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岳口高中高三数学(文科)测试向量单元能力测试 2


岳口高中高三数学(文科)测试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)

2011 10

→ → → 1.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC等 于( ) 2→ 1→ 1→ 2→ → → → → A.2OA-OB B.-OA+2OB C. OA- OB D.- OA+ OB 3 3 3 3 2.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( ) A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ? 3.能够使函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? 3 cos ? 2 x ? ? ? 是奇函数,并且在 ?0, ? 上是减函数的的 ? 4? ? ? 一个值是( ) A.

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3
)

→ → → 4.已知 A、B 是以原点 O 为圆心的单位圆上两点,且|AB|=1,则AB· 等于( OA 1 1 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 2 2 a· b 5.若 a=(x,1),b=(2,3x),则 2 的取值范围为( ) |a| +|b|2 2 2 2 A.(-∞,2 2) B.[0, ] C.[- , ] D.[2 2,+∞) 4 4 4 6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )

|x| A.f(x)=

x

1 1 B.f(x)= x + 2 -1 2

C.f(x)=

ex-e-x ex+e-x

D.f(x)=lgsinx

7.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a· b=0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范 围是( ) π π π 2π π A.[0, ] B.[ ,π] C.[ , ] D.[ ,π] 6 3 3 3 6

→ → → → 8.已知三点 A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中 k 为常数.若|AB|=|AC|,则AB与AC的 夹角的余弦值为( ) 24 24 24 24 A.- B.0 或 C. D.0 或- 25 25 25 25 → → → → → 9.若 O 为平面内任一点且(OB+OC-2OA)· -AC)=0,则△ABC 是( (AB ) A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 10.平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n≥3)维向量,n 维向量可用(x1,x2,x3,x4,…,xn)表示.设 a=(a1,a2,a3,a4,…,an),b=(b1,b2,
n

b3,b4,…,bn),规定向量 a 与 b 夹角 θ 的余弦为 cosθ=

.已知 n 维向量 a, n ?∑a2??∑b2? i = i =
i 1 i 1

i 1 n

∑aibi =

b,当 a=(1,1,1,1,…,1),b=(-1,-1,1,1,1,…,1)时,cosθ 等于( n-1 n-3 n-2 n-4 A. B. C. D. n n n n

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
11.已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9x+3y 的最小值为________ 12.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=________. 13.使方程 2 ? sin 2 x ? m ? 2 ? sin 2 x ? 有解,则 m 的取值范围是________ → → → → 14.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为________.

→ → → 15.如图,正六边形 ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括边界)的动点.设AP=αAB+βAF(α, β∈R),则 α+β 的取值范围是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. OC

17.已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λb 的夹角为锐角,求实数 λ 的取值范围.

-1 1 18.已知向量 a=( , ),b=(2,cos2x). sinx sinx π (1)若 x∈(0, ],试判断 a 与 b 能否平行? 2 π (2)若 x∈(0, ],求函数 f(x)=a· 的最小值 b 3

19. 已知函数 f ( x) ? (ax ? 1)e x , a ?R (I)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围.

20.若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R. 1 (1)若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, (a+b)三向量的终点在一直线上? 3 (2)若|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60° 为何值时,|a-tb|的值最小? ,t

21.设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) 满足下列条件:
2

①当 x ∈R 时, f ( x) 的最小值为 0,且 f ( x -1)=f(- x -1)成立; ②当 x ∈(0,5)时, x ≤ f ( x) ≤2 x ? 1 +1 恒成立。 (1)求 f (1) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式; (3) 求最大的实数 m(m>1),使得存在实数 t,只要当 x ∈ ?1, m ? 时, 就有 f ( x ? t ) ? x 成立。


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