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高中数学 3.4基本不等式教案1 新人教A版必修5

基本不等式
第二课时 (1)教学目标 (a)知识与技能:能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 (b)过程与方法:本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分 析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3 道例题的安排从易到难、从简单 到复杂,适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题,同时通过学 生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞,纠正数学表达中的错误 (c)情感与价值:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻 性 (2)教学重点、教学难点 教学重点:正确运用基本不等式 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件 (3)学法与教学用具 列出函数关系式是解应用题的关键,也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思 考,然后师生共同对解题思路进行概括总结,使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和 步骤。 直尺和投影仪 (4)教学设想

1、 设置情境
提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把
a ?b 2

叫做正数 a、 b 的算术平均数,

把 ab 叫做正数 a、 b 的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。

2、 新课讲授
例 1、 (1)用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用 的篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面 积最大。最大面积是多少? 分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值 (2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大 解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y 由 可得
x ? y 2
x ? y ? 2 100

m,则 x y ? 100, 篱笆的长为 2( x ? y )m
xy ,

?

2( x ? y ) ? 40 等号当且仅当 x ? y 时 成 立 , 此 时 x ? y ? 10 ,因此,这个矩形的长、宽为 10 m 时,所用篱

用心 爱心 专心

-1-

笆最短,最短篱笆为 40m (2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 2( x ? y )=36, x ? y =18,矩形菜园的面积为

xy


m

2


xy ? x ? y 2 ? 18 2 ? 9, 可得

xy ? 81 ,

可得等号当且仅当 x ? y 时 成 立 , 此 时 x ? y ? 9 因此,这个矩形的长、宽都为 9 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 81 m 2 例 2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为 4800 m , 深为 3 m。如果池底每平方 米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造 价为多少元? 分析:若底面的长和宽确定了,水池的造价也就确定了,因此可转化为考察底面的长和宽各 为多少时,水池的总造价最低。 解:设底面的长为 x m,宽为 y
4800 3
3

m, 水池总造价为 z 元,根据题意,有

z ? 150 ?

? 120(2 ? 3 x ? 2 ? 3 y )

? 240000 ? 720( x ? y )

由容积为 4800 m , 可得
3 x y ? 4800

3

因此

x y ? 1600

由基本不等式与不等式性质,可得
240000 ? 720( x ? y ) ? 240000 ? 720 ? 2 x y



z ? 240000 ? 720 ? 2 1600

z ? 297600

可得等号当且仅当 x ? y 时 成 立 , 此 时 x ? y ? 40

用心 爱心 专心

-2-

所以,将水池的地面设计成边长为 40 m 的正方形时总造价最低,最低造价为 297600 元

3、 课堂练习
课本第 113 页练习第 2、3、4 题

4、归纳总结
利用基本不等式来解题时,要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来 求最大(小)值 (5)评价设计 1、 课本第 113 页习题 3.4 第 2、3、4 题

用心 爱心 专心

-3-


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