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漳州五中2012届高三数学模拟考试(文).

漳州五中 2012 届高三数学模拟考试试卷(文科)
命题人:吴辉映
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设复数 z 满足 i z ? 2 ? i ,则 z ? ( A. ? 1 ? 2 i B. 1 ? 2i ) C. 1 ? 2 i D. ? 1 ? 2 i

审题人:王奇南

2.已知命题 p: " x ? R,cosx≤1,则( ) A. ? p : ? x ? R , cos x ? 1 C. ? p : ? x ? R , cos x ? 1 B. ? p : " D. ? p : " x∈R,cos x≥1 x∈R,cos x>1 )

2 3..设集合 M ? { x | x ? 2 x ? 3 ? 0 } , N ? { x | 2 x ? 2 ? 0} ,则 M ? N 等于(

A. ( ? 1, 1)

B. (1,

3)

C. (0 , 1) ) C.关于原点对称

D. ( ? 1,

0)

4.函数 y ? 1 ? sin ( ? ? x ) 的图象( A.关于 x ?
?
2

对称

B.关于 y 轴对称

D.关于 x ? ? 对称 )

5.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是( A. 若 m // n , m // ? , 则 n // ? C. 若 m // ? , n // ? , 则 m // n B. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? D. 若 m ? ? , n // ? , 则 m ? n )

6.执行右面的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是(

A. 120

B. 720

C. 1440

D. 5040 )

7.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ? 8、
4 3 3

B. 8 ?

4 3

2

C. 8 ?

2 3

3

D.

32 3

f ( x ) ? (co s 2 x co s x ? sin 2 x sin x ) sin x

, x ? R ,则

f (x)

是 ??????(
?
2



A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 9、 m “
?
2
2

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 )

的奇函数

? 1 ”是“函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? m

有零点”的??????????( B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ,若目标函数 z
? y ? ax

A.充要条件 C.充分非必要条件
?x ? 2y ? 3≥ 0 ? 10、已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ≤ 0 ? y ?1≤ 0 ?

仅在点 ( ? 3, 0 ) 处取到
·

最大值,则实数 a 的取值范围为??????????????????( A. (3, 5 ) B. ( ? 1, 2 ) C. (
1 2 , ?? )



D. (

1 3

,1)

11.设函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如右图所示,则函数 y= f(x) ·g(x)的图象可 能是

12.已知函数 f ( x ) ? 数对(a,b)共有 A.2 个

4 x ?2

? 1的 定 义 域 是 [ a , b ]( a , b ? z ), 值 域 是 [0,1] ,则满足条件的整

B.5 个

C.6 个

D.无数个

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 13.已知向量 a = ( x ? 1, 2 ), b = ( 4 , y ) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为
x y

?

?

?

?



14.设函数 f ( x ) ? ?

?? x ? a, ?2 ,
y b
2 2

x ? 1,

x

x ?1

的最小值为 2 ,则实数 a 的取值范围是



15.过 双 曲 线

x a

2 2

?

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线, 若垂足恰在线

段 OF(O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为
* * *

.

16.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N (m、n∈N ),且对任意 m、n∈N 都有: ① f(m,n+1)= f(m,n)+2; ② f(m+1,1)=2 f(m,1). 给出以下三个结论: (1)f(1,5)=9; (2)f(5,1)=16; (3)f(5,6)=26. 其中正确的个数为

三、解答题
17、 (本题满分 12 分.其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分) 如图, 已知四棱锥 P ? A B C D 的底面 ABCD 为正方形,P A PC 的中点, A B ? 2 , A P ? 2 . (1)求三棱锥 P
? BCD
?

平面 ABCD, F 分别是 BC, E、
P

的体积;
F A B E C D

(2)求异面直线 E F 与 P D 所成角的大小.

18、 (本题满分 14 分.其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知函数 (1)求函数
f (x) ? 3 2 1 sin 2 x ? c o s x ? , 2 2 x? R

.]

f (x)

的最小值和最小正周期;
? 3

(2)设 ? A B C 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c 若 sin B
? 2 sin A



f (C ) ? 0



,求 a , b 的值.

19. (本题满分 12 分) 某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出 50 名学生,并统计了他们的数学 成绩(成绩均为整数,满分为 100 分) ,将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下 频率分布表: (Ⅰ)将上面的频率分布表补充完整,并估计本次考试全校 85 分以上学生的比例; (Ⅱ)为了帮助成绩差的同学提高数学成绩,学校决定成立“二帮一”小组,即从成绩 为 ? 9 0 ,1 0 0 ? 中任选出两位同学,共同帮助成绩在 ? 4 0 , 5 0 ? 中的某一个同学,试列 出所有基本事件;若 A1 同学成绩为 43 分, B 1 同学成绩为 95 分,求 A1 、 B 1 两同 学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率.

分 组 [ 40, 50 ) [ 50, 60 ) [ 60, 70 ) [ 70, 80 ) [ 80, 90 ) [ 90, 100 ] 合 计

频 数 2 3 14 15

频 率 0.04 0.06 0.28 0.30

4

0.08

20. (本小题满分 12 分) 数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 S n ? n ? 1( n ? 1) . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设等差数列 ?b n ? 各项均为正数,满足 b1 ? b 2 ? b 3 ? 18 ,且 a 1 ? b1 ? 2 , a 2 ? b 2 ,
a 3 ? b 3 ? 3 成等比数列,证明:
1 a 2b2 ? 1 a 3b3 ? ??? ? 1 a nbn ? 1 6

.

21.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O, 焦点 F1、 2 在 x 轴上的椭圆 E 经过点 C 2, , F ( 2) 且抛物线 y ? ? 4 6 x
2

的焦点为 F1. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)垂直于 OC 的直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点,当以 AB 为直径的圆 P 与 y 轴相切 时,求直线 l 的方程和圆 P 的方程.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? ln x , a ? R .
2

(Ⅰ)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)令 g(x)= f(x)-x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e]( e 是自然常数)时,函 数 g(x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)当 x∈(0,e]时,证明: e x ?
2 2

2

5 2

x ? ( x ? 1) ln x

文科数学参考答案 一、选择题 ACBAD 二、填空题 13. 6; 14. a ? 3 三、解答题 17、 (1) h ? P A ? 2 , S 底 ?
1 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,V ? 1 3 S底 ? h ? 1 3 ?2?2 ? 4 3

BAACC AB 15.√2 16.3

(2)? P B / / E F , ? B P D 即为异面直线 E F 与 P D 所成角,
PB ? 2 2 , BD ? 2
? ?BPD ?

2 , PD ? 2

2

?
3

,即异同直线 E F 与 P D 所成角的大小为

?
3



18、 解: (1) f ( x ) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin ( 2 x ? ) ? 1, 2 2 2 6
2

则 f ( x ) 的最小值是-2, 最小正周期是 T ? 2 ? ? ? ; (2) f ( C ) ? sin ( 2 C ? ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin ( 2 C ? ? ) ? 1 ,
6 6
Q 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? ? 2

??

?
6

? 2C ?

?
6

?

1 1? , 6

? 2C ?

?
6

?

?
2

,? C ? ? ,
3 a 1 ? ,① b 2 3

Q sin B ? 2 sin A ,由正弦定理,得
2 2 2

2 2 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2 a b c o s ? ,即 a ? b ? a b ? 3 , ②

由①②解得 a ? 1, b ? 2 .
0 .2 4 19、解: (Ⅰ)第五行以此填入 1 2 1 第七行以此填入 5 0 估计本次全校 85 分以上学生比例为 3 2 %

?????2 分 ?????4 分 ?????6 分 ?????12 分

(Ⅱ)

1 4

20 解(1) 由 ?

?

a n ? 1 ? 2 S n ? n ? 1,

? a n ? 2 S n ? 1 ? n ( n ? 2 ),
1 1? ? ? 3? a n ? ? , 2 2? ?

得 a n ? 1 ? 3 a n ? 1( n ? 2 ) ,? a n ? 1 ?

3分

又 a2 ?

1 2

? 4?

1

1? ? ? 3 ? a 1 ? ? 也满足上式, 2 2? ?

3 1? ? ? 数列 ? a n ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2 2? ?
1 2 3 2 3
n

? an ?

?

?3

n ?1

?

2

,? a n ?

1 2

( 3 ? 1 )( n ? N ) .
n

?

6分

(2)证明 由 b1 ? b 2 ? b 3 ? 18 ,可得 b 2 ? 6 , 设 ?b n ? 的公差为 d 且 d ? 0 , 依题意可得 9 ? d ,10,16 ? d 成等比数例,
? 9 ? d )( 16 ? d ) ? 100 ,解得 d ? 4 或 d ? ? 11 (舍去) ( ,
? bn ? 4 n ? 2 ( n ? N ) .
? 当 n ? 2 时,
?

8分
1 ? 1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 )

1 a nbn

?

( 2 n ? 1 )( 3 ? 1 )
n

?

1? 1 1 ? ? ? ?. 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 a 2b2 1 a 3b3 1 a nbn 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? 2?3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ?

?

?

? ??? ?

?

?

1?1 1 ? 1 1 1 . ? ? ?? ? ? 2 ? 3 2n ? 1 ? 2 3 6

? 原不等式成立.

12 分



2(2m ? 12)
2

?

4m 9

2

,m

2

? 9 ? 1 8, m ? ? 3 当 m=3 时,直线 l 方程为 y=-x+3,此

时,x1 +x2=4,圆心为(2,1) ,半径为 2, 圆 P 的方程为(x-2) +(y-1) =4;?????????????????11 分 同理,当 m=-3 时,直线 l 方程为 y=-x-3, 圆 P 的方程为(x+2) +(y+1) =4;??????????????12 分
2 2 2 2

3


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