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北京市海淀区2013届高三一模(数学文)含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数学(文科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1.



? a

? ? (0,1) , b

? (1, ? 1) ,则 OM

?

? b

?

? a



O

为原点),则点

M

位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2. sin 75? cos30? ? cos75? sin 30? 的值为

A.1

B. 1 2

C. 2 2

D. 3 2

3. 已知向量 a, b ,则“a //b”是“a+b=0”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.

已知等差数列{an

}

的前

n

项和为

S

n

,且满足

S3 3

?

S2 2

? 1,则数列{an} 的公差是

A. 1 2

B.1

C.2

D.3

5.在同一坐标系中画出函数 y ? log a x, y ? a x , y ? x ? a 的图象, 可能正确的是

y

y

y

y

1

O1

x

1

O1

x

1

O1

x

1

O1

x

A

B

C

D

6.一个体积为12 3 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的 左视图的面积为

A. 6 3

B.8

C. 8 3

D.12

7.给出下列四个命题:

①若集合 A, B 满足 A ? B ? A, 则 A ? B ;

②给定命题 p, q , 若“ p ? q ”为真,则“ p ? q ”为真;

③设 a, b, m ? R, 若 a ? b, 则 am2 ? bm2 ;

④若直线 l1 : ax ? y ?1 ? 0 与直线 l2 : x ? y ?1 ? 0 垂直,则 a ?1 .
其中正确命题的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

8.直线 2ax ? by ? 1与圆 x2 ? y2 ? 1相交于 A,B 两点(其中 a, b 是实数),且 ?AOB 是直角 三角形(O 是坐标原点),则点 P (a, b) 与点 (0,1) 之间距离的最大值为

A 2 ?1

B. 2

C. 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

D. 2 ?1

9. 若 x ? 0, 则 y ? x ? 4 的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x
10. 已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l : x ? ?2 的距离相等,则点 P 的轨迹方
程为_ _ _ _ _ _ _ _ _.

?y ? x

11.

已知不等式组

? ?

y

?

?

x

,表示的平面区域的面积为

4,点

P(

x,

y)

在所给平面区域内,

??x ? a

则 z ? 2x ? y 的最大值为_ _ _ _ _ _.
12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况,抽查了

频率/组距
x

100 名同学,统计他们每天平均学习时间,绘成频 0.14

率分布直方图(如图).则这 100 名同学中学习时 0.12

间在 6~8 小时内的同学为_ _ _ _ _ _人.

0.05

? ? 13. 设数列 an 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ?1,则

0.04

通项 an ? _ _ _ _ _ _ _ _。

246

14.

若点集 A ? {(x, y) | x2

?

y2

? 1}, B

? {(x, y) | ?1 ?

x ? 1, ?1 ?

12
y?

1}

,则

8 10小时

? (1)点集 P ? (x, y) x ? x1 ?1, y ? y1 ?1, (x1, y1) ? A} 所表示的区域的面积为 _ _ _ _;

? (2)点集 M ? (x, y) x ? x1 ? x2, y ? y1 ? y2 , (x1, y1) ? A, (x2, y2) ? B? 所表示的区域的

面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.
15. (13 分)已知函数 f ? x? ? Asin ??x ???, x ? R (其中

A ? 0,? ? 0, ? ? ? ? ? ? ),其部分图象如图所示.

2

2

(I)求 f ? x? 的解析式;

(II)求函数 g(x)

?

f

(x ?

? )? 4

f

(x

?

? 4

)

在区间

???0,

? 2

? ??

上的最大值及相应的

x

值.

16. (13 分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满 100 元可以 转动如图所示的圆盘一次,其中 O 为圆心,且标有 20 元、10 元、0 元的三部分区域面积 相等. 假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券. (例如:某顾客消费了 218 元 ,第一次转动获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则其共 获得了 30 元优惠券.)顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动.
(I )若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大于 0 元的概率? (II)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金额不低于 20 元的概率?
20元
10元 0元

17. (14 分)如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,?ABC ? 60?, PA ? 平面

ABCD,点 M , N 分别为 BC, PA的中点,且 PA? AB ? 2 .

(I) 证明: BC ⊥平面 AMN ; (II)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (III)在线段 PD 上是否存在一点 E,使得 NM / / 平面
若不存在,说明理由.

ACE ;若存在,求出 PE 的长;

P

N

A

D

D

B

M

C

19. (13 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 1 , 且点(1, 3 )

2

2

在该椭圆上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相

交于 A, B 两点,若 ?AOB 的面积为 6 2 ,求圆心在原点 O 且与直线 l 相 切的圆的方程. 7

? 1? 2an , n为偶数,

? ? 20. (13 分)已知数列

an

满足: a1

? 1, an

?

?? ?? 1 ?? 2

?

2
2an?1 ,
2


n为奇数,

n?2, 3, 4,

.

(Ⅰ)求 a3, a4 , a5 的值;

? ? (Ⅱ)设 bn ? a2n?1 ?1, n ? 1, 2,3...,求证:数列 bn 是等比数列,并求出其通项公式;

(III)对任意的 m ? 2, m ? N * ,在数列{an}中是否存在连.续.的 2m 项构成等差数列?若

存在,写出这 2m 项,并证明这 2m 项构成等差数列;若不存在,说明理由.

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(文)参考答案及评分标准 2010.4

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 D

C

B

C

D

A

B

A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分)

9.4; 10. y2 ? 8x ; 11.6 ;

12.30;

13. n ?n ?1? ?1 ; 14.? ,12 ? ? 。
2

15.(本小题满分 13 分)

解:(I)由图可知,A=1

…………1 分

T ? ? , 所以T ? 2? 42

……………2 分

所以? ? 1

……………3 分

又 f (? ) ? sin(? ? ?) ? 1 ,且 ? ? ? ? ? ?

4

4

2

2

所以? ? ? 4

……………5 分

所以 f (x) ? sin(x ? ? ) . 4

……………6 分

(II)由(I) f (x) ? sin(x ? ? ) , 4

所以 g(x) ? f (x ? ? ) ? f (x ? ? ) = sin(x ? ? ? ? ) ?sin(x ? ? ? ? )

4

4

44

44

? sin(x ? ?)sin x 2

……………8 分

? cos x?sin x

……………9 分

? 1 sin 2x 2

……………10 分

因为 x ?[0, ? ] ,所以 2x ?[0,? ], sin 2x ?[0,1] 2

故: 1 sin 2x ?[0, 1],

2

2

当 x ? ? 时, g(x) 取得最大值 1 .

4

2

…………… 13 分

16. (本小题满分 13 分)

解:(I)设“甲获得优惠券”为事件 A

………… … 1 分

因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给的三部分的面积相等,

所以指针停在 20 元,10 元,0 元区域内的概率都是 1 . 3

…………… 3 分

顾客甲获得优惠券,是指指针停在 20 元或 10 元区域,

根据互斥事件的概率,有 P( A) ? 1 ? 1 ? 2 , 33 3

…………… 6 分

所以,顾客甲获得优惠券面额大于 0 元的概率是 2 . 3
(II)设“乙获得优惠券金额不低于 20 元”为事件 B

…………… 7 分

因为顾客乙转动了转盘两次,设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为 x 元,第二次获

得优惠券金额为 y 元,则基本事件空间可以表示为:

? ? {(20, 20),(20,10),(20,0),(10, 20),(10,10), (10,0),(0, 20),(0,10),(0,0)} ,

…………… 9 分

即 ? 中含有 9 个基本事件,每个基本事件发生的概率为 1 . ………… 10 分 9

而乙获得优惠券金额不低于 20 元,是指 x ? y ? 20,

所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个,

所以乙获得优惠券额不低于 20 元的概率为 P(B) ? 6 ? 2 ………… 11 分 93

答:甲获得优惠券面额大于 0 元的概率为 2 ,乙获得优惠券金额不低于 20 元的概率 3

为 2 . ………… 13 分 3

17. (本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ) 因为 ABCD 为菱形,所以 AB=BC
又 ?ABC ? 60 ,所以 AB=BC=AC, 又 M 为 BC 中点,所以 BC ? AM 而 PA ?平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD,所以 PA ? BC 又 PA AM ? A,所以 BC ? 平面 AMN

……………1 分 …………… 2 分 …………… 4 分 …………… 5 分

(II)因为 S?AMC

?

1 2

AM

? CM

?

1? 2

3 ?1 ?

3 2

又 PA ?底面 ABCD, PA ? 2, 所以 AN ?1

…………… 6 分

所以,三棱锥 N

?

AMC 的体积V

?

1 3

S?AMC

? AN

………… 8 分

? 1 ? 3 ?1 ? 3

32

6

(III)存在

取 PD 中点 E,连结 NE,EC,AE,

因为 N,E 分别为 PA,PD 中点,所以 NE// 1 AD 2

又在菱形 ABCD 中, CM / / 1 AD 2

所以 NE //MC ,即 MCEN 是平行四边形

………… 9 分 …………… 10 分
…………… 11 分
…………… 12 分

所以, NM // EC , 又 EC ? 平面 ACE , NM ? 平面 ACE 所以 MN // 平面 ACE , 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM / / 平面 ACE ,
此时 PE ? 1 PD ? 2 . 2

…………… 13 分 …………… 14 分

19. (本小题满分 13 分)

解:(I)设椭圆

C

的方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得

e? c ?1 a2

,

又 a2 ? b2 ? c2 ,所以 b2 ? 3 a2 4

……………2 分

因为椭圆 C 经过(1, 3 ),代入椭圆方程有 2
解得 a ? 2

9

1 a2

?

4 3 a2

?1

4

……………4 分

所以 c ?1 , b2 ? 4 ?1 ? 3 故椭圆 C 的方程为
(Ⅱ)解法一:

x2 ? y2 ?1. 43

……………5 分

当直线 l ? x 轴时,计算得到: A(?1, ? 3), B(?1, 3) ,

2

2

S?AOB

?

1?| 2

AB

| ? | OF1

|?

1 ?1?3 2

?

3 2

,不符合题意.

……………6 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k(x ?1) , k ? 0

? y ? k(x ?1)



? ?

x2

y2

,消去 y ,得

?? 4 ? 3 ? 1

( 3? 4k 2 x) 2 ? 8k 2 x?

4k2 ? 1 2?

…0 ………7 分

显然 ? ? 0 成立,设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,



x1

?

x2

?

?

8k 2 3 ? 4k 2

,

x1

?

x2

?

4k 2 3?

?12 4k 2

……………8 分

又 | AB |? (x1 ? x2)2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (x1 ? x2)2 ? k 2(x1 ? x2)2

? 1? k 2 ? (x1 ? x2 )2 ? 1? k 2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1 ? x2

? 1? k2

64k 4 4(4k 2 ?12) ?

(3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2

……………9 分

即 | AB |?

1?

k2

? 12 3

k2 ?1 ? 4k 2

?

12(k 2 ?1) 3 ? 4k 2

又圆 O 的半径 r ? | k ? 0 ? 0 ? k | ? | k |

1? k2

1? k2

……………10 分

所以

S?AOB

?

1 2

?|

AB

| ?r

?

1 2

?

12(k 3?

2 ?1) 4k 2

?

|k| 1? k2

?

6

|

k 3

| ?

1? 4k 2

k2

?6 2 7

……………11 分

化简,得17k4 ? k2 ?18 ? 0 ,即 (k 2 ?1)(17k 2 ?18) ? 0 ,

解得 k12

? 1, k22

?

? 18 17

(舍)

……………12 分

所以, r ? | k | ? 2 ,故圆 O 的方程为: x2 ? y2 ? 1 .

1? k2 2

2

(Ⅱ)解法二:

设直线 l 的方程为 x ? ty ?1,

……………13 分

? x ? ty ?1



? ?

x2

?? 4

?

y2 3

,消去 x,得
?1

(4 ? 3t2 ) y2 ? 6ty ? 9 ? 0

因为 ? ? 0 恒成立,设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,



y1

?

y2

?

6t 4 ? 3t2

,

y1

?

y2

?

?

9 4 ? 3t2

所以 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4y1 ? y2

……………7 分 ……………8 分

?

36t2 ? 36 (4 ? 3t2 )2 4 ? 3t2

12 t2 ?1 ? 4 ? 3t2

……………9 分

所以

S?AOB

?

1 2

?|

F1O

|?|

y1

?

y2

|?

6 4

t2 ?1 ? 3t 2

?

62 7

化简得到18t4 ? t2 ?17 ? 0 ,即 (18t2 ? 17)(t2 ?1) ? 0 ,

解得 t12

? 1,

t22

?

? 17 18

(舍)

又圆 O 的半径为 r ? | 0 ? t ? 0 ?1| ? 1? t2

1 1? t2

…………11 分 ……………12 分

所以 r ? 1 ? 2 ,故圆 O 的方程为: x2 ? y2 ? 1

1?t2 2

2

……………13 分.

20.(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)因为

a1

? 1,所以 a2

?1?

2a1

?

3,

a3

?

1 2

?

2a1

?

5 2



a4 ? 1? 2a2 ? 7 ,

a5

?

1 2

?

2a2

?

13 2

(Ⅱ)由题意,对于任意的正整数 n , bn ? a2n?1 ? 1,

…………3 分

所以 bn?1 ? a2n ? 1 又 a2n ?1 ? (2a2n ?1) ?1 ? 2(a2n?1 ?1) ? 2bn
2
所以 bn?1 ? 2bn 又 b1 ? a21?1 ?1 ? a1 ?1 ? 2
所以?bn? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,所以 bn ? 2n

…………4 分
…………6 分 …………7 分 …………8 分

(III)存在. 事实上, 对任意的 m ? 2, k ? N * ,在数列{an}中,

a2m,a2m ?1,a2m ?2,...., a2m ?2m ?1 这连续的 2m 项就构成一个等差数列
我们先来证明:

……10 分

“对任意的 n

?

2, n ? N * , k ? (0, 2n?1), k

? N * ,有 a2n?1?k

?

2n

?1?

k 2



由(II)得 bn ? a2n?1 ?1 ? 2n ,所以 a2n?1 ? 2n ?1

当k

为奇数时, a2n?1?k

?

1 2

?

2a2n?1?k ?1

2

?

1 2

?

2a 2n?2

?

k ?1 2

当 k 为偶数时, a2n?1?k

? 1? 2a2n?1?k

?

1

?

2a 2n?2

?

k

2

2



k1

?

?

??

? ?

k

??

k, 2 ?1, 2

k为偶数, k为奇数,

因此要证 a2n?1?k

? 2n

?1?

k 2

,只需证明 a2n?2 ?k1

? 2n?1 ?1?

k1 2



其中 k1 ? (0, 2n?2 ), k1 ? N *

(这是因为若 a2n?2 ?k1

?

2n?1

?1?

k1 2

,则当 k1

?

k ?1 时,则 k 2

一定是奇数,

a 有 2n?1 ?k

?

1 2 ? 2a2n?1?k?1
2

?

1

2

?

2a 2n?2

?

k ?1 2

k ?1

= 1 ? 2(2n?1 ?1 ? k1 ) ? 1 ? 2(2n?1 ?1 ? 2 ) ? 2n ?1 ? k ;

2

22

2

2

当 k1

?

k 2

时,则

k

一定是偶数,有

a2n?1 ? k

? 1? 2a2n?1?k
2

?

1

?

2a 2n?2

?

k

2

k

=1 ? 2(2n?1 ?1 ? k1 ) ? 1 ? 2(2n?1 ?1 ? 2 ) ? 2n ?1 ? k )

2

2

2

如此递推,要证 a2n?2 ?k1

? 2n?1 ?1? k1 , 2

a 只要证 明 2n?3 ?k2

? 2n?2 ?1? k2 2



其中

k2

?

? ??

k1 , 2

? ? ??

k1 ? 2

1

,

k1为偶数, , k2 ? (0, 2n?3 ), k2 ? N *
k1为奇数,

如此递推下去,

我们只需证明 a21?kn?2

? 22

?1? kn?2 2



kn?2 ? (0, 21), kn?2 ? N *



a21 ?1

?

22

?1?

1 2

?

3?

1 2

?

5 2

,即

a3

?

5 2

,由(I)可得,

所以对 n

?

2, n ? N * , k ? (0, 2n?1), k

? N * ,有 a2n?1?k

?

2n

?1?

k 2



对任意的 m ? 2, m ? N * ,

a2m ?i

?

2m?1

?1?

i 2

a , 2m ?i?1

?

2m?1

?1?

i

?1 2

,其中 i ? (0,2m

?1), i ? N *



所以 a2m ?i?1

? a2m ?i

?

?1 2

又 a2m

? 2m?1 ?1 , a2m ?1

? 2m?1 ?1 ?

1 2

,所以 a2m ?1 ? a2m

??1 2

所以 a2m,a2m ?1,a2m ?2,...., a2m ?2m ?1 这连续的 2m 项,

是首项为 a2m

? 2m?1 ?1,公差为 ? 1 的等差数列 2

.

…………13 分

说明:当 m2 ? m1 (其中 m1 ? 2, m1 ? N *, m2 ? N * )时,

a ,a ,a ,...,a 2 因为 2m2

2m2 ?1 2m2 ?2

构成一个项数为 m2 的等差数列,所以从这个数列
2m2 ?2m2 ?1

中任取连续的 2m1 项,也是一个项数为 2m1 ,公差为 ? 1 的等差数列.
2


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