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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3【配套备课资源】2.2.2_图文

2.2.2

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【学习要求】 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准
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差; 2.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基 本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释; 3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 【学法指导】 通过平均数和标准差的学习,形成用随机抽样的方法和样本估 计总体的思想解决一些简单的实际问题的意识,在解决统计问 题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合 的数学思想和逻辑推理的数学方法.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.2

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1.n 个样本数据 x1,x2,x3,?,xn 的平均数 x = 1 (x1+x2+?+xn) n . 2.一般地,设样本的元素为 x1,x2,?,xn,样本的平均数为 x ,定 ?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2 义 s2= , n ?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2 n s= .其中 s2 表示样 本方差,s 表示样本标准差.

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2.2.2

[问题情境] 美国 NBA 在 2012——2013 年度赛季中,甲、 乙
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两名篮球运动员在随机抽取的 12 场比赛中的得分情况如 下:甲运动员得分:12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49;乙 运动员得分:8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39.如果要求 我们根据上面的数据,估计、比较甲,乙两名运动员哪一位 发挥得比较稳定,就应有相应的数据作为比较依据,即通过 样本数字特征对总体的数字特征进行研究.所以今天我们 开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征.

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探究点一 众数、中位数和平均数的概念 导引

2.2.2

在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念,它们

都是描述一组数据的集中趋势的特征数,只是描述的角度
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不同,你还能回忆起众数、中位数和平均数的定义及特点 吗? 问题 1 众数是如何定义的?有什么特点?举例加以说明.

答 众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数 据的众数.
特点:(1)众数是这组数据中的数;(2)众数可以有一个或多 个; 如:一组数据为:2,2,3,4,4,5,5,6,7,8;众数为 2,4,5.

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问题 2 明.

2.2.2

中位数是如何定义的?有什么特点?举例加以说

答 中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位
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置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数 据的中位数.

特点:(1)排序后找中位数;(2)中位数只有一个;(3)中位数不 一定是这组数据中的数. 1 如,一组数据为:2,2,3,4,4,5,5,6,7,8;中位数为2(4+5)=4.5. 问题 3 平均数是如何定义的? 1 答 一组数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x = (x1+x2+?+ n
xn).

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2.2.2

探究点二 导引
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用样本平均数估计总体平均数

在日常生活的很多情况下,我们往往并不需要了解总

体的分布形态,而是更关心总体的某一数字特征.通常的做 法是从总体中取出部分样本,利用样本的数字特征来估计 总体的数字特征. 问题 样本的平均数反应了数据的哪方面的情况?

答 平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的 集中趋势所处的水平.

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2.2.2

例1 人数

某公司的 33 名职工的月工资(单位:元)如下表:

职业 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
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1

1 5 000

2 3 500

1 3 000

5 2 500

3

20

工资 5 500

2 000 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数. (2)若董事长、副董事长的工资分别从 5 500 元、5 000 元提 升到 30 000 元、20 000 元,那么公司职工新的平均数又是什 么?

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2.2.2

解 (1)公司职工月工资的平均数为: x = 5 500+5 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 33 69 000 = ≈2 091(元). 33
本 课 (2)若董事长、副董事长的工资提升后,职工月工资的平均数为: 时 栏 x= 目 30 000+20 000+3 500×2+3 000+2 500×5+2 000×3+1 500×20 开 33 关

108 500 = 33 ≈3 288(元).

小结 样本的平均数常用来表示样本数据的“中心值”.平均数代 表了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对 平均数的影响也越大.

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跟踪训练 1 某工厂人员及工资构成如下: 人员 人数
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2.2.2

经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 250 6 220 5 200 10 100 1 23

周工资 2 200 1

(1)指出这个问题中周工资的平均数. (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂的工资水 平吗?为什么? 1 解 (1) x = (2 200+6×250+5×220+10×200+100) 23

=300.
(2)因平均数为 300,由表格中所列出的数据可见,只有经理 在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能 客观真实地反映该工厂的工资水平.

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探究点三 导引 样本的方差及标准差

2.2.2

平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均

数有时也会使我们作出对总体的片面判断,因为这个平均
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数掩盖了一些极端的情况,而这些极端情况显然是不能忽 视的.因此,只有平均数还难以概括样本数据的实际状态. 如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次,每 次命中的环数如下: 甲:7 乙:9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 10 8 6 7 7 4 7

如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?

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问题 1

2.2.2

甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?

1 答 经计算得: x 甲=10(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4) =7,同理可得 x 乙=7.
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问题 2 观察下图中两人成绩的频率分布条形图,你能说明其 水平差异在哪里吗?

答 直观上看是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩相对 集中.

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2.2.2

问题 3

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对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比
还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的

较外,还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度?
分散程度.甲的环数极差=10-4=6,乙的环数极差=9-5 =4.它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平 均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极 差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种 “去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.

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2.2.2

问题 4 阅读教材 66 页下半段,回答如何用数字去刻画这种 分散程度呢? 如何定义样本的方差及标准差?
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答 考察样本数据的分散程度可以用极差、方差或标准差 来描述.设样本数据是 x1,x2,?,xn, x 表示这组数据的平均数,
则样本的方差为: ?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2 s2= , n
标准差为: [?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2] s= . n

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问题 5 用标准差表示样本数据有何意义?


2.2.2

标准差用来表示稳定性,标准差越大,数据的离散程度

就越大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小, 也就越稳定.
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问题 6

你能设计一种计算样本数据 x1,x2,?,xn 的标准差的算

法吗?

答 计算样本数据 x1,x2,?,xn 的标准差的算法是: S1 算出样本数据的平均数 x ;
S2 算出每个样本数据与样本平均数的差 xi- x (i=1,2,?, n); S3 算出 S2 中 xi- x (i=1,2,?,n)的平方;
S4 S5 算出 S3 中 n 个平方数的平均数,即为样本方差; 算出 S4 中平均数的算术平方根,即为样本标准差.

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例 2 计算数据 5,7,7,8,10,11 的标准差.
解 S1 5+7+7+8+10+11 x= =8; 6
S1 8 8 8 8 8 8 x S2 xi- x -3 -1 -1 0 2 3 S3 (xi- x )2 9 1 1 0 4 9

2.2.2

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数据 xi 5 7 7 8 10 11
2

9+1+1+0+4+9 S4 s = =4; 6

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2.2.2

S5
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s= 4=2.

所以这组数据的标准差为 2.
小结 计算样本数据的方差或标准差时,首先要计算出平均 数,然后根据数据的特点,也可以不必列表,直接利用公式求 1 2 2 2 出方差和标准差,或对公式进行合理变形(如 s = [(x1 +x2 n
2 +?+xn)-n x 2]),从而使运算更简便.

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跟踪训练 2

2.2.2

求出导引中的甲乙两位运动员射击成绩的标

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准差,并说明他们的成绩谁比较稳定? 1 解 x 甲= (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理 10
可得 x 乙=7.根据标准差的公式,

s 甲=

1 [?7-7?2+?8-7?2+?+?4-7?2]=2; 10

同理可得 s 乙≈1.095.所以 s 甲>s 乙.
因此说明甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此 可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.

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2.2.2

例 3 甲、乙两人同时生产内径为 25.40 mm 的一种零件.为 了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽
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出 20 件,量得其内径尺寸如下(单位:mm): 甲 25.46 25.34 25.39 25.40 25.32 25.45 25.42 25.45 25.43 25.39 25.42 25.35 25.39 25.36 25.38 25.42 25.40 25.44 25.41 25.39

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2.2.2

乙 25.40 25.47
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25.43 25.49 25.43 25.32

25.44 25.49 25.43 25.32

25.48 25.36 25.32 25.32

25.48 25.34 25.47 25.48

25.33 25.31

从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?(结果保留 小数点后 3 位)

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解 用计算器计算可得

2.2.2

x 甲≈25.401, x 乙≈25.406;s 甲≈0.037,s 乙≈0.068.
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准
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(25.40 mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于 s 甲<s 乙,因 此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多.于是,可以 作出判断,甲生产的零件的质量比乙的高一些.
小结 从上述例子我们可以看到,尽管总体是同一个,但由于

样本不同,相应的样本频率分布与平均数、 标准差等都会发生 改变,这就会影响到我们对总体情况的估计.如果样本的代表 性差,那么对总体所作出的估计就会产生偏差;样本没有代表 性时,对总体作出错误估计的可能性就非常大.

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2.2.2

跟踪训练 3 甲、 乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均单位 面积产量如下(单位:t/hm2),试根据这组数据估计哪一种 水稻品种的产量比较稳定. 品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年
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甲 乙

9.8 9.4

9.9 10.3

10.1 10.8

10 9.7

10.2 9.8

解 甲品种的样本平均数为 10,样本方差为
[(9.8-10)2 +(9.9-10)2 +(10.1-10)2 +(10-10)2 +(10.2 -10)2]÷ 5=0.02.

乙品种的样本平均数也为 10,样本方差为 [(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8
-10)2]÷ 5=0.244.

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2.2.2

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因为 0.244>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量 比较稳定.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.2.2

1.下列说法正确的是
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(

)

A.在两组数据中,平均值较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均值 的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再 求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射 击水平高

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.2.2

解析 关系;
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A 中平均值和方差是数据的两个特征,不存在这种

C 中求和后还需取平均数;
D 中方差越大,射击越不平稳,水平越低.

答案

B

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2.2.2

2.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平 均值为 1,则样本方差为 6 6 A. B. 5 5 ( D ) C. 2 D.2

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1 解析 由题意知5(a+0+1+2+3)=1,解得 a=-1, 1 2 所以样本方差为 s =5[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+
(2-1)2+(3-1)2]=2,

故选 D.

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2.2.2

1 3.已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 x =2,方差是 ,那么 3 另一组数据 3x1-2,3x2-2,3x3-2,3x4-2,3x5-2 的平均数
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和方差分别为 1 A.2, 3 1 C.4, 3
解析 1 因为 x =2,s =3;
2

( D ) B.2,1 D.4,3

所以 X =3 x -2=4,S2=9s2=3.

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2.2.2

1.标准差的平方 s2 称为方差,有时用方差代替标准差测量样
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本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的,在 实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数与 标准差是未知的,我们通常用样本的平均数和标准差去估 计总体的平均数与标准差,但要求样本有较好的代表性. 3.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的数 字特征也有随机性.用样本的数字特征估计总体的数字特 征,是一种统计思想,没有唯一答案.


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