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2011年广州市高二教研资料空间向量与立体几何A卷 高中数学 高考

选修 2-1 第三章 《空间向量与立体几何》训练卷 A 卷
供稿人 吴坚(广大附中)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) ? 1.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是
1 ,1,1) 3 1 3 C. (- , ,-1) 2 2
A. ( B. (-1,-3,2) D. 2 ,-3,-2 2 ) ( )





2.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3,?1,?4)

3.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B = a , A1 D1 = b , A1 A = c . 则下列向量中与 B1 M 相等的向量是( )

1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. ?

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B.

4.空间四边形 OABC 中, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ?

?

3

, 图

??? ??? ? ? 则 cos < OA, BC >的值是(
A.

) C.-

1 2

B.

2 2


1 2

D. 0

5.已知 a =(2,-1,3) b =(-1,4,-2) c =(7,5,λ ) , , ,若 a 、 b 、 c 三向量共面,则 实数λ 等于 A. ) C.

62 7

B.

63 7

64 7

D.

65 7

AC AB 6.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, ? AD ? 0, ? AD ? 0 ,则?BCD
是 ( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定

7.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成 的角等于( A.30° ) B.45°

C.60°

D.90° )

8.已知 a ? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值为(

A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5

D.

11 5

9 . 已 知 平 行 六 面 体 ABCD ? A' B'C ' D' 中 , AB=4 , AD=3 , AA' ? 5 , ?BAD ? 900 ,

?BAA' ? ?DAA' ? 600 ,则 AC ' 等于
A.85 B. 85

( C. 5 2

) D.50

10. 已知三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC ,SA =3, 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( A. )

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

二、填空题(本大题共 6 小题,每题 6 分,共 36 分) ? ? ? ? 11.已知向量 a ? (2,?1,3), b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______ .
12.若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n= 13.若 a ? (2,3,?1) , b ? (?2,1,3) ,则以 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 . .

14. 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AC1 ? x AB ? 2 y BC ? 3z C1C ,则 x+y+z=_________. 15. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 A1 B1 的中点,则异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离 . 16. 过点 S 引三条不共面的直线 SA, SC, SB, 其中∠BSC=90°, ∠ASC=∠ASB=60°, SA=SB=SC, 且 则二面角 S-BC-A 的平面角的大小为________, 与平面 ABC 所成的角大小为______________. SA

三、解答题(本大题共 5 题,共 64 分) 17. (本小题 12 分) 如图, 已知正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 的棱长为 a, 为 BD ' 的中点, N 在 AC ' M 点 上,且 | A ' N |? 3 | NC ' | ,试求 MN 的长. z
D' O' A' M D C A x B y C' N B'

18.(本小题 12 分)在棱长为 a 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中,E 为 AC1 的中点 (1)求 AB1 与平面 ACC1 A1 所成的角; (2)求二面角 B1 ? A1 E ? A 的大小;

19.(本小题 12 分)如图在空间直角坐标系中 BC=2,原点 O 是 BC 的中点, 点 A 的坐标是 , 点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.

(

3 1 , ,0) 2 2



(1)求向量 OD 的坐标; (2)设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,求 cosθ 的值

20. (本小题 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ? 2 ,点 E 是棱 PB 的中点.
(1)证明: AE ? 平面 PBC ; (2)若 AD ? 1 , ①求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值; ②求直线 BC 与平面 ECD 所成角的正弦值.

21.(本小题 14 分)如图,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60 ,平面
?

ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上. (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; M (3)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值. E

F

D A

C B

参考答案 一、选择题:CAADD BCCBD 二、填空题:11.

10 7 2 6 ;12. 0;13. 6 5 ; 14. ;15. ;16. 90°,45° 3 3 6

三、解答题: 17.解:以 D 为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为 a,所以 B(a,a,0) ,A'(a, 0,a) C ' (0,a,a) D ' (0,0,a) , , .

a a a a a , , ) O' , ( , , ) 因为 | A ' N |? 3 | NC ' | , a . 2 2 2 2 2 a 3 所以 N 为 A ' C ' 的四等分,从而 N 为 O ' C ' 的中点,故 N( , a ,a) . 4 4
由于 M 为 BD ' 的中点, A ' C ' 中点 O', 取 所以 M ( 根据空间两点距离公式,可得 | MN |?
? ?

a a a 3a a 6 ( ? ) 2 ? ( ? ) 2 ? ( ? a) 2 ? a. 2 4 2 4 2 4

18(1)30 (2)60 过程略 19 解: (1)过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1,

CD= 3 ,∴DE=CD·sin30°=

3 1 1 .OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1- ? . 2 2 2

∴D 点坐标为(0,-

1 3 1 3 , ) ,即向量 OD 的坐标为(0,- , ). 2 2 2 2 3 1 , ,0}, OB ? {0,?1,0}, OC ? {0,1,0} , 2 2
3 3 ,?1, }, BC ? OC ? OB ? {0,2,0} . 2 2

(2)依题意: OA ? {

所以 AD ? OD ? OA ? {?

设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,则

3 3 ? 0 ? ( ?1) ? 2 ? ?0 AD ? BC 1 2 2 ? ? ? 10 . cosθ = 5 | AD | ? | BC | 3 2 3 (? ) ? ( ?1) 2 ? ( ) 2 ? 0 2 ? 2 2 ? 0 2 2 2 ?
第 20 题解答

21、 (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,? AB // CD , AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60

?

D ? 四 边 形 A B C 是 等 腰 梯 形 , 且 ?DCA ? ?DAC ? 30 ? , ?DCB ? 120 ? ,
? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90 ? ? AC ? BC
2分

又?平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC ,? BC ? 平面 ACFE (Ⅱ)解法一、当 EM ?

4分

3 a 时, AM // 平面 BDF , 5 分 3 3 a ,而 3

在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? 1 : 2 6 分,? EM ?

EF ? AC ? 3a ? EM : MF ? 1 : 2 , ……7 分
? MF // AN , ? 四 边 形 ANFM 是 平 行 四 边 形 , ? AM // NF
8分 又 ? NF ? 平面 BDF , AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF 9分 解法二:当 EM ?
M E

F

D N A

C

3 a 时, AM // 平面 BDF ,由(Ⅰ)知,以点 3

B

C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
E 则 C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) , D(

5分

z F

3a 1 ,? a,0) , 2 2
D x A C O B y

F (0,0, a) , E ( 3a,0, a)

? AM ? 平面 BDF ,

? AM // 平面 BDF ? AM 与 FB 、 FD 共面,
也等价于存在实数 m 、 n ,使 AM ? m FB ? n FD , 设 EM ? t EF ? EF ? ( ? 3a,0,0) , EM ? ( ? 3at,0,0) ? AM ? AE ? EM ? ( ? 3at,0, a ) 又 FD ? (
?
? 3 1 a,? a,?a) , FB ? (0, a,? a ) , 6 分, 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

所以: (? 3at,0, a ) ? m(0, a,?a) ? n(

3 1 1 a,? a,?a) 成立,解得 t ? (过程略) 2 2 3
9分
E F G

8 分,? 当

EM ?

3 a 时, AM // 平面 BDF 3

(Ⅲ)解法一、取 EF 中点 G , EB 中点 H ,连结 DG ,GH ,

DH
A

? DE ? DF ,? DG ? EF

? BC ?




D C

H

C ? BC ? EF 又 ? EF ? FC , ? EF ? FB , 又 F E

? GH // FB ,? EF ? GH ? BE 2 ? DE 2 ? DB 2

A

B

? ?DGH 是二面角 B ? EF ? D 的平面角.
在 ?BDE 中, DE ?

10 分

2a, DB ? 3a, BE ?
2

AE 2 ? AB 2 ? 5a
12 分
2 2

? ?EDB ? 90 ? ,? DH ? 5 a . 7 分又 DG ? 5 a, GH ? 2 a

?在 ?DGH 中,由余弦定理得 cos ?DGH ?

10 , 10

13 分 z

10 即二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值为 .……14 分 10
解法二:由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) , D

F E

C O B x A y

3a 1 D( ,? a,0) , F (0,0, a) , E ( 3a,0, a) 过 D 作 DG ? EF , 2 2
垂足为 G . 过程略,二面角 B ? EF ? D 的大小就是向量 GD 与向量 FB 所夹的角.
?

?

12 分

10 ? ? ∴ cos ? GD, FB ?? GD? FB ? 10 即所求角的余弦值为 . ? ? 10 10 GD ? FB

?

?

14 分


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