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高中数学第7章解析几何初步73圆的一般方程教案湘教版必修3(数学教案)

圆的一般方程 三维目标: 知识与技能 : (1)在掌握圆的标准方程的基础上, 理解记忆圆的一般方程的代 数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用 待定系数法求圆的方程。 (3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 2 2 过程与方法:通过对方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分 析解决问题的实际能力。 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励 学生创新,勇于探索。 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件 确定方程中的系数,D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 课题引入: 问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那 么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式 ——圆的一般方程。 探索研究: 请同学们写出圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a ? b ? r 得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 这个方程是圆的方程. ① -1- 反过来给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把 x +y +Dx+Ey+F=0 配方得 2 2 2 2 (x ? D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4 ② (配方过程由学生去完成 )这个方程是不是表 示圆? (1)当 D +E -4F>0 时, 方程②表示 (1)当 D ? E ? 4F ? 0 时, 表示以(2 2 2 2 D E ,- ) 2 2 为圆心, 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2 2 2 (2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? D E , y ? ? ,即只表示一个点 2 2 (- D E ,- ); 2 2 (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 2 2 综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆 只有当 D ? E ? 4F ? 0 时, 它表示的曲线才是圆, 我们把形如 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 2 的表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y ? 4 2 我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x 和 y 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方 程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 知识应用与解题研究: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。 2 2 ?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0 -2- 学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般 方程的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4x2 ? 4 y2 ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 来说,这里的 9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4 例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐 标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而 条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程 解:设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵ A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面 的方程,可以得到关于 D, E, F 的三元一次方程组, ?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ? 解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 ∴所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 r? 1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2 2 2 2 2 得圆心坐标为(4,-3). 或将 x ? y ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程, ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ,从而 求出圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤: ①、根据提议,选择标准方程或一般方程; ②、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; ③、解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求 2 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐