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高中数学第7章解析几何初步73圆与方程教案湘教版必修3(数学教案)

圆与方程 一、复习目标: 圆与方程 了解确定圆的几何要素(圆心和半径、不在同一直线上的三个点等). 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标 准方程与一般方程之间的关系,会进行互化. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离) ;能根据圆的方程判断圆与圆的 位置关系(外离、外切、相交、内切、内含). 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想 体会用代数方法处理几何问题的思想,感受“形”与“数”的对立和统一;初步掌握数形结 合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点:圆的标准方程和一般方程 三、高考内容及要求: 内 平面解析几何初步 四、知识回顾: 1、圆的方程: ?标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 2 2 容 要 A B √ 求 C √ 圆的标准方程和一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 ?一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 2 2 2、两圆位置关系: d ? O1O2 ?外离: d ? R ? r ; ?外切: d ? R ? r ; ?相交: R ? r ? d ? R ? r ; ?内切: d ? R ? r ; ?内含: d ? R ? r . 五、课堂教学: 问题导学一:我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点? 例 1、基础训练:求以 N (1,3) 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程. 1 探究 1:过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 2 2 5 ? 0 相切的直线的方程为 2 2 2 解:设直线方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 ,∴圆心为(2, 2 -1) ,半径为 2k ? 1 1 10 10 .依题意有 ,解得 k ? ?3 或 k ? ,∴直线方程为 y ? ?3x 或 ? 3 2 2 k 2 ?1 y? 1 x. 3 . 探究 2:已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为 解:∵圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心为(1,0) ,半径为 1,∴ 5?a 5 2 ? 122 ? 1 ,解得 a ? 8 或 a ? ?18 . 练习巩固:求经过点 A(0,5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程. ?a 2 ? (5 ? b) 2 ? r 2 ? 解:设所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,则 ? a ? 2b , 2a ? b ? ? r ? 5 5 ? ?a ? 1 ?a ? 5 ? 2 2 2 2 解得 ?b ? 3 或 ? ?b ? 15 ,∴圆的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 5 或 ( x ? 5) ? ( y ? 15) ? 125. ? ? ?r ? 5 ?r ? 5 5 问题导学二:直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质? 例 2、基础训练:求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长. 探究 1:直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 2 2 解:依题意得,弦心距 d ? 3 ,故弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ,从而△OAB 是等边三角形,故截 得的劣弧所对的圆心角为 ?AOB ? ? 3 . 2 2 探究 2:设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ? . 2 解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得 ( a ?1 a ?1 2 ) 2 ? ( 3 ) 2 ? 2 2 ,解得 a ? 0 . 练习巩固:已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 . (1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 解: (1)∵直线 l : y ? 1 ? m( x ? 1) 恒过定点 P(1,1) ,且 PC ? 5 ? r ? 6 ,∴点 P 在圆内,∴ 直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点 P 的直线 l 垂直于 PC 时,直线 l 被圆 C 截得的弦长 最小,此时 k l ? ? 1 k PC ? 2 ,∴所求直线 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 问题导学三:如何判断直线与圆的位置关系? 例 3、基础训练:已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关 2 2 系. 探究 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 解:依题意有 a ?1 2 ? a ,解得 ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.∵ a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 2 ? 1. 探究 2 :若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是 . 解:依题意有 2k ? 1 k ?1 2 ? 1 ,解得 0 ? k ? 4 4 ,∴ k 的取值范围是 (0, ) . 3 3 练习巩固:若直线 y