 ⑴ 利用定义(反证法): l I ? ? ? ,则 l ∥α (用于判断); ⑵ 利用判定定理:线线平行 线面平行 (用于证明);

⑶ 利用平面的平行:面面平行

线面平行 (用于证明);

⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。 2 线面斜交和线面角: l ∩ α = A 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜 交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角 θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°] 注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,θ=0°; 当直线垂直于平面时,θ=90° 4、线面垂直的判断: ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平 面。 判定定理:

图 2-3 线面角

性质定理:(1)若直线垂直于平面,则它垂直于平面内任意一条直线。 即 :

(2)垂直于同一平面的两直线平行。
即:

★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义,用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。 ⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个,则也垂直于另一个。 ⑸ 如果两平面垂直,在一平面内有一直线垂直于两平面交线,则该直线垂直 于另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理 ⑴ 斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的所有线段中, 斜线相等则射影相等,斜线越长则射影越长,垂线段最短。

如图:

图 2-7 斜线定理

⑵ 三垂线定理及其逆定理 已知 PO⊥α,斜线 PA 在平面 α 内的射影为 OA,a 是平面 α 内的一条直线。 ① 三垂线定理:若 a⊥OA,则 a⊥PA。即垂直射影则 垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理:若 a⊥PA,则 a⊥OA。即垂直

斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直; ② 作出和证明二面角的平面角; ③ 作点到线的垂线段。 5、面面平行的判断: ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断: ⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 判定定理:
图 2-8 三垂线定理

性质定理: ⑴ 若两面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为 90 ° ; (2)

(3)

图 2-10 面面垂直性质 2

(4)

(二)、其他定理:

图 2-11 面面垂直性质 3

(1)确定平面的条件:①不共线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线; (2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ;
直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是它的特殊情况) ;

平面与平面的位置关系: 相交 ;; 平行 ; (3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组 直线所成的锐角(或直角)相等; (4)射影定理(斜线长、射影长定理):从平面外一点向这个平面所引的垂线 段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线 段也较长;反之,斜线段相等的射影相等;斜线段较长的射影 也较长;垂线段比任何一条斜线段都短。 (5)最小角定理:斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射 影所成的角。

(6)异面直线的判定: ①反证法; ②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直线。 (7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 (8 )如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。

(三)、唯一性定理: (1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 (2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。 (3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。 四、空间角的求法:(所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是 直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内 相交直线所成的角。异面直线所成角的范围: 0 o ? ? ? 90o ; (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为 0 o ; ②线面 垂直:线面所成的角为 90o ; ③斜线与平面所成的角:范围 0 o ? ? ? 90o ;即也就是斜线与它在平面内的射影 所成的角。

线面所成的角范围 0o ? ? ? 90o (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定 理法;③垂面法; 二面角的平面角的范围: 0o ? ? ? 180o ; 五、距离的求法: (1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与 线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的 线段,然后再计算。 注意:求点到面的距离的方法: ①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面 上); ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质); ③体积法:利用三棱锥体积公式。 (2)线线距离:关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出 a , b 的公垂线段; ②转化为线面距离,即转化为 a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离,关键是找 出或构造出这个平面;③转化为面面距离; (3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互 转化;

立体几何空间向量知识点总结
1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三 角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面 向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的 推广.

? ? ? ? ? ? a b a ? b ? 0 ? a ? b 是数形结合的纽带之一,这是运用空 2、当 、 为非零向量时.
间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律 联系来解决垂直的论证问题.

3、公式

? ? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? a?b

是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可

以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上 的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要 概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、 平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即 a ? b ? 0 ? a ? b . (3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向 向量. (4)线面垂直

? ?

?

?

用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角

利用公式

? ? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? a?b



? ?? ? 0, ? 但务必注意两异面直线所成角θ 的范围是 ? 2 ? ,
故实质上应有:

? ? cos ? ? cos ? a, b ?



(2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量 积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与 平面法向量的夹角φ ,即可求出直线与平面所成的角θ ,其关系是 sinθ =| cosφ |. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求 出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求 出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面 角的大小相等或互补. 7、运用空间向量求空间距离

空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③ 出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离.


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