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高中数学优秀公开课ppt课件任意角的三角函数(优秀课件41页)_图文

任意角的三角函数 学习目标 1、知识与技能 借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意角三角 函数的定义认识其定义域,函数值的符号;已知角 α终边上一点,会求角α的各三角函数值; 记住三角 函数的定义域、值域,诱导公式(一). 2、过程与方法 利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值 ;各 个三角函数值的象限符号;诱导公式一的熟练应 用。 3、情感、态度与价值观 学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的 科学精神. 教学的重点和难点 ? 重点:三角函数的定义,各三角函数值在 每个象限的符号,特殊角的三角函数值. 难点:对三角函数的自变量的多值性的理 解,三角函数的求值中符号的确定. ? 复习回顾 1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c sin ? ? a M cos? ? tan? ? O ? b a c b c a b 新课导入 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? P a O y ? b M x 2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a ? b 2 2 MP b sin ? ? ? OP r OM a cos ? ? ? OP r y ﹒P?a, b? ? o ﹒ MP b tan ? ? ? OM a M x 诱思 探究 如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗? y P(a,b) P? ?OMP ∽ ?OM ?P? MP sin ? ? OP OM cos ? ? OP ﹒ M ? O M? x M ?P ? ? OP ? ? OM ? OP ? MP tan ? ? OM M ?P ? ? OM ? 1.锐角三角函数(在单位圆中) 若OP ? r ? 1 ,则 以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆. y P(a, b) 1 ? O M MP sin ? ? OP x ?b OM cos ? ? OP ?a b MP tan ? ? ? OM a 2.任意角的三角函数定义 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y ) 那么:(1)y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos?,即 cos? ? x ; y y ? (3) 叫做 的正切,记作 tan? ,即 tan ? ? ( x ? 0) x x y P ? x, y ? ﹒ O ? A?1,0? x 所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. ? 的终边 y 说 明 (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点 P( x , y ) ? o x A(1,0) 正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标, 横坐标的比值. (2) 正弦、余弦总有意义.当 y ? 横坐标等于0,tan ? ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2 ? 的终边在 y 轴上时,点P 的 (3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 5? 例1.求 3 的正弦、余弦和正切值. 实例 剖析 5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作 ?AOB ? 3 的终边与单位圆的交点坐标为 5? 5? 3 5? 1 ? ? 3. ?? , cos ? , tan 所以 sin 3 2 3 3 2 7? 5? 思考:若把角 改为 呢? 3 6 7? 1 5? sin ?? , 3 6 2 ﹒ o A x 7? ? 3 cos ? , P15.3 6 2 ﹒ 1 3 ( , ? ). 2 2 y B 7? 3 t an ? 6 3 P15.1 定义推广: 设角? 是一个任意角, P( x, y ) 是终边上的任意一点, 点 P 与原点的距离 r ? x 2 ? y 2 ? 0. y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x x ② r 叫做? 的余弦,即 cos ? ? r y y ?x ? 0? tan ? ? ③ x 叫做? 的正弦,即 x 任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关. 例2.已知角 ? 的终边经过点 P ,求角 ? 0 (?3,?4) 的正弦、余弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 ? 的终边与单位圆交于 P ( x, y ) , M 0 P0 分别过点 P 、 、 P0 作 x 轴的垂线 MP OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5. y M0 M M 0 P0 ? 4 OM0 ? 3 ?OMP ∽ ?OM 0 P0 MP ? ? y OM ? ? x O x P ? x, y ? P0 ?? 3,?4? M0P y ? | MP | 4 0 sin ? ? y ? ? ? ? ? ? ; 于是, 1 OP OP 5 0 OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP 5 0 y sin ? 4 tan ? ? ? ? . x cos ? 3 巩固 提高 练习: 1.已知角 ? 的终边过点 P?? 12,5? , 求 ? 的三个三角函数值. 解:由已知可得: r? x ?y ? 2 2 ?? 12 ? 2 ? 5 ? 13 2 y 5 x 12 于是,sin ? ? ? , cos ? ? ? ? r 13 r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12 P15.2 2.已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ? a ? R且a ? 0?, 求角?的sin ? ,cos ?

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